Bài 5 đường tròn trong mặt phẳng tọa độ đáp án p1

Bài ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A LÝ THUYẾT Phương trình đường trịn 2 Phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R ( x  a)  ( y  b) R Phương trình đường tròn dạng thường gọi phương trình tắc đường trịn Ví dụ Lập phương trình đường trịn trường hợp sau: a) Đường trịn tâm O bán kính R ; b) Đường trịn tâm I ( 1;3) bán kính Giải a) Phương trình đường trịn tâm O bán kính R ( x  0)  ( y  0) R  x  y R b) Phương trình đường trịn tâm I ( 1;3) bán kính [ x  ( 1)]2  ( y  3)2 7  ( x  1)  ( y  3) 49 Ví dụ Tìm tâm bán kính đường trịn có phương trình ( x  2)  ( y  5)2 9 Giải 2 2 Ta có: ( x  2)  ( y  5) 9  [ x  ( 2)]  ( y  5) 3 Vậy đường trịn cho có tâm I ( 2;5) bán kính R 3 2 Nhận xét: Ta viết phương trình ( x  a)  ( y  b) R đường tròn tâm I (a; b) bán kính R 2 phương trình có dạng x  y  2ax  2by  c 0 Dạng thường gọi phương trình tổng qt đường trịn Ví dụ 2 a) Phương trình x  y  x  y  0 có phải phương trình đường trịn khơng? Nếu phải, xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn 2 b) Xác định điều kiện a, b, c để phương trình x  y  2ax  2by  c 0 phương trình đường trịn Khi đó, xác định toạ độ tâm bán kính theo a, b, c Giải a) Ta có: x  y  x  y  0  x  x   y  y  9  ( x  2)  ( y  1) 32 Phương trình phương trình đường trịn tâm I (2;  1) bán kính R 3 b) Ta có: Trang x  y  2ax  2by  c 0   x  2ax  a    y  2by  b  a  b  c  ( x  a)  ( y  b) a  b  c 2 Do đó, phương trình phương trình đường trịn a  b  c Lúc đường trịn cho có tâm I (a; b) bán kính R  a  b2  c Phương trình đường trịn qua ba điểm khơng thẳng hàng Do có đường trịn qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước nên ta lập phương trình đường trịn biết toạ độ ba điểm nói Ví dụ Lập phương trình đường trịn qua ba điểm A( 1;1), B(0;  2), C (0; 2) Giải 2 2 2 Giả sử tâm đường tròn điểm I (a; b) Ta có IA IB IC  IA IB IC Vì IA IB , IB IC nên (  a )  (1  b) (0  a)  (  b)  2 2 (0  a )  (  b) (0  a)  (2  b)  a  b  2a  2b  a  b  4b   2 2  a  b  4b  a  b  4b   2a  2b 4b  a 1   b 0 b 0 2 Đường trịn tâm I (1;0) bán kính R IC  a  b  4b   2 Phương trình đường trịn ( x  1)  ( y  0) ( 5) 2 Vậy phương trình đường trịn ( x  1)  y 5 II Phương trình tiếp tuyến đường tròn M x ;y  - Đường thẳng M 0t qua điểm 0 có vectơ pháp tuyến IM  x0  a; y0  b  - Phương trình tiếp tuyến M 0t  x0  a   x  x0    y0  b   y  y0  0 2 Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến điểm M (2;1) thuộc đường tròn ( x  1)  ( y  3) 5 Giải 2 Đường trịn có tâm I (1;3) Phương trình tiếp tuyến điểm M (2;1) thuộc đường tròn ( x  1)  ( y  3) 5 Trang (2  1)( x  2)  (1  3)( y  1) 0  1( x  2)  2( y  1) 0  x  y 0 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vật chuyển động tròn ngược chiều kim đồng hồ đường trịn tâm I (3; 2) bán kính tác dụng lực căng dây Khi vật chuyển động tới điểm M (6; 6) dây căng bị đứt a) Viết phương trình quỹ đạo chuyển động vật sau dây bị đứt, biết vật chịu tác động lực căng dây toán b) Một vật khác chuyển động thẳng đường thẳng có phương trình  : 3x  y  23 0 Chứng minh hai vật khơng gặp thời điểm Giải a) Quỹ đạo chuyển động vật thứ trước dây bị đứt đường trịn (C ) có phương trình: ( x  3)  ( y  2) 52  ( x  3)  ( y  2) 25 Khi dây bị đứt, vật thứ chịu tác động lực căng dây nên vật tiếp tục chuyển động theo tiếp tuyến Mt điểm M (6; 6) thuộc đường trịn (C ) Phương trình tiếp tuyến Mt là: (6  3)( x  6)  (6  2)( y  6) 0  3( x  6)  4( y  6) 0  x  y  42 0 Vậy quỹ đạo chuyển động vật thứ sau dây bị đứt tia Mt , đường thẳng Mt có phương trình là: 3x  y  42 0 b) Khoảng cách từ tâm đường tròn (C ) đến đường thẳng  : x  y  23 0 là: | 3  2  23 | IH  8  32  42 Vì khoảng cách từ tâm đường trịn (C ) đến đường thẳng  lớn bán kính đường trịn (C ) nên đường tròn (C ) đường thẳng  khơng có điểm chung, tức vật thứ hai không gặp vật thứ dây chưa đứt Mặt khác,  / /Mt nên vật thứ hai khơng gặp vật thứ sau dây bị đứt Vậy hai vật không gặp PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Nhận dạng phương trình đường trịn  x  a Đưa phương trình dạng: 2   y  b   P  * * I a; b  - Nếu P    phương trình đường trịn có tâm  bán kính R  P * - Nếu P 0   khơng phải phương trình đường trịn Câu Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn? Tìm tâm bán kính có x  y  x  y  0  1 x  y  x  y  13 0   a) b) Trang c) x  y  x  y  0   x  y  x  y  0   d) Lời giải  1 a) Phương trình 2 có dạng x  y  2ax  2by  c 0 với a  1; b 2; c 9 2 Ta có a  b  c 1    Vậy phương trình   khơng phải phương trình đường trịn 2 b) Ta có a  b  c 9   13 0 Suy phương trình   khơng phải phương trình đường trịn  3  x  y  3x  y  0   x     y  1  2  c) Ta có 3  10 I  ;1 R 3  Vậy phương trình phương trình đường trịn tâm   , bán kính  4 d) Phương trình Câu 2 Cho phương trình 2 khơng phải phương trình đường trịn hệ số x y khác x  y  2mx   m   y   m 0  1 a) Tìm điều kiện m để   phương trình đường trịn b) Nếu   phương trình đường trịn, tìm tâm bán kính theo m Lời giải 2 a) Phương trình   phương trình đường trịn a  b  c  a m; b 2  m   ; c 6  m Với m  2 m   m     m   5m  15m  10     m 1 Hay b) Với điều kiện đường trịn có tâm Câu I  m;  m    C : x  y   m   x   m   y  m  0   Cho phương trình đường cong  m  a) Chứng minh   phương trình đường trịn b) Tìm tập hợp tâm đường trịn m thay đổi C c) Chứng minh m thay đổi, họ đường tròn  m  qua hai điểm cố định Lời giải a) Ta có x  y   m   x   m   y  m  0  x   m  2  m  2 x 2  y   m  4  m  4 y 2  m  2   m  2   m  4  m  m  2  m  4   x  y      4  2  m  2    m2  m4      m 1 Do     Suy   phương trình đường trịn với m Trang bán kính R  5m  15m  10  m  4   m  0 m2   x1   I :  y m   b) Đường tròn có tâm suy x1  y1  0 Vậy tập hợp tâm đường tròn đường thẳng  : x  y  0 M  xo ; yo  C điểm cố định mà họ  m  qua xo  yo   m   xo   m   yo  m  0, m c) Gọi   xo  yo  1 m  xo  yo  xo  yo  0, m Khi ta có:   xo    xo  yo  0   yo 0     x 1  xo  yo  xo  yo  0  o   yo 2 Vậy có hai điểm cố định mà họ  Cm  qua với m M   1;0  M  1;  Dạng Thiết lập phương trình đường trịn Cách 1: I a; b  C - Tìm tọa độ tâm  đường trịn   C - Tìm bán kính R đường tròn   2  x  a    y  b  R theo dạng 2 C Cách 2: Giả sử phương trình đường trịn   là: x  y  2ax  2by  c 0 ( Hoặc - Viết phương trình đường trịn  C x  y  2ax  2by  c 0 ) - Từ điều kiện đề Câu thành lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c C Giải hệ để tìm a, b, c từ tìm phương trình đường trịn   Câu Viết phương trình đường trịn trường hợp sau: I 1;   O 0;0  a) Có tâm  qua  A 1;1 , B 7;5  b) Nhận AB làm đường kính với    Lời giải 2 a) Đường trịn cần tìm có bán kính OI    26 nên có phương trình là:  x  1 2   y   26 2 I 4;3 AI    1    1  13 b) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB suy  , I 4;3 Đường tròn cần tìm có đường kính AB suy nhận  làm tâm bán kính 2 R  AI  13 nên có phương trình  x     y  3 13 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường trịn A   3;  1 , B   1;3 , C   2;   C qua ba điểm Lời giải Trang 2 C : x  y  2ax  2by  c 0 Cách Phương trình đường trịn có dạng   , với a  b  c  C Vì A, B, C thuộc   nên ta có hệ phương trình 6a  2b  c 10 a     2a  6b  c 10  b 1  4a  4b  c 8 c  20   2 Vậy phương trình đường trịn cần tìm x  y  x  y  20 0 I a; b  C Cách Gọi  tâm   C Vì A, B, C thuộc   nên    a      b     a     b   2 2    a      b     a     b   4a  8b 0 a 2    2a  6b  b   IA IB    IA IC Suy I  2;  1 , bán kính IA 5 Vậy phương trình đường trịn cần tìm Câu Cho hai điểm A  8;0  , B  0;   C  :  x  2 2   y  1 25 a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB Lời giải a) Ta có tam giác OAB vuông O nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền AB suy I  4;3 bán kính R IA    4 2     5  x     y  3 25 Vậy phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB là: 2 b) Ta có OA 8;OB 6; AB   10 OA.OB  pr Mặt khác ( diện tích tam giác ABC ) OA.OB 2 OA  OB  AB Suy Dễ thấy đường trịn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ tiếp xúc với hai trục tọa độ nên r tâm đường trịn có tọa độ I  2;  2  x     y   4 Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  1;  , B  4;1  C có tâm thuộc d qua hai điểm A, B Lời giải C I t; t   Cách Gọi I tâm   Do I  d nên  C Hai điểm A, B thuộc   nên Trang Viết phương trình đường tròn 2 2 IA IB    t     2t    t     2t   t 1 Suy I  1;   bán kính R IA 5  C  :  x  1 Vậy phương trình đường trịn cần tìm 2   y  3 25  3 M ;   2  trung điểm AB Đường Cách Gọi trung trực đoạn AB qua M nhận  AB  3;  1 làm vecto pháp tuyến nên có phương trình  : x  y  0 C Tọa độ tâm I   nghiệm hệ 2 x  y  0  I  1;  3  3 x  y  0 Bán kính đường trịn R IA 5 Vậy phương trình đường trịn cần tìm  C  :  x  1 Câu điểm 2   y  3 25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  0, d : 3x  y  10 0 A   2;1 Viết phương trình đường trịn  C có tâm thuộc d1 , qua điểm A tiếp xúc với d Lời giải Gọi I tâm (C) Do I  d1 nên I(-3t-8; t) Theo giả thiết ta có d ( I , d ) IA  3( 3t  8)  4t  10 25  ( 3t   2)  (t  1)  t  Suy I(1; -3) R=5 2 Vậy phương trình (C) (x  1)  (y 3) 25 Câu Trong mặt phẳng oxy cho điểm A (-1; 1), B(3; 3) đường thẳng d : x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C) qua A, B tiếp xúc d Lời giải Đường trung trực  AB qua M(1; 2) trung điểm AB có phương trình  : x  y  0 Gọi tâm I (C) thuộc  I (t; 4-2t) d (I, d) IA  (   t )  (2t  3)  3t  4(4  2t )   16 Ta có  t 3   31 t    Với t 3 , suy tâm I(3; -2) Bán kính R=IA=5 Trang 2 Phương trình (C): (x  3)  (y  2) 25 t  Với 31 31 65 I ( ;  27) R , suy tâm 2 Phương trình (C): (x  31 4225 )  (y  27)  Câu 10 Trong mặt phẳng oxy cho d: x  y  0 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục tọa độ có tâm thuộc d Lời giải Gọi I(m; 2m-4) thuộc d tâm đường tròn (C ) Ta có  Với (C): d ( I ;0 x) d ( I ; oy )  2m   m  m 4 m (x  m 4 4 I ( ; ), R  3 ta có 4 16 )  ( y  )2  3  Với m 4 I (4; 4), R 4 ta có 2 (C): ( x  4)  ( y  4) 16 Câu 11 Trong mặt phẳng oxy cho d: x  y  0 : viết phương trình đường trịn (C ) có tâm thuộc d đồng tời tiếp xúc với 1 : 3x  y  0  : x  y  0 Lời giải Gọi I (6t  10; t )  d ta có d ( I , 1 ) d ( I ,  )  22t  35 21t  35  70 t   t 0 5 43  Với t 0 suy I (10; 0), R 7 2 Phương trình (C ) : (x  10)  y 49  Với t  70 10  70 I( ; ), R  43 suy 43 43 43 Phương trình Trang (C ) : (x  10 70 49 )  ( y  )2  43 43 1849 Câu 12 Trong mặt phẳng oxy cho d : x  y  0  : x  y  0 viết phương trình (C ) có bán kính R 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với  Lời giải Gọi I ( 2a  3; a)  d tâm (C) Ta có d ( I , ) R  a 10   a 6 10   a  (C ) : (x  9)  (y  6)   Với a 6 suy I( -9; 6) Phương trình (C ) : (x  7)  (y  2)   Với a  suy I( 7; -2) Phương trình 2 Câu 13 Trong mặt phẳng oxy cho (C): x  y  x  0 tia oy cắt (C ) A Viết phương trình (C’) có bán kính R’=2 tiếp xúc ngồi với (C ) A Lời giải Đường trịn (C) có tâm I ( 3;0) bán kính R=4  x  y  x  0 ( y  0)  x 0   Tọa độ A nghiệm hệ Ta A(0; 2)  x 2 3t  y 2t  Đường thẳng IA qua điểm I A nên có phương trình  Đường trịn (C’) tiếp xúc ngồi với ( C) nên tâm I’ thuộc IA, nên I '(2 3t; 2t  2)     2(0  3t ) AI 2 I 'A   t   2(2  2t  2) Hơn nữa, R 2 R ' nên t 2 , suy I '( 3;3) Phương trình đường trịn (C’ ): ( x  3)  ( y  3) 4 Với 2 Câu 14 Trong mặt phẳng oxy cho (C): x  y  x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C’ ) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C ) điểm A, B cho AB  Lời giải Đường trịn (C) có tâm I (1;-2), bán kính R  Phương trình đường thẳng nối tâm IM: 3x  y  11 0 Gọi H ( x; y ) trung điểm AB Trang H  IM    2  IH  R  AH   x  y  11 0   2 ( x  1)  ( y  2)  Ta có 1 11    x   x     y   29  y   11  10  10   29 11  11 ; ) H( ; ) 10 10 Suy   29 H( ; ) 10 ta có R '2 43  Với H( 2 Phương trình (C’): ( x  5)  ( y  1) 43  Với H( 11  11 ; ) 10 ta có R '2 13 2 Phương trình (C’): ( x  5)  ( y  1) 13 Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ hệ oxy cho đường thẳng d : x  y  0 hai đường tròn (C1 ) : ( x  3)  ( y  4) 8; (C2 ) : ( x  5)  ( y  4) 32 Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc ngồi với hai đường trịn Lời giải Gọi I , I1 , I , R, R1 , R2 tâm bán kính đường trịn (C ), (C1 ) (C2 ) Giả sử I (t ; t  1)  d Theo giả thiết Câu toán: (C ) tiếp xúc (C1 ) (C2 ) nên  II1 R  R1   II R  R2 Suy II1  R1 II  R2  (t  3)  (t  3)  2  (t  5)  (t  5)   t 0 Với t 0 suy I (0;  1) R  2 Phương trình đường tròn (C ): x  ( y  1) 2 Dạng Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn 1.1 Phương pháp Trang 10