Bài 5 đường tròn trong mặt phẳng tọa độ câu hỏi p1

Bài ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ PHẦN A LÝ THUYẾT Phương trình đường trịn 2 Phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R ( x  a)  ( y  b) R Phương trình đường trịn dạng thường gọi phương trình tắc đường trịn Ví dụ Lập phương trình đường trịn trường hợp sau: a) Đường tròn tâm O bán kính R ; b) Đường trịn tâm I ( 1;3) bán kính Giải a) Phương trình đường trịn tâm O bán kính R ( x  0)  ( y  0) R  x  y R b) Phương trình đường trịn tâm I ( 1;3) bán kính [ x  ( 1)]2  ( y  3)2 7  ( x  1)  ( y  3) 49 Ví dụ Tìm tâm bán kính đường trịn có phương trình ( x  2)  ( y  5)2 9 Giải 2 2 Ta có: ( x  2)  ( y  5) 9  [ x  ( 2)]  ( y  5) 3 Vậy đường trịn cho có tâm I ( 2;5) bán kính R 3 2 Nhận xét: Ta viết phương trình ( x  a)  ( y  b) R đường trịn tâm I (a; b) bán kính R 2 phương trình có dạng x  y  2ax  2by  c 0 Dạng thường gọi phương trình tổng qt đường trịn Ví dụ 2 a) Phương trình x  y  x  y  0 có phải phương trình đường trịn khơng? Nếu phải, xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn 2 b) Xác định điều kiện a, b, c để phương trình x  y  2ax  2by  c 0 phương trình đường trịn Khi đó, xác định toạ độ tâm bán kính theo a, b, c Giải a) Ta có: x  y  x  y  0  x  x   y  y  9  ( x  2)  ( y  1) 32 Phương trình phương trình đường trịn tâm I (2;  1) bán kính R 3 b) Ta có: Trang x  y  2ax  2by  c 0   x  2ax  a    y  2by  b  a  b  c  ( x  a)  ( y  b) a  b  c 2 Do đó, phương trình phương trình đường trịn a  b  c Lúc đường trịn cho có tâm I (a; b) bán kính R  a  b2  c Phương trình đường trịn qua ba điểm khơng thẳng hàng Do có đường trịn qua ba điểm không thẳng hàng cho trước nên ta lập phương trình đường trịn biết toạ độ ba điểm nói Ví dụ Lập phương trình đường trịn qua ba điểm A( 1;1), B(0;  2), C (0; 2) Giải 2 2 2 Giả sử tâm đường trịn điểm I (a; b) Ta có IA IB IC  IA IB IC Vì IA IB , IB IC nên (  a )  (1  b) (0  a)  (  b)  2 2 (0  a )  (  b) (0  a)  (2  b)  a  b  2a  2b  a  b  4b   2 2  a  b  4b  a  b  4b   2a  2b 4b  a 1   b 0 b 0 2 Đường tròn tâm I (1;0) bán kính R IC  a  b  4b   2 Phương trình đường tròn ( x  1)  ( y  0) ( 5) 2 Vậy phương trình đường tròn ( x  1)  y 5 II Phương trình tiếp tuyến đường trịn M x ;y  - Đường thẳng M 0t qua điểm 0 có vectơ pháp tuyến IM  x0  a; y0  b  - Phương trình tiếp tuyến M 0t  x0  a   x  x0    y0  b   y  y0  0 2 Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến điểm M (2;1) thuộc đường tròn ( x  1)  ( y  3) 5 Giải 2 Đường trịn có tâm I (1;3) Phương trình tiếp tuyến điểm M (2;1) thuộc đường tròn ( x  1)  ( y  3) 5 Trang (2  1)( x  2)  (1  3)( y  1) 0  1( x  2)  2( y  1) 0  x  y 0 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vật chuyển động tròn ngược chiều kim đồng hồ đường tròn tâm I (3; 2) bán kính tác dụng lực căng dây Khi vật chuyển động tới điểm M (6; 6) dây căng bị đứt a) Viết phương trình quỹ đạo chuyển động vật sau dây bị đứt, biết vật chịu tác động lực căng dây toán b) Một vật khác chuyển động thẳng đường thẳng có phương trình  : 3x  y  23 0 Chứng minh hai vật không gặp thời điểm Giải a) Quỹ đạo chuyển động vật thứ trước dây bị đứt đường trịn (C ) có phương trình: ( x  3)  ( y  2) 52  ( x  3)  ( y  2) 25 Khi dây bị đứt, vật thứ chịu tác động lực căng dây nên vật tiếp tục chuyển động theo tiếp tuyến Mt điểm M (6; 6) thuộc đường tròn (C ) Phương trình tiếp tuyến Mt là: (6  3)( x  6)  (6  2)( y  6) 0  3( x  6)  4( y  6) 0  x  y  42 0 Vậy quỹ đạo chuyển động vật thứ sau dây bị đứt tia Mt , đường thẳng Mt có phương trình là: 3x  y  42 0 b) Khoảng cách từ tâm đường tròn (C ) đến đường thẳng  : x  y  23 0 là: | 3  2  23 | IH  8  32  42 Vì khoảng cách từ tâm đường tròn (C ) đến đường thẳng  lớn bán kính đường trịn (C ) nên đường trịn (C ) đường thẳng  khơng có điểm chung, tức vật thứ hai không gặp vật thứ dây chưa đứt Mặt khác,  / /Mt nên vật thứ hai không gặp vật thứ sau dây bị đứt Vậy hai vật không gặp PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Nhận dạng phương trình đường trịn  x  a Đưa phương trình dạng: 2   y  b   P  * * I a; b  - Nếu P    phương trình đường trịn có tâm  bán kính R  P * - Nếu P 0   khơng phải phương trình đường trịn Câu Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn? Tìm tâm bán kính có x  y  x  y  0  1 x  y  x  y  13 0   a) b) Trang c) Câu 2 x  y  x  y  0   Cho phương trình d) x  y  x  y  0   x  y  2mx   m   y   m 0  1 a) Tìm điều kiện m để   phương trình đường trịn b) Nếu   phương trình đường trịn, tìm tâm bán kính theo m Câu C : x  y   m   x   m   y  m  0   Cho phương trình đường cong  m  a) Chứng minh   phương trình đường trịn b) Tìm tập hợp tâm đường trịn m thay đổi C c) Chứng minh m thay đổi, họ đường trịn  m  ln qua hai điểm cố định Dạng Thiết lập phương trình đường tròn Cách 1: I a; b  C - Tìm tọa độ tâm  đường trịn   C - Tìm bán kính R đường trịn   2  x  a    y  b  R theo dạng 2 C Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn   là: x  y  2ax  2by  c 0 ( Hoặc - Viết phương trình đường tròn  C x  y  2ax  2by  c 0 ) - Từ điều kiện đề Câu thành lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c C Giải hệ để tìm a, b, c từ tìm phương trình đường trịn   Câu Viết phương trình đường trịn trường hợp sau: I 1;   O 0;0  a) Có tâm  qua  A 1;1 , B 7;5  b) Nhận AB làm đường kính với    Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường trịn  C qua ba điểm A   3;  1 , B   1;3 , C   2;  Câu Cho hai điểm A  8;0  , B  0;  a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 hai điểm A  1;  , B  4;1 Câu điểm C Viết phương trình đường trịn   có tâm thuộc d qua hai điểm A, B Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  0, d : x  y 10 0 A   2;1  C có tâm thuộc d1 , qua điểm A tiếp xúc với d Trong mặt phẳng oxy cho điểm A (-1; 1), B(3; 3) đường thẳng d : x  y  0 Viết Viết phương trình đường trịn Câu phương trình đường trịn (C) qua A, B tiếp xúc d Câu 10 Trong mặt phẳng oxy cho d: x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục tọa độ có tâm thuộc d Trang x  y  0 : viết phương trình đường trịn (C ) có tâm thuộc d Câu 11 Trong mặt phẳng oxy cho d: đồng tời tiếp xúc với 1 : x  y  0  : x  y  0 Câu 12 Trong mặt phẳng oxy cho d : x  y  0  : x  y  0 viết phương trình (C ) có bán kính R 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với  2 Câu 13 Trong mặt phẳng oxy cho (C): x  y  x  0 tia oy cắt (C ) A Viết phương trình (C’) có bán kính R’=2 tiếp xúc ngồi với (C ) A 2 Câu 14 Trong mặt phẳng oxy cho (C): x  y  x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C’ ) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C ) điểm A, B cho AB  Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ hệ oxy cho đường thẳng d : x  y  0 hai đường tròn (C1 ) : ( x  3)  ( y  4) 8; (C2 ) : ( x  5)  ( y  4) 32 Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc ngồi với hai đường trịn Dạng Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn 1.1 Phương pháp    đường trịn  C  có tâm I bán kính R Cho đường thẳng d  I ;    R    cắt  C  hai điểm phân biệt - Nếu d  I ;   R    tiếp xúc với  C  - Nếu d  I ;    R     C  khơng có điểm chung - Nếu 1.2 Phương pháp    : Ax  By  C 0 đường tròn  C  : x  y  2ax  2by  c 0 Cho đường thằng  Ax  By  C 0  I  x  y  2ax  2by  c 0  Xét hệ phương trình  I  có hai nghiệm    cắt  C  hai điểm phân biệt - Nếu hệ  I  có nghiệm    tiếp xúc  C  - Nếu hệ  I  vơ nghiệm     C  khơng có điểm chung - Nếu hệ Vị trí tương đối hai đường trịn  C  ;  C2  có tâm I ; K bán kính R1; R2 Ta có - Cho hai đường trịn C  C  +) (khơng có điểm chung) IK  R1  R2 K +)  C1   C2  I đựng (khơng có điểm chung) IK  R1  R2 Trang K I +)  C1   C2  đồng tâm (khơng có điểm chung) I K ; R1  R2 I +)  C1   C2  tiếp xúc I1 I R1  R2 I +)  C1   C2  tiếp xúc I1I  R1  R2 K M +)  C1   C2  cắt K H I R1  R2  I1 I  R1  R2 I K I K Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ oxy, cho đường thẳng  : x  y  0 đường tròn (C): x  y  x  y  0 a) Chứng minh M(2;1) nằm đường tròn b) Xét vị trí tương đối  (C) 2 Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ oxy, cho đường tròn (C) x  y  x  y  15 0 (C’ ): x  y  x  y  0 Chứng minh đường tròn cắt điểm phân biệt A,B Trang 2 Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) x  y  x  y  0 Và đường thẳng  : x  my   0 Tìm m để (C) cắt  điểm phân biệt 2 Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) x  y  x  y 0 đường thẳng  : mx  y  3m  0 Biện luận theo m số giao điểm  (C) Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn  C  : x  y 1 và:  Cm  : x  y  2(m 1) x  4my  0 Tìm m để hai đường trịn tiếp xúc 2 Câu 21 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn: (C1 ) : x  y  x  y 0 (C2 ) : ( x  1)  ( y  1) 16 Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường trịn  C  : x2  y  x  y  0 Viết phương Câu 22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường trịn trình đường thẳng song song với đường thẳng d : x  y  0 cắt đường trịn theo dây cung có độ dài 2  C  :  x  1   y  1 25 điểm Câu 23 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn M  7;3   C  điểm phân biệt A, B cho Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt MA 3MB 2  C  :  x  1   y  1 25 điểm Câu 24 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn M   1;   C  điểm phân biệt A, B cho độ dài dây Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt cung AB nhỏ 2  C  :  x  1   y   5 Viết phương Câu 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường trịn trình đường trịn  C  có tâm K  5;   cắt đường tròn  C theo dây cung AB có độ dài 2 C : x  1   y  1 1 Câu 26 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trịn    , Lập phương trình đường tròn  C  tiếp xúc với hai trục tọa độ tiếp xúc  C Dạng 4: Tiếp tuyến đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I( a;b) bán kính R  M ( x ; y ) 0 a) Nếu biết tiếp điểm tiếp tuyến qua M nhận vector IM ( x0  a; y0  b) làm vector pháp tuyến nên có phương trình ( x0  a)(x  x )  (y  b)(y  y ) 0 b) Nếu khơng biết tiếp điểm dùng điều kiện tiếp xúc:  tiếp xúc (C )  d ( I ; ) R để xác định tiếp tuyến 2 Câu 27 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C) ( x  1)  ( y  2) 8 a) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) điểm A(3; -4) b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) qua điểm B(5; -2) Trang c) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) biết tiếp tuyến vng góc với d: x  y  2014 0 d) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) biết tiếp tuyến tạo với trục tung góc 450 Câu 28 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C1 ) : x  y  y  0 (C2 ) : x  y  x  y  28 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn Câu 29 Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho đường tròn (C1 ) : ( x  2)  ( y  3)2 2 (C2 ) : ( x  1)  ( y  2) 8 Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn Câu 30 2 Oxy  C  :  x     y  1 5   C  Trong mặt phẳng , cho Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt Ox; Oy A; B cho OA 2OB Câu 31 2 Oxy  C  :  x     y  1 5   Trong mặt phẳng , cho Tìm M   : x  y  0 cho qua M kẻ tới  C  hai tiếp tuyến MA, MB thỏa mãn diện tích tứ giác MAIB 10, với I tâm đường tròn 2 A  1;  1 ; B  1;3 Câu 32 Cho đường tròn (C) có phương trình x  y  x  y  0 điểm hai điểm a) Chứng minh điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngồi đường trịn b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ B  C  : x  y  x  y  0 trường Câu 33 Viết phương trình tiếp tuyến  đường trịn a) Đường thẳng  vng góc với đường thẳng  : x  y  0  b) Đường thẳng  hợp với trục hồnh góc 45 Câu 34 Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau:  C1  : x  y  y  0  C2  : x  y  x  y 16 0 Câu 35 Trong hệ trục Oxy, cho hai đường tròn  C1  :  x  1 2   y   2 ,  C2  :  x   2   y   8 C  C  đường thẳng d : x  y  m 0 Tìm m biết đường thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn Câu 36 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn (C) có phương trình  x  2 2   y  1 8 điểm A thuộc đường thẳng d : x  y  0 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi, biết BD 2 AC hồnh độ điểm A không nhỏ Câu 37 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x  y  0 đường tròn  C  : x  y  x  y  0 Tìm tọa độ điểm M  d cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB  1 N  0;  thỏa mãn khoảng cách từ   đến đường thẳng AB lớn Dạng 5: Tìm diểm thỏa mãn diều kiện cho trước C Phương pháp tìm tập hợp tâm I đường trịn    Bước Tìm giá trị m để tồn tâm I Trang   x  f  m   y g  m  I Bước Tìm toạ độ tâm Giả sử: I   F x; y  0 Bước Tìm mối liên hệ x y theo m ta phương trình  y Bước Dựa vào điều kiện m bước để giới hạn miền x  F x; y  0 Bước Tập hợp điểm I  với phần giới hạn bước   C  : x  y  x  y   đường Câu 38 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn  C  hai thẳng d : x  y   Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến tiếp tuyến hợp với góc 90  C  : x  y  x  y  0 Gọi I Câu 39 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường trịn  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : x  y  0 cho từ M kẻ tâm R bán kính  C  ( A, B tiếp điểm) thỏa mãn hai tiếp tuyến MA, MB đến 12 34 AB  17 a) b) Tứ giác MAIB có diện tích c) Tứ giác MAIB có chu vi  32  d) Tứ giác MAIB hình vuông  C  : x  y  x  y  0 Gọi I Câu 40 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : x  y  0 cho từ M kẻ tâm R bán kính  C  ( A, B tiếp điểm) thỏa mãn : hai tiếp tuyến MA , MB đến a) Tam giác MAB vuông, b) Tam giác MAB đều, c) Hai tiếp tuyến MA, MB tạo với góc 60 , d) Tam giác IAB 2 2 C : x     y   5 Câu 41 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn    đường  C  d điểm N cho thẳng d : x  y  0 Tìm A   7;  1 a) Hai điểm M , N đối xứng qua điểm b) Hai điểm M , N đối xứng qua Ox C : x     y   5 Câu 42 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn    đường  C  điểm M d điểm N cho thẳng d : x  y  0 Tìm Trang a) MN có độ dài nhỏ b) MN có độ dài lớn Câu 43 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 đường tròn  C  : x  y  x  y  0 Xác định tọa độ giao điểm A, B đường tròn  C  đường thẳng d ,  C  cho tam giác ABC vuông B biết A có hồnh độ dương Tìm tọa độ điểm C thuộc Câu 44 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  0 đường tròn  C  :  x  1 thuộc  C 2   y   10 Chứng minh d cắt  C hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC cân C  C  : x  y  x  y  0 đường Câu 45 Trong mặt phăng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường trịn  C  Tìm m để d cắt  C  hai điểm phân biệt A, B thẳng d : x  my  2m  0 Gọi I làm tâm thỏa mãn : a) AB lớn b) AB 2 c) Diện tích IAB lớn d) Diện tích IAB AB lớn 2 C : x  1   y   9 Câu 46 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn    đường thẳng d : x  y  m 0 Tìm m để đường thẳng d có điểm P mà từ kẻ  C  ( A, B tiếp điểm) cho : hai tiếp tuyến PA, PB tới a) Tam giác PAB b) Tam giác PAB vng c) Góc hai tiếp tuyến PA, PB 60 Dạng Tìm quỹ tích tâm đường trịn Phương pháp: C Phương pháp tìm tập hợp tâm I đường tròn    Bước Tìm giá trị m để tồn tâm I   x  f  m   y g  m  I Bước Tìm toạ độ tâm Giả sử: I   F x; y  0 Bước Tìm mối liên hệ x y theo m ta phương trình  Bước Dựa vào điều kiện m bước để giới hạn miền x y  F x; y  0 Bước Tập hợp điểm I  với phần giới hạn bước  Trang 10 C Câu 47 Trong mặt phẳng Oxy , cho phương trình đường cong   có phương trình: x  y  2mx   m  1 y  3m  14 0 C a) Tìm tham số m để   đường tròn C b) Tìm quỹ tích điểm I tâm đường tròn   C C Câu 48 Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm I tâm đường tròn   , biết   tiếp xúc với đường thẳng d : x  y  15 0 có bán kính R 3 C Câu 49 Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm I tâm đường trịn   có bán kính R 2 , biết  C  tiếp xúc tiếp xúc với đường tròn  C ' : x  y  x  y  0 C C Câu 50 Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm I tâm đường tròn   , biết   tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x  y  0, d : 3x  y  0 C C Câu 51 Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm I tâm đường trịn   , biết   tiếp xúc với Ox A 0;1 cắt Oy điểm   Câu 52 Cho ( C ) : x + y - 2mx - 2m y - = Tìm quỹ tích tâm I đường trịn ( C ) ( C ) biết ( C ) tiếp xúc với đường thẳng D1 : x + y - = Câu 53 Tìm tập hợp tâm I đường tròn D : x + y + = Câu 54 Cho đường tròn tròn ( C ) : x + y - 2( m - 1) x - 4my + 3m +11 = Tìm quỹ tích tâm I đường Câu 55 Tìm tập hợp tâm I đường trịn ( C ¢) : x + y - 4x +6 y - = ( C ) biết ( C ) tiếp xúc ngồi với đường trịn có bán kính R =1 Trang 11