(Skkn 2023) phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 10 trường thpt thường xuân 2, thông qua việc nghiên cứu dạng toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT THƯỜNG XN 2, THƠNG QUA VIỆC NGHIÊN CỨU DẠNG TỐN TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY Người thực hiện: Chức vụ: SKKN mơn: Nguyễn Văn Sơn [Document Giáo viên Tốn subtitle] Abstract [Draw your reader in with an engaging abstract It is typically a short summary of the document When you’re ready to add your content, just click here and start typing.] THANH HOÁ, NĂM 2023 HOANG HA COMPUTER [Email address] MỤC LỤC Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng Kết thực trạng III Giải pháp tổ chức thực Phần lý thuyết Một số ví dụ tiêu biểu…………………………………………… Dạng 1: ………………………………………………………… Dạng 2: ………………………………………………………… Dạng 3: ………………………………………………………… 10 Bài tập ứng dụng…… ……………………………………… 11 Bài tập tự luyện .…….……………………………………… 15 IV Kiểm nghiệm 16 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 Kết thực đề tài 17 Bài học kinh nghiệm kiến nghị ………………………… 17 A ĐẶT VẤN ĐỀ “Thích học Đại, ngại học Hình” điều mà thầy giáo dạy Tốn thường thấy hầu hết em học sinh Hình học ln vấn đề khó nhiều học sinh, Sở dĩ có điều theo tơi có nhiều ngun nhân như: Hình học địi hỏi kiến thức, suy luận tổng hợp, việc kết hợp giả thiết để tìm yếu tố tốn vấn đề khơng dễ học sinh Các em học sinh thiếu tự tin phải vẽ hình, lời giải hình thường qua nhiều bước, xác định nhiều yếu tố phụ đến đáp số cuối cùng, thực trạng thường thấy em đâu… Lí khách quan nhiều, khơng thể khơng nói đến lí chủ quan số giáo viên chúng ta, làm cho hình học trở nên khơ khan, lời giải máy móc mang tính áp đặt, có kỹ thuật xem dễ, nên bỏ qua với học sinh lại vấn đề, em lơ mơ, tự tin dẫn đến ngại học hình Phương pháp toạ độ mặt phẳng phần hình học quan trọng hình học lớp 10 phần kiến thức có tính phân hố cao đề thi Đại học năm gần Dạng tập ngày đa dạng, xu sử dụng tuý tính chất, kỹ hình học từ lớp ngày nhiều Trong số dạng tốn đó, tốn tương giao đường thẳng đường tròn đề tài thường xuyên nhắc tới, đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác, tứ giác vấn đề muôn thuở hình học phẳng Vì lí trên, tơi chọn nghiên cứu đề tài “Phát triển lực tư cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân 2, thơng qua việc nghiên cứu dạng tốn tương giao đường thẳng đường tròn mặt phẳng tọa độ Oxy”, nhằm bước dạy cho em cách phân tích đề bài, từ có hướng tư đúng, để tiếp cận toán cách hiệu quả, qua nâng cao tinh thần học tập mơn hình học nói riêng phong trào học tập mơn tốn nói chung B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Dạng toán tương giao đường thẳng với đường trịn mơn Tốn chương trình giáo dục phổ thơng 2018 khơng trình bày phần riêng, song để phát triển tư cho học sinh học phần nội dung sau xây dựng dạng tốn liên quan đến tiếp tuyến đường trịn phần hình học phẳng hấp dẫn, phong phú hình học lớp 10, phần kiến thức vừa lạ lại vừa quen với em học sinh Lạ chỗ em biết phương trình đường tròn biểu diễn qua biểu thức đại số mạch lạc, điều em thấy hàm số bậc bậc hai Quen chỗ phần kiến thức hay gặp hình học lớp đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác, tứ giác Theo để học tốt phần học sinh phải nắm số dạng toán bản, ứng với dạng toán em phải hình thành, ghi nhớ rèn luyện kỹ riêng Học sinh phải thường xuyên sưu tầm tập lạ, thường xuyên làm tập để học hỏi, trau phương pháp, kỹ giải toán Thế làm điều thật không đơn giản số nguyên nhân sau: - Các tập SGK phần mức đơn giản, chưa thể nhiều dạng lẫn phương pháp kỹ mà em cần đạt được, để tự tin bước vào kì thi quan trọng - Như nói trên, phần hình học hấp dẫn, điều làm cho người đề thoả sức sáng tạo, sáng tạo nhiều, khai thác sâu làm em phương hướng đọc xong đề, dẫn tới việc em cảm thấy lúng túng gặp dạng toán Kĩ nhận biết, biến đổi quy lạ quen hạn chế - Phần lớn em thích làm dạng tốn viết phương trình đường trịn qua ba điểm khơng thẳng hàng, hay viết phương trình tiếp tuyến – dạng tốn SGK giới thiệu Thế đề thi dạng tập lại không hay gặp, mà thay vào tập mang tính tổng hợp có mức độ khó nhiều xây dựng mối quan hệ tương giao đường thẳng đường tròn - Giáo viên chưa phân tích, phân loại kỹ dạng tốn dựa chất hình học, lẽ mà tập minh hoạ trở nên rời rạc, điều không gây hứng thú học tập cho em Mặt khác sáng tạo, kế thừa đa dạng, để hiểu cặn kẽ phải tìm gốc vấn đề, làm tốt điều chuyện trở nên rõ ràng, thú vị nhiều II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng - Khi dạy xong phương trình đường thẳng, tơi nhận thấy dạng tập hay phù hợp với học sinh hạn chế nhiều Chỉ dạy xong Phương trình đường trịn có vơ số ví dụ hay phù hợp học sinh thực hành nhằm củng cố kiến thức kỹ tất phần kiến thức quan trọng trước góc, khoảng cách…., kết hợp thú vị đường thẳng đường trịn Mặt khác lượng kiến thức khai thác nhiều đa dạng, truyền đạt làm cho em thấy lan man, phương hướng chưa nói đến sau học xong em phương pháp nào, kĩ Do phần người giáo viên cần phải có hệ thống tập minh hoạ cho phương pháp trọng tâm, dạng toán quan trọng Đặc biệt làm cho em phải cảm thấy tự tin suy luận, biết cách kết hợp hai giả thiết để tìm yếu tố mới, tìm nhiều yếu tố gần đến lời giải - Khi dạy dạng toán này, thực tế thường xảy đa số giáo viên theo lối mịn như: Nêu dạng tốn, phương pháp giải chưa phân tích cho học sinh thấy tốn lại phải tìm toạ độ điểm A, điểm M, tính độ dài MN để làm gì? Tại lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì? Sở dĩ có thực trạng giáo viên chưa chịu thực đổi phương pháp dạy học biết ngại áp dụng, xem thường thiếu kiên nhẫn phân tích, giải thích cho học sinh Điều làm hạn chế niềm đam mê, hứng thú học tập nhiều Theo tơi việc phân tích, định hướng, giảng giải cho học sinh cách tiếp cận hình học cần thiết, công việc mà người giáo viên phải trọng để đánh giá tầm quan trọng cung cấp cho em lời giải khô khan Kết thực trạng Năm học 2022 – 2023 chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho học sinh lớp 10C1 giải thử số tập lấy từ đề thi thử Đại học trường THPT nước kiểm tra hết chương lớp 10C1 Kết sau: Lớp 10C1 Số HS 42 Giỏi SL TL(%) 4,76 Khá SL TL(%) 12 28,57 TB SL TL(%) 18 42,86 Yếu SL TL(%) 19,05 Từ kết đó, tơi tiến hành đổi dạy nội dung lớp 10C1 10C2 (hai lớp có chất lượng tương đương với học tổ hợp môn tự chọn) III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Phần lý thuyết Phần tương giao đường trịn đường thẳng khơng trình bày rõ ràng sách giáo khoa, cần trang bị thêm cho học sinh lý thuyết dạng toán toán buổi học phụ đạo Cho đường trịn  C  tâm I bán kính R đường thẳng  Đặt h d  I ,   * Trường hợp 1:  tiếp tuyến đường trịn ta có h R Nếu từ điểm M ngồi đường trịn  C  kẻ hai tiếp tuyến MA MB đến C thì: + IM đường trung trực đoạn AB 2 + MA MB, IM R  MA + S MAIB 2S IAM  AI AM  AH IM + Đường trịn tâm M bán kính MA cắt  C  hai điểm A B + Tứ giác MAIB nội tiếp đường trịn có tâm trung điểm IM + Điểm K tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB 5 * Trường hợp 2:  cắt  C  hai điểm phân biệt, h  R Đây tốn đường trịn dây cung, Để giải dạng tốn thơng thường ta gọi H trung điểm đoạn AB khai thác số tính chất sau: AB IH  AB, d  I ;   IH  R  + S IAB  IA.IB.sin AIB  S  IAB lớn AIB 90 + 2 + Phương tích: MA.MB IM  R + Khi R cố định độ dài dây cung AB lớn hay nhỏ phụ thuộc vào d  I ;   nhỏ hay lớn * Trường hợp 3:   C  khơng có điểm chung, h  R + Từ điểm đường thẳng  kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn  C  + Lấy điểm T nằm đường trịn  C  h  R d  T ,   h  R Trong phạm vi đề tài tơi khơng trình bày trường hợp hai đối tượng khơng có điểm chung Dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến đường tròn một điểm, viết phương đường thẳng qua điểm tiếp xúc với đường trịn cho trước tốn học sinh trang bị bước giải thực Một số ví dụ tiêu biểu  Dạng 1: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đường trịn Một số toán bản: Học sinh trang bị kỹ hồn thành tốn này, tơi khơng trình bày bước giải đề tài này, ví dụ sử dụng để kiểm tra học sinh trước áp dụng nội dung Ví dụ 1.1: Cho đường tròn tuyến  C  A  4;4   C  :  x  3 2   y  1 10 Viết thương trình tiếp Ví dụ 1.2: Cho đường tròn tiếp tuyến  C  d : x  y  15 0  C  : x  y  x  y  0 Viết phương trình biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  C  :  x  2 Ví dụ 1.3: Cho đường tròn biết tiếp tuyến qua A  5;  1 2   y   9 Tiếp tuyến  C   Dạng 2: Trường hợp  tiếp xúc với  C   C  :  x  1 2   y  3 4 điểm M   3;1 Gọi Ví dụ 2.1 Cho đường tròn A B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  Viết phương trình đường thẳng AB A x  y  0 B x  y  0 C x  y  0 D x  y  0 Lời giải Phân tích: Tư thơng thường học sinh thực việc tìm tọa độ tiếp điểm A, B viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Lời giải dài tính tốn phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn sai sót Giáo viên gợi ý để học sinh tư dựa vào nhận xét MA MB , hay điểm A, B thuộc hai đường trịn  C  có tâm I  1;3 bán kính đường trịn tâm M bán kính MA Tính MI 2  R Lời giải theo hướng mới: 2 Gọi  C ' đường trịn tâm M bán kính MA  MI  R 4 2 Suy  C '  : x  y  x  y  0 Hai điểm A, B giao điểm  C   C ' , nên toạ độ chúng thoả mãn  x  y  x  y  0  x  y  0  2  x  y  x  y  0 Vậy tọa độ điểm A , B thỏa mãn phương trình đường thẳng hay phương trình đường thẳng AB : x  y  0 7 Ví dụ 2.2 Cho đường tròn  C  :  x  1   y   4 điểm P  2;1 d thay đổi qua P cắt  C  hai điểm A B Hai tiếp tuyến Đường thẳng  C  A B cắt M Tìm quỹ tích điểm M A x  y  0 B x  y  0 C x  y  0 D x  y  0 Lời giải Đường trịn  C  có tâm I  1;2  bán kính R 2, IP   R nên điểm P đường tròn  C  , suy đường thẳng d qua P cắt  C  tai hai điểm phân biệt A B Giả sử M  x0 ; y0  , phương trình đường trịn  C ' tâm M bán kính 2 MA  MI  R  C '  : x  y  x0 x  y0 y  x0  y0  0 Từ suy AB :  x0  1 x   y0   y  x0  y0  0  1  2 Thay toạ độ P  2;1 vào  1 ta x0  y0  0 Điểm M có toạ độ thoả mãn   nên quỹ tích điểm M đường thẳng có phương trình x  y  0 2 Ví dụ 2.3 Cho đường tròn  C  : x  y 4 đường thẳng  : x  y  0 Giả sử M điểm thuộc  Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến  C  (trong A, B hai tiếp điểm) đường thẳng AB qua điểm cố định I  x0 ; y0  Tính giá trị T x0  y0 ? T  A B T 0 T  C D T 1 Lời giải Phân tích: Đây toán mức độ vận dụng, cần học sinh có lực tư kỹ giải tốn tốt Các tốn khác khai thác như: Chứng minh từ M kẻ tiếp tuyến với đường trịn  C  Vì đường trịn  C  có tâm O  0;0  bán kính R 2 Do d  O,   3  R nên M nằm đường trịn Vì vậy, từ M ln kẻ hai tiếp tuyến đến  C  Lời giải học sinh cần thực hiện: 2 M m ;6  m , MA  MB  MO  R Viết phương trình   M   Do nên đường trịn tâm M bán kính MA tìm AB : mx    m  y  0 8 Ta có mx    m  y  0  m  x  y   y  0  x  y 0  2   x0 ; y0   ;   y  0  3 Suy   2 I ;  Suy đường thẳng AB qua điểm cố định  3  , hay T 0  y  x  y  0 đường thẳng d : x  y  0 Tìm M thuộc d cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến  C  tiếp điểm A, B biết đường thẳng AB qua N  2;  1 Ví dụ 2.4 Cho đường trịn C : x B M   1;  1 C M  1;1 D M   1;3 Lời giải Đường tròn  C  có tâm I  3;  1 R 2 2 2 Do M  d nên M  a;2a  1 MA MI  IA 5a  2a  A M  3;  1 2 Đường tròn tâm M qua A, B là:  x  a    y  2a  1 5a  2a  Mặt khác A, B   C  nên A, B thoả mãn:  x  a    y  2a  1 5a  2a     2a  x   4a   y  2a  14 0  2 x  y  x  y    Phương trình đường thẳng AB :   2a  x   4a   y  2a  14 0  1 Thay toạ độ N  2;  1 vào  1 ta tìm a  Vậy M   1;  1 thoả mãn yêu cầu toán  C  :  x  1 2   y   9 đường thẳng Ví dụ 2.5 Cho đường tròn d : x  y  m 0 Biết m1 m2 giá trị m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến  C  (các tiếp điểm A, B ) cho tam giác PAB Tính giá trị T m1  m2 A  20 B 60 C  60 Lời giải D  22 Đường tròn  C  có tâm I  1;   R 3 Do PAB nên IP 2 IA 2 R 6 Suy P thuộc đường tròn  C ' tâm I  1;   bán kính R ' 6 Như P giao d  C ' Để có điểm P khi d tiếp xúc với  C ' Tức d  I , d  6  m 19; m  41 Vậy T 19    41  22  Như phần hiểu tính ứng dụng tốn gốc, cụ thể cách suy phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm hai tiếp tuyến kẻ từ điểm ngồi đường trịn Do theo chất vấn đề quan trọng, cần nắm chất toán gốc việc quy lạ quen hay sáng tạo tập trở nên thú vị C : x  y  x  y  20 0 hai đường thẳng Ví dụ 2.6 Cho đường tròn d1 : x  y 0, d : x  y  0 Đường thẳng  không song song với trục Oy tiếp xúc với đường tròn  C  A cắt d1 , d C B cho B trung điểm đoạn AC  qua điểm sau đây? A M  0;6  B N  6;0  C P  0;5  Lời giải D Q  5;0  Lấy đối xứng d1 qua d ta đường thẳng d3 : x  y  10 0 Do d1// d  A  d3  A  6;   2 x  y  10 0    2 x  y  x  y  20    A  4;2  Toạ độ điểm A thoả mãn: Với A  6;   tiếp tuyến là: x  0 không thỏa mãn giả thiết Với A  4;2  tiếp tuyến  : 3x  y  20 0 thỏa mãn giả thiết Trong điểm cho có P  0;5  thuộc đường thẳng  10  Bài tốn khó không phát d1// d Để giúp học sinh hình thành tư giải toán này, giáo viên cần hướng dẫn để học sinh trả lời câu hỏi: - Bài toán cho giả thiết ? - Quan hệ giả thiết giả thiết 2, giả thiết giả thiết 3, giả thiết giả thiết 1,…? - Từ cặp giả thiết tìm thêm yếu tố khơng ? Có tập cho em cách tiếp cận vấn đề, cách tư duy, hết em biết phải đâu Bài tập tương tự: C : x  y  x  0 Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Bài 1.1 Cho đường tròn tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến đến  C  góc hai tiếp tuyến 60 2 Bài 1.2 Cho đường tròn  C  : x  y  x  y 0 đường thẳng d : x  y  0 Gọi I tâm đường tròn  C  , M điểm thuộc d Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến  C  (các tiếp điểm A, B ) Tìm toạ độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Bài 1.3 Cho đường thẳng  : x  y 0, đường tròn  C  có bán kính R  10 cắt  hai điểm A B cho AB 4 Tiếp tuyến  C  A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn  C  Bài 1.4 Cho hai đường thẳng d1 : x  y  14 0, d : x  y  13 0 điểm M   2;2  Viết phương trình đường trịn  C  qua M tiếp xúc d1 cắt d theo dây cung AB có độ dài  Dạng 3: Trường hợp  cắt  C  hai điểm phân biệt  C  :  x  1 2   y   5 điểm M  6;2  Đường Ví dụ 3.1 Cho đường trịn thẳng qua M cắt  C  hai điểm A, B cho AB  10 Hai đường thẳng thỏa mãn cắt điểm sau A M  12;4  B N  0;4  C P  3;1 D Q  9;1 Lời giải 11 Phân tích: Đây tốn khơng q khó, kiểm tra kiến thức học sinh mối liên hệ dây cung bán kính đường tròn Học sinh cần vận dụng linh 2 hoạt công thức liên hệ IA IH  HA tốn viết phương trình đường thẳng Đường trịn  C  có tâm I  1;2  bán kính R  Gọi H trung điểm AB Suy IH  IA2  AH  a  b2     : a x   b y   0,     Đường thẳng cần tìm 5a    b  9a 0 2 a b Mặt khác: d  I ,   IH Cho a 1 ta b  0  b 3 Vậy, có hai đường thẳng thoả mãn là: 1 : x  y  12 0  : x  y 0 Hai đường thẳng cắt điểm M  12;4  2 Ví dụ 3.2 Cho đường trịn  C  : x  y  x  y  0 điểm M  2;   Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt  C  hai điểm A B cho M trung điểm đoạn AB Lời giải Đường trịn  C  có tâm I  1;  1 R 5 Nhận thấy M nằm đường tròn nên  qua M cắt  C  hai điểm phân biệt A B Do M trung điểm đoạn AB nên IM  AB hay IM      M 2;  n  nhận VTPT IM  1;  1 Suy  đường thẳng qua   :1 x    1 y   0   : x  y  0 Bài tập tương tự: 2   y   9 điểm M  2;3 Viết phương Bài 2.1 Cho đường trịn trình đường thẳng  qua M cắt  C  hai điểm phân biệt A B cho MA2  MB 18  C  :  x  1 12 2   y  1 25 điểm M  7;3 Viết phương Bài 2.2 Cho đường trịn trình đường thẳng  qua M cắt  C  hai điểm phân biệt A B cho MA 3MB  C  :  x  1 2 Bài 2.3 Cho đường tròn  C  : x  y  x  y  0 có tâm I điểm M  2;   Viết phương trình đường thẳng  qua M thoả mãn: 1) Cắt  C  theo dây cung lớn 2) Cắt  C  theo dây cung nhỏ 3) Cắt  C  hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn C : x Bài 2.4 Cho đường tròn  y  x  y  0 đường thẳng  : x  my  2m  0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn  C  Tìm m để  cắt  C  hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Bài tập ứng dụng Ví dụ 3.1 Cho tam giác ABC vuông A, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I  0;9  , đường cao AH : x  y  0 diện tích tam giác ABC 30 Biết A  a; b  a  , tính a  b A Đường thẳng B BC qua C 15 Lời giải I vng góc D AH nên BC : x  y  0 , IH d  I ; AH  4 2 Đặt IA R   AH  IA  IH  R  32 S ABC  AH BC Theo đề bài:  R 50  R  32 R  900 0    R 5 R  18  30 R R  32  13 2 x ABC Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác là:   y   50  x   y   50  x 1, y 2    x 7, y 8 Toạ độ A thoả mãn hệ:  x  y  0 Suy tọa độ điểm A  7;8 , suy a  b 15 Ví dụ 3.2 Cho tam giác ABC có diện tích 2, đường thẳng AB có phương trình x  y 0, điểm I  2;1 trung điểm cạnh BC Điểm K  x0 ; y0  có tung độ dương trung điểm cạnh AC Tìm T x0  y0 A B C Lời giải d  C , AB  2d  I , AB   Do IK // AB  IK : x  y  0 S ABC 2  d  C , AB  AB 2  AB 2 2 Mặt khác: IK  AB  2 Suy ra: D 2 1 1  Do K thuộc đường trịn  C  có tâm I bán kính R IK  Phương trình  C  :  x   2   y  1 2 Nên K giao  C  đường thẳng IK Toạ độ điểm K thoả mãn hệ  x     y  1 2  x 3, y 2  K  3;2       K  1;0   x 1, y 0  x  y  0 Vậy điểm K  3;2  thỏa mãn yêu cầu, suy T 3  5 1  I  ;0  , Ví dụ 3.3 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm   AB 2 AD phương trình đường thẳng AB : x  y  0 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C D biết toạ độ đỉnh A có hồnh độ âm 14 A   2;0  C  3;0  Lời giải B  2;2  D   1;    AD  5, AB 2  AC 5 Ta có IA IB  AC  2 Suy R  C   A , B I Hay thuộc đường tròn tâm bán kính d  I , AB   25  C  :  x    y  2 Như A, B giao đường tròn  C  với đường thẳng  AB Toạ độ A, B thoả mãn hệ:  1 25  x    y  2    x  y  0   x  2, y 0  x 2, y 2    A   2;0    B  2;2  (do xA  ) Lấy đối xứng A, B qua I C  3;0  D   1;   2 Ví dụ 3.4 Xét hai số thực x, y thoả mãn x  y  x  y  0 Giả sử M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức T 4 x  y Tính M m 12 B 25 162 A 144 C 25 D 18 Lời giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, lấy điểm M  x; y    : x  y  T 0 x, y x  y  x  y  0, Do hai số thoả mãn M   C  : x  y  x  y  0 đường trịn có tâm I  1;3 , R 1 M điểm chung   C   d  I ,   R  13  T 5  T 18  x   x  y  x  y  0    4 x  y  18 0  y 18  Vậy max  T  18 2 nên 15  x   x  y  x  y  0    4 x  y  0  y 12  T  8  Suy M m 144 0  x  y 1  Ví dụ 3.5 Cho hệ phương trình  x  y  xy  m 1 với m tham số Giả sử m giá trị để hệ phương trình có nghiệm Khi m thuộc khoảng sau đây?  3  1;   3;0  1;1 1;2       A B C D   2 Lời giải Hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình sau: 0  x  y 1  I 0  x  y 1    2  x  1   y  1 m   II   xy  m 1   x  y  Tập nghiệm  I  phần nằm hai đường thẳng d : y  x ; d ' : y  x  lấy d ' Nếu m  hệ phương trình vơ nghiệm Nếu m   tập nghiệm  II  hình trịn  C  có tâm A  1;1 bán kính R  m  Hệ phương trình có nghiệm d ' tiếp tuyến đường tròn  C  Nghĩa : m    m  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  Các ví dụ cho thấy ứng dụng hiệu đa dạng giải toán Các toán Đại số - Giải tích khó với học sinh phổ thơng, dễ hiểu dùng cơng cụ hình học kết hợp hình ảnh trực quan m  16 Bài tập tự luyện Câu C : x  y  x  y  0, đường Cho đường tròn thẳng  : x  y  0 cắt  C  hai điểm A B Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với  C  M cắt đường thẳng  N cho MN  AB  C  :  x  1  C  :  x  2 2   y  3 10 nội tiếp hình vng ABCD Tìm toạ độ đỉnh hình vng biết cạnh AB qua M   3;   điểm A có hồnh độ dương B Câu Cho ABC vuông nội tiếp đường tròn Câu Cho đường tròn   y   5, biết toạ độ điểm A  2;0  diện tích ABC Tìm toạ độ điểm B Câu Cho đường trịn  C  ngoại tiếp tam giác ABC có A  0;5 , B  3;   Trọng tâm G nằm đường thẳng d : x  y  0 Trực tâm H có hồnh độ Đỉnh C có hồnh độ dương a) Viết phương trình đường trịn  C  b) Lập phương trình đường thẳng  vng góc với d cắt  C  hai điểm M , N cho tam giác IMN có diện tích lớn (với I tâm  C  ) 2 Câu Cho điểm A  0;1 đường tròn  C  : x  y  x  y  0 Viết phương trình đường thẳng  cắt  C  hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A 2 Câu Cho đường tròn  C  : x  ( y  1) 2 tâm I đường thẳng d : x  y  0 Tìm toạ độ điểm M  d cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) tới  C  để a) S MAB 1 b) S IAB nhỏ 2 Câu Cho đường tròn  C  : x  y  x  y  21 0 đường thẳng d : x  y  0 Xác định toạ độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp đường tròn  C  , biết điểm A nằm d mx  y  m  0  2 Câu Cho hệ phương trình  x  y  x  15 0 ( m tham số) a) Chứng minh hệ cho ln có hai nghiệm phân biệt 17 b) Gọi  x1 ; y1  ,  x2 ; y2  hai nghiệm hệ Tìm giá trị lớn nhỏ 2 biểu thức T  x1  x2    y1  y2  x    x   x  1   x  m Câu Tìm m để phương trình có nghiệm   x  y  Câu 10 Tìm m để hệ  y  my  3m m có nghiệm IV KIỂM NGHIỆM Nội dung đề tài kết hợp chặt chẽ tư toán phương pháp dạy học, xây dựng hệ thơng ví dụ lơ-gíc dựa chất hình học tương giao đường thẳng với đường trịn Trong q trình thực tơi nhận thấy: - Các em chăm nghe giảng giải tập, bước đầu hình thành nên lối tư khoa học hơn, sâu sắc - Giờ dạy sôi nổi, tạo nên tinh thần học tập chung cho lớp - Các em có nhiều thay đổi tích cực phương pháp học tập tư giải toán - Một số em sáng tạo thêm tập dựa vào toán gốc cho lớp làm, phong trào thi đua học tập lớp ngày nâng cao * Kết kiểm chứng - Thông tin học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng Đề tài thực lớp 10C1 với 42 học sinh, lớp đối chứng lớp 10C2 với 36 học sinh Thông tin ban đầu hai lớp tương đồng tỉ lệ nam nữ; phần trăm xếp loại học lực mơn Tốn năm học 2022 – 2023 Lớp 10C 10C Sĩ số N ữ 42 24 36 23 Xếp loại học lực mơn Tốn năm học 2022 - 2023 Giỏi 11.91% 8.33% Khá 28.57% 12 22.22% TB 33.33% 14 44.44% 16 Yếu 26.19% 11 25.0% Kém 0.0% 0.0% 18 - Kết sau tác động Kết sau tác động, đánh giá kết kiểm tra học kỳ hai lớp Bảng phân bố tần số điểm hai lớp Độ Sĩ Trun Lớp Điểm lệch số g bình chuẩn 1 10C 42 0 0 7 6.71 2.77 10C 36 0 5.97 3.47 Bảng xếp loại học lực mơn Tốn qua kiểm tra Sĩ Xếp loại học lực mơn Tốn năm học 2022 - 2023 Lớp Nữ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số 10C1 42 24 17.5% 32.5% 40.0% 10.0% 0.0% 10C2 36 23 16.6% 22.2% 41.7% 29.5% 0.0% C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết thực đề tài Qua thời gian thực tế dạy học, nhận thấy chưa đưa đề tài vào giảng dạy, học sinh giải tập đơn giản Khơng biết phân tích tốn, lúng túng khơng biết đâu, xử lí giả thiết cho nào, dẫn đến không làm Sau học đề tài học sinh làm tốt tập khó, em hứng thú say mê học tập, có cách nhìn nhận vấn đề tốt hơn, tư duy, tiếp cận tìm lời giải nhanh, số em có hướng tư độc đáo Qua khảo sát lớp dạy (lớp 10 học sinh 12 ôn thi Đại học – Cao đẳng) kết tăng lên rõ rệt Bài học kinh nghiệm kiến nghị - Phát triển lực tư duy, tư độc lập cho học sinh vấn đề cần thiết cấp bách nay, có em phát huy hết khả có ý tưởng hay giải toán, tránh lời giải máy móc khơ khan, loại bỏ dần cách học sai lệch học tủ, học vẹt - Người thầy cần xác định tầm quan trọng việc xây dựng tảng kiến thức, tảng có vững vàng em có đủ nội lực để tiếp nhận kiến thức mới, tảng có vững vàng em có sở để phát triển, sáng tạo học 19 - Nội dung đề tài đồng nghiệp thực nghiệm đơn vị hiệu tập thể đánh giá tốt, học sinh học theo phương pháp có kết học tập tốt hơn, khả thao tác với khối hình khơng gian linh hoạt hơn, xác Vì tơi đề xuất cơng bố đề tài để nhiều đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn./ XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2023 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Nguyễn Văn Sơn