Hh7 cđ13 1 su dong quy cua ba duong trung tuyen ba duong phan giac

CHUYÊN ĐỀ 34.1 SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN,PHẦNI.TĨMTẮTLÍTHUYẾT Đườngtrungtuyến củamộttam giác A B M C  Đoạnthẳng A M n ố i đỉnh A c ủ ABCvớitrungđiểm M củacạnh B C gọilàđườngtrung a tuyến(xuấtpháttừđỉnhA h o ặ c ứngvớicạnhB C )của ABC  ĐườngthẳngAMcũng gọilàđường trungtuyếncủa  Mỗitamgiáccóbađườngtrungtuyến ABC Tínhchấtđồngquy củabađườngtrungtuyến Bađườngtrungtuyếncủamộttamgiáccùngđiquamộtđiểm(hayđồngquytạimộtđiểm).Đi ểmgặpnhaucủabađườngtrungtuyếngọi làtrọngtâmcủatamgiácđó Vịtrícủatrọngtâm: Trọngtâmcủamộttamgiáccáchmỗiđỉnhmộtkhoảngbằng quađỉnhấy: độdàiđườngtrungtuyếnđi AG ADBG BECG CF2 PHẦNII.CÁCDẠNGBÀI Dạng1.Sửdụngtínhchấttrọngtâmcủatamgiác I Phươngphápgiải: Sửdụnglinh hoạtcáctỉsốliênquanđếntrọngtâmtamgiác II Bàitốn Bài1.Chọncâusai: A Trong mộttam giác cóbađườngtrungtuyến B Cácđường trungtuyếncủatamgiáccắttạimộtđiểm C Giaocủabađường trungtuyếncủamộttamgiácgọi làtrọngtâm củatamgiácđó D Mộttamgiáccóhai trọngtâm Lờigiải Bài 2.Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm tam giác cách đỉnh mộtkhoảngbằng…độdàiđườngtrung tuyến điqua đỉnhấy” A Lờigiải B C.3 D.2 BG? Bài3.Chohình vẽsau.Tínhtỉsố BE A E F G B C D Lờigiải AG Bài4.Chohình vẽsau.Tìnhtỉsố GD ? A E F G B Lờigiải D C Bài5.TamgiácA B C c ó trungtuyến AM 9cmcm trọngtâmG Tính độdàiđoạnA G ? Lờigiải Bài6.Cho ABC,BC a ,CA b ,AB c Kẻtrungtuyến Chứngminhrằng bca m Lờigiải b a c AM.Đ ặ t A M m a Bài7.Cho ABCcóhaiđườngtrungtuyến a) Tínhcáctỉsố BD,C E BG BD CE,CG b) Chứng minh.BD  C E  3BC Lờigiải Bài8 Cho ABCcó BC 8cm,c c đ n g t r u n g t u y ến minhBD  C E Lờigiải  12cm BD,C E c ắ t n h a u t i G C h ứ n g Bài9.Chotamgiác A B C c ó haiđườngtrungtuyến B P ,C Q c ắ t nhautại G Trêntiađốicủa tia PB.l ấ y đ i ể m E saoc h o P E  P G T r ê n t i a đ ố i c ủ a t i a Q G l ấ y đ i ể m F s ao c h o QF Q G Chứngminh: a) G B G E ,GC G E ; b)EF B C v EF//BC Lờigiải Bài10 Chotamgiác ABC c ó haiđườngtrungtuyến A D ,B E c ắ t nhautại G Trêntia đốicủatia D G l ấ y điểm M s a o choD l trungđiểmcủađoạnthẳng MG.T r ê n tiađốicủatia EGlấy điểmN s a o choE l trung điểmG N Chứngminh: a) G N Lờigiải G B ,GM GA; b) A N M B A N //MB Dạng2.Chứngminh mộtđiểmlàtrọngtâmcủatamgiác I Phươngphápgiải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta dùng hai cáchsau: +Chứngminh điểmđó làgiaođiểmcủahaiđườngtrungtuyếntrong tamgiác + Chứng minh điểm thuộc mộtđường trung tuyến tam giác thỏa mãn mộttrongcác tỉlệvềtínhchấttrọngtâmcủatamgiác II Bàitốn Bài1.Chohaiđườngthẳng xx'v yy'c ắ t n h a u tạiO T r ê n tiaO x l ấ y A,Bsaocho h a i điểm An ằ m g i ữ a O vàB,AB2OA.T r ê n y y 'l ấ y h a i đ i ể m L vàM cho O l t r u n g đ i ể m LM.N ố i B v i L,BvớiM v g ọ i P l trungđiểmcủađoạn MB,Ql trung điểm củađoạn LB.Chứngminhrằng cácđoạnthẳngL P vàMQ đ i quaA Lờigiải Bài2.Cho AB C vớiđườngtrungtuyến A D Trêntia A D l ấ y điểm E s a o cho A D D E , trêntiaB C l ấ y điểmM s a o choB C Lờigiải C M ChứngminhC l trọngtâmcủa  A E M Bài3.Cho ABC.Trênđườngtrungtuyến A M c ủ a tamgiácđó,lấyhaiđiểm D,E s a o cho ADD E E M Chứng minhE l ABC t r ọ n g tâmcủa Lờigiải 2BM BG vàG làtrungđiểmcủa B K Gọi E l trungđiểm C K ;G E c ắ t A C t i I C h ứ n g minh: I l Bài4.Cho trọngtâmcủa Lờigiải ABC.Vẽtrungtuyến B M TrêntiaBMlấyhaiđiểm KGC G,K s a o cho Dạng3 Vấnđềđườngtrungtuyếntrongtamgiácvng,tam giáccân,tamgiácđều I Phươngphápgiải: Chúýnhữngtínhchấtcủatamgiácvng,tamgiáccân,tamgiácđều II Bàitốn Bài 1.Cho tam giácA B C c â n tạiA ,trung tuyếnA M Chứng minh rằngA M v u ô n g góc với BC Lờigiải Bài2.Cho AB có đường trungtuyếnB D vàCEb ằ n g n h a u Chứng minhrằng ABCl C tamgiáccân Lờigiải Bài3.Chotamgiác ABC, đườngtrungtuyếnG ọ i K l trungđiểmcủa tialấyK A đ i ể m E saochoK E KA a) ĐiểmM l trọngtâmcủa tamgiácnào?Vìsao? b) GọiF l t r u n g đ i ể m c ủ a C E Chứng minh rằngba điểm BM.T r ê n tiađốicủa A,M ,F thẳng hàng Lờigiải Bài4.Cho AB C MDMA vuôngtạiA,trungtuyếnA M TrêntiađốicủatiaM A l ấ y điểmD s a o cho a) TínhA B D b) Chứngminh AB D c) ChứngminhA M BAC 1BC  Lờigiải PhầnIII.BÀI TẬPTỰLUYỆN Dạng1 Sửdụngtính chấttrọng tâm củatamgiác Bài1.Chohình 1.Điềnsốthích hợpvàochỗtrống: GD BD;AG GE; GD BG;AE AG; AE GE C D E A G B Hình1 Bài2.ChotamgiácABC,cácđườngtrungtuyến B D v C E c ắ t nhauở G.ChobiếtB D CE.Hãysosánh GBCv GCB Dạng2 Chứngminh mộtđiểmlàtrọngtâmcủatam giác Bài 1.Cho tam giácABC, đường trung tuyếnAM GọiIl t r u n g đ i ể m B M Trên tia đối củatiaI A l ấ y điểmE saochoI E IA a) ĐiểmM l trọngtâmcủa tamgiácnào? b) GọiF trungđiểm củaC E Chứngminh rằngba điểmA ,M,Ft h ẳ n g hàng Bài2.Cho ABC,M làtrungđi ể m A C Trênđoạ n B M l ấ y điểm K s a o cho K M 1KB  BG? Bài3.Chohìnhvẽsau.Tínhtỉsố BE A E F G B C D AG Bài4.Chohình vẽsau.Tìnhtỉsố GD ? A E F G B Bài5.TamgiácA B C c ó trungtuyến D AM 9cmcm trọngtâmG Tính độdàiđoạnA G ? Bài6.Cho ABC,BC a ,CA b ,AB c Kẻtrungtuyến m a c  m b a Bài7.Cho ABCcóhaiđườngtrungtuyến BD,C E BG BD CE,CG b) ChứngminhB D  C E Bài8 Cho AM.Đặt A M bca Chứngminhrằng a) Tínhcáctỉsố C ABCcó  3BC BC 8cm,c c đ n g t r u n g t u y BD,C E c ắ t n h a u t i G C h ứ n g ến minhBD  C E  12cm Bài9.Chotamgiác A B C c ó haiđườngtrungtuyến B P ,C Q c ắ t nhautại G Trêntiađốicủa tiaP B lấyđ i ể m E saoc h o P E  P G T r ê n t i a đ ố i c ủ a t i a Q G l ấ y đ i ể m F saoc h o QF Q G Chứngminh: a) G B Bài10 G E ,GC G E ; b)EF B C v EF//BC Chotamgiác ABC c ó haiđườngtrungtuyến A D ,B E c ắ t nhautại G Trêntia đốicủatia D G l ấ y điểm M s a o choD l trungđiểmcủađoạnthẳng EGlấy điểmN s a o choE l trung điểmG N Chứngminh: a) G N G B ,GM GA; b) A N M B A N Bài11.Chohình 1.Điềnsốthích hợpvàochỗtrống: //MB MG.T r ê n tiađốicủatia GD BD;AG GE; GD BG;AE AG; AE GE C D E A G B Hình Bài12.ChotamgiácA B C ,cácđườngtrungtuyếnB D v C E c ắ t nhauởG.Chobiết BDCE.HãysosánhG B C vàG C B Dạng2.Chứngminhmộtđiểmlàtrọngtâmcủatamgiác Bài1.Chohaiđườngthẳng xx'v yy'c ắ t tạiO T r ê n tiaO x l ấ y h a i điểm A,Bsaocho An ằ m giữaO vàB,AB2OA.T r ê n y y 'l ấ y hai điểmL vàM saochoO l t r u n g đ i ể m LM.N ố i B v i L,Bv i M v g ọ i P l trung MB,Ql t r u n g điểmcủa đoạn điểmcủađoạn LB.Chứngminhrằng cácđoạnthẳngL P vàMQ đ i quaA Bài2.Cho AB C vớiđườngtrungtuyến A D Trêntia A D l ấ y điểm E s a o cho A D D E , trêntiaB C l ấ y điểmM s a o choB C  C M ChứngminhC l trọngtâmcủa A E M Bài3.Cho ADD E ABC.Trênđườngtrungtuyến A M c ủ a tamgiácđó,lấyhaiđiểm D,E s a o cho E M Chứng minhE l ABC t r ọ n g tâmcủa 2BM BG vàG làtrungđiểmcủa B K Gọi E l trungđiểm C K ;G E c ắ t A C t i I C h ứ n g minh: I l Bài4.Cho ABC.Vẽtrungtuyến B M TrêntiaBMlấyhaiđiểm G,K s a o cho trọngtâmcủa KGC Bài 5.Cho tam giácABC, đường trung tuyếnAM GọiIl t r u n g đ i ể m B M Trên tia đối củatiaI A l ấ y điểmE saochoI E IA a) ĐiểmM l trọngtâmcủa tamgiácnào? b) GọiF trung điểm củaC E Chứngminh rằngbađiểmA ,M,Ft h ẳ n g hàng 1KB  ĐiểmH t h u ộ c t i a đ ố i c ủ a t i a M K s a o c h o B H  BK.G ọ i I l đ i ể m t h u ộ c c n h A C v 1CA ĐườngK I c ắ t H C E IC Bài6.Cho ABC,M làtrungđi ể m A C Trênđoạ n B M l ấ y điểm K s a o cho K M a) ChứngminhIlàtrọngtâmcủaHKCvàElàtrungđiểmcủaHC b) Tínhcáctỉsố IE ,I C Chứngminhbađiểm IKM C H,I ,Fthẳnghàng(I l trungđiểmK C )