Chuyen de su dong quy cua ba duong trung truc ba duong cao trong mot tam giac toan 7

CHUYÊN ĐỀ SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT Đường trung trực tam giác: Định nghĩa: Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Định lí 1: Ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Nhận xét: Vì giao điểm ba đường trung trực tam giác cách ba đỉnh tam giác nên tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác Tính chất: ΔABC cân A , AM đường trung tuyến đường trung trực BC Cụ thể: a) Cho ∆ABC , ( d ) đường trung trực cạnh BC ( d ) gọi đường trung trực ∆ABC ứng với cạnh BC d A C B b) Trong hình sau, điểm O giao điểm đường trung trực ∆ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC A O B C c) ΔABC cân A , AM đường trung tuyến đường trung trực BC A C B M Đường cao tam giác: Định nghĩa: Đoạn thẳng kẻ từ đỉnh tam giác vuông góc với cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Định lí 2: Ba đường cao tam giác đồng quy điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Cụ thể: a) AH đường cao ∆ABC ⇔ AH ⊥ BC A B C H b) Trong hình vẽ AD, BE,CF đường cao, H trực tâm ∆ABC A F B E H C D Chú ý: a) ∆ABC tam giác nhọn H nằm tam giác A K L H B H C b) ∆ABC tam giác vng A điểm H trùng với điểm A B I C A≡H c) ∆ABC tam giác tù điểm H nằm tam giác H K L A B C I Bổ sung: Tính chất tam giác cân: ΔABC cân A, AM đường cao đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác A B M C PHẦN II CÁC DẠNG BÀI BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I Phương pháp giải: - Dựa vào định nghĩa đồng quy ba đường trung trực tam giác - Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực tam giác cách ba đỉnh tam giác Cho ∆ABC , ( d ) đường trung trực cạnh BC ( d ) gọi đường trung trực ∆ABC ứng với cạnh BC d A C B Điểm O giao điểm đường trung trực ∆ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC A O C B II Bài toán Bài Chọn đáp án Điểm cách đỉnh tam giác giao điểm của: A đường trung tuyến B đường phân giác C đường trung trực D đường cao Lời giải: Điểm nằm cách đỉnh tam giác giao điểm đường trung trực Chọn đáp án C Bài Chọn đáp án a) Cho ∆ABC tù, giao điểm đường trung trực tam giác nằm: A ∆ABC B ∆ABC C cạnh ∆ABC D trùng với đỉnh ∆ABC b) Cho ∆ABC có A = 90° tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác: A nằm ∆ABC B nằm ∆ABC C trung điểm cạnh BC D trùng với đỉnh A ∆ABC c) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm đường trung trực tam giác nằm: A ∆ABC B ∆ABC C cạnh ∆ABC D trùng với đỉnh ∆ABC Lời giải: a) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm đường trung trực tam giác nằm ∆ABC Chọn đáp án B b) Cho ∆ABC có A = 90 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh BC Chọn đáp án C c) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm đường trung trực tam giác nằm ∆ABC Chọn đáp án A Bài Cho ΔABC Vẽ điểm O cách ba đỉnh A, B, C vẽ đường tròn qua đỉnh tam giác trường hợp sau: a, ΔABC tam giác nhọn b, ΔABC vuông A c, ΔABC tam giác tù Lời giải: a, ΔABC tam giác nhọn b, ΔABC vuông A c, ΔABC tam giác tù Bài Cho A, B, C ba điểm phân biệt khơng thẳng hàng Xác định đường trịn qua ba điểm Lời giải: A B O C Gọi đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O ta có OA = OB = OC Ba điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng tạo thành tam giác ABC Vì OA = OB = OC nên O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Vậy đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O giao ba đường trung trực ∆ABC bán kính OA Bài Cho ∆ABC có A > 90° Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC theo thứ tự D E Nối AD, AE,OB,OC Tìm tam giác ∆OAD , ∆OAE Lời giải: A B C E D O OD đường trung trực AB suy DA = DB, OA = OB Do ∆OAD = ∆OBD (c.c.c) Tương tự ∆OAE = ∆OCE Bài Cho ∆ABC vuông A , đường cao AH Tia phân giác góc BAH CAH cắt BC D E Gọi O giao điểm đường phân giác tam giác ABC a) Chứng minh đường trịn tâm O , bán kính OA qua ba điểm A, D, E b) Tính số đo góc DOE Lời giải: A O x B D H E C a) Ta có BAE = BAC − EAC = 900 − EAC (1) AEB = 900 − HAE (2) Mà EAC = HAE ( gt ) , từ (1), ( ) suy r BAE = AEB nên ∆AEB cân B Vì O giao điểm đường phân giác tam giác ABC nên BO đường phân giác tam giác cân ABE , BO đường trung trực AE , suy OA = OE ( 3) Chứng minh tương tự, CO đường trung trực AD , suy OA = OD (4) Từ (3) (4) suy OA = OD = OE Điều chứng tỏ ba điểm A, E, D nằm đường trịn tâm O , bán kính OA hay đường trịn tâm O bán kính OA qua điểm A, E, D b) Từ (3) suy ∆OAE cân O , nên OAE = OEA Vẽ tia Ox tia đối tia OA , ta có EOx = OAE + OEA = 2xAE Tương tự, xOD = 2xAD ( ) ( Do đó, DOE = xAD + xAE = 2DAE = DAH + HAE = ) BAH + HAC BAC = = 900 2 Vậy DOE = 90° Bài Tam giác ABC có A góc tù Các đường trung trực cạnh AB AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao? Lời giải A B O C Từ giả thiết suy OA = OB = OC Vậy điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA Bài Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB = OD a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh ∆ABD , ∆CBD vuông c) Biết ABC = 70° Hãy tính số đo ADC Lời giải a) Vì O giao điểm hai đường trung trực AB AC nên OA = OB = OC Mà OD = OB nên OD = OA OD = OC ⇒ O thuộc đường trung trực AD CD b) Xét ∆OAB cân O ⇒ OAB = OBA = Xét ∆OAD cân O ⇒ OAD = ODA = ⇒ OAB + OAD = = 180° − 180°− AOD 180° − AOB 180° − AOD + 2 AOB + AOD 1800 − AOB = 180° − 180° = 90° ⇒ BAD = 90° ⇒ ∆ABD vuông A Chứng minh tương tự ∆CBD vuông C c) Ta có ∆ABD vng A nên ADB = 90° − ABD Ta có ∆BCD vng C nên BDC = 90° − CBD ( ) ⇒ ADO + ODC = 180° − ABO + CBO ⇒ ADC = 180° − ABC = 180° − 70° = 110° Bài Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt O Biết điểm O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC A F O B E D C Lời giải: Cách 1: Cho AO cắt BC F , BO cắt AC E , CO cắt AB D Suy D, E, F trung điểm AB, AC, BC Vì O giao điểm đường trung trực nên OD ⊥ AB D , OE ⊥ AC E , OF ⊥ BC F Suy AD, BE,CF đường trung trực ∆ABC Vì AD đường trung trực ∆ABC nên AB = AC (1) Vì BE đường trung trực ∆ABC nên BA = BC (2) Từ (1) (2) suy AB = AC = BC suy ∆ABC Cách 2: Cho AO cắt BC F , BO cắt AC E , CO cắt AB D Suy D, E, F trung điểm AB, AC, BC Vì O giao điểm đường trung trực nên OD ⊥ AB D , OE ⊥ AC E, OF ⊥ BC F Suy AD, BE,CF đường trung trực ∆ABC Xét ∆AFB ∆AFC có: AF chung ( AFB = AFC = 90 ) BF = CF (vì AF trung trực BC ) Do : ∆AFB = ∆AFC (c.g.c) ⇒ AB = AC Chứng minh tương tự ta được: BA = BC Do đó: AB = AC = BC Vậy ∆ABC tam giác Bài 10 Cho ∆ABC Trên cạnh AB, BC,CA lấy theo thứ tự ba điểm M , N, P cho AM = BN = CP a Chứng minh ∆MNP tam giác b Gọi O giao điểm đường trung trực ∆ABC Chứng minh điểm O giao điểm đường trung trực ∆MNP Lời giải: a) ∆ABC nên AB = BC = CA Mà AM = BN = CP => BM = CN = AP Xét ∆AMP ∆BNM có AM = BN (gt) MAP = NBM ( ∆ABC đều) + Xét ∆AKH ∆BKC1 hai tam giác vng có: AK = KB , KH = KC1 ⇒ ∆AKH = ∆BKC1 (hai cạnh góc vng) ⇒ AH = BC1 (1) A1 = B1 Vì A1 = B1 vị trí so le ⇒ AH //BC1 (2) + Xét ∆AIH ∆CIB1 hai tam giác vng có: HI = IB , AI = IC ⇒ ∆AIH = ∆CIB1 (hai cạnh góc vng) ⇒ AH = CB1 (3) A2 = C1 Vì A2 = C1 vị trí so le ⇒ AH //CB1 (4) Từ (1) (3) ⇒ BC1 //CB1 ( //AH ) Từ (2) (4) ⇒ BC1=CB1 ( = AH ) + Chứng minh tương tự ta có AC1 // CA1 AC1 = CA1 ; BA1 // AB1 BA1 = AB1 Mà H giao điểm ba đường trung trực ∆ABC nên AH = BH = CH Do BC1 = CB1 = AC1 = CA1 = AB1 = BA1 b) Kẻ BB1 , AA1 Xét ∆BCB1 ∆B1C1B có: B1C = C1B (chứng minh trên) BB1C = B1BC1 (2 góc so le B1C //C1B ) BB1 cạnh chung ⇒ ∆BCB1 = ∆B1C1B (c.g.c) ⇒ BC = C1B1 Chứng minh tương tự ta A1B1 = AB , A1C1 = AC Xét ∆A1B1C1 ∆ABC có: C1B1 = BC , A1B1 = AB , A1C1 = AC ⇒ ∆A1B1C1 = ∆ABC (c.c.c) BA ĐƯỜNG CAO Dạng Xác định trực tâm tam giác Bài 14 A M N B H K C *) Các đường cao ∆BHC là: HK, BN,CM cắt A Vậy trực tâm ∆BHC A *) Các đường cao ∆AHC là: HM , AN,CK cắt B Vậy trực tâm ∆AHC B *) Các đường cao ∆AHB là: HM , AM , BK cắt C Vậy trực tâm ∆AHB C Bài 15 Ta có EM đường trung tuyến ∆EBC vuông E , EM = BC (1) Tương tự ta có ED đường trung tuyến ∆DBC vng D , DM = BC (2) Từ (1), (2) suy ME = MD , M nằm đường trung trực ED Bài 16 x D E C A M B a) Do tia AC cắt BD E nên hai điểm C D nằm phía với AB Do MA = MC AMC = 90° nên tam giác AMC vuông cân M Tương tự ta có ∆BMD vng cân M Từ suy EDC = DCE = 45° ⇒ CED = 90° ⇒ AC ⊥ BD b) Trong tam giác ABD , hai đường cao AE DM cắt nên C trực tâm tam giác ABD Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba đường thẳng đồng quy Bài 17 L Q S M N P Vì MQ ⊥ LN , LN ⊥ MN ⇒ S trực tâm ∆LMN ⇒ NS ⊥ ML Bài 18 M K P S Q N Xét ∆MPN cân M có MS đường phân giác (gt) ⇒ MS ⊥ PN Lại có PQ ⊥ MN ⇒ K trực tâm ∆MPN ⇒ NK ⊥ MP Bài 19 B D H K A  AB ⊥ AC (gt) Ta có:  DK // AB (gt) ⇒ DK ⊥ AC (quan hệ từ vng góc đến song song) Lại có: CH ⊥ AD DK giao CH K ⇒ K trực tâm ∆ADC ⇒ AK ⊥ CD Bài 20 C R M Q P S N a) Gọi RN giao PQ S Ta có: MQ = MP (gt) ⇒ ∆MPQ cân M Có NMP =90 ⇒ SPR = Tương tự: SRP = 1800 − 900 1800 − RMN = = 45 1800 − 900 Lại có: RSP + SRP + SPR = 1800 = 45 ( định lí tổng ba góc tam giác) ⇒ RSP = 1800 − SRP − SPR = 900 ⇒ PQ ⊥ NR a) Xét ∆PRN có: NM ⊥ RP (gt) PS ⊥ RN (cmt) mà NM giao PS Q ⇒ Q trực tâm ∆PRN ⇒ RQ ⊥ NP Dạng Vận dụng tính chất ba đường cao tam giác để giải toán khác Bài 21 M Q R S N H a) Xét ∆MNP có: PR ⊥ MN (gt) , NQ ⊥ MP (gt) ⇒ S trực tâm ∆MNP ⇒ MS ⊥ NP P b) Gọi MS giao NP H ⇒ MH ⊥ NP ⇒ ∆NMH vuông H ⇒ SMR + MNH = 900 ⇒ SMR = 900 − MNH = 900 − 650 = 250 Bài 22 A K M H C B D a) Ta có: BA = BD (gt) ⇒ ∆BAD cân B Lại có: BM đường phân giác (gt) ⇒ BM ⊥ AD b) Xét ∆AMD có: BM ⊥ AD   AK ⊥ MD DH ⊥ AM  ⇒ Ba đường thẳng AK, BM , DH ba đường cao ∆AMD ⇒ Ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy PHIẾU BÀI TẬP BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài Chọn đáp án Điểm cách đỉnh tam giác giao điểm của: A đường trung tuyến B đường phân giác C đường trung trực D đường cao Bài Chọn đáp án a) Cho ∆ABC tù, giao điểm đường trung trực tam giác nằm: A ∆ABC B ∆ABC C cạnh ∆ABC D trùng với đỉnh ∆ABC b) Cho ∆ABC có A = 90° tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác: A nằm ∆ABC B nằm ∆ABC C trung điểm cạnh BC D trùng với đỉnh A ∆ABC c) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm đường trung trực tam giác nằm: A ∆ABC B ∆ABC C cạnh ∆ABC D trùng với đỉnh ∆ABC Bài Cho ΔABC Vẽ điểm O cách ba đỉnh A, B, C vẽ đường tròn qua đỉnh tam giác trường hợp sau: a) ΔABC tam giác nhọn b) ΔABC vuông A c) ΔABC tam giác tù Bài Cho A, B, C ba điểm phân biệt không thẳng hàng Xác định đường trịn qua ba điểm Bài Cho ∆ABC có A > 90° Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC theo thứ tự D E Nối AD, AE,OB,OC Tìm tam giác ∆OAD , ∆OAE Bài Cho ∆ABC vuông A , đường cao AH Tia phân giác góc BAH CAH cắt BC D E Gọi O giao điểm đường phân giác tam giác ABC a) Chứng minh đường trịn tâm O , bán kính OA qua ba điểm A, D, E b) Tính số đo góc DOE Bài Tam giác ABC có A góc tù Các đường trung trực cạnh AB AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao? Bài Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB = OD a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh ∆ABD , ∆CBD vng c) Biết ABC = 70° Hãy tính số đo ADC Bài Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt O Biết điểm O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC Bài 10 Cho ∆ABC Trên cạnh AB, BC,CA lấy theo thứ tự ba điểm M , N, P cho AM = BN = CP a Chứng minh ∆MNP tam giác b Gọi O giao điểm đường trung trực ∆ABC Chứng minh điểm O giao điểm đường trung trực ∆MNP Bài 11 Trong buổi tổng vệ sinh sân trường, tổ cần dọn cỏ rác bồn A, B, C góc sân trường Em giúp tổ chọn vị trí O để đặt xe đẩy rác cho vị trí xe cách bồn Dạng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng Bài Cho ∆ABC cân A Dựng tam giác BCD cân D biết D khác phía với A đường đường thẳng BC Gọi O giao điểm AB AC Chứng minh A,O, D thẳng hàng Bài Cho ∆ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm, O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC a) Tam giác BOC tam giác gì? b) Chứng minh ba điểm A,O,G thẳng hàng? Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường trung trực AB, AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cho tam giác BCD cân D ( D A nằm khác phía đường thẳng BC ) Chứng minh đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD Bài Cho ∆ABC vuông A , D giao điểm hai đường trung trực hai cạnh AB AC Chứng minh B, D,C thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A M trung điểm BC Kẻ ME vng góc AB E, MF vng góc với AC F a) Chứng minh AM đường trung trực EF ? b) Kẻ đường thẳng d vng góc AB B , kẻ đường thẳng d / vng góc với AC C , hai đường thẳng d d / giao giao D Chứng minh ba điểm A, M , D thẳng hàng? Bài Cho tam giác nhọn ABC Gọi H ,G,O theo thứ tự trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực tam giác Tia AG cắt BC M Gọi I trung điểm GA, K trung điểm GH Chứng minh: a) OM = AH b) ∆IGK = ∆MGO c) Ba điểm H ,G,O thẳng hàng d) GH = 2GO Bài Cho tam giác ABC cân A , đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O Kéo dài CO cắt AB D , kéo dài BO cắt AC E a) Chứng minh ba điểm A, K ,O thẳng hàng b) Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy Dạng Vận dụng tính chất ba đường trung trực tam giác để giải toán khác Bài Cho ∆ABC cân A , đường trung tuyến AM Đường trung trực AC cắt đường thẳng AM D Chứng minh DA = DB Bài Cho tam giác cân ABC có AB = AC Hai đường trung trực hai cạnh AB; AC cắt O Chứng minh: AOB = AOC Bài Cho ∆ABC , M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt O Tính số đo góc OMB Bài Cho ∆ABC có góc A = 110° Đường trung trực cạnh AB AC cắt I a) Chứng minh ∆BIC cân ( ) b) Chứng minh BIC = 180°− BAC tính số đo góc BIC Bài Cho ∆ABC có Aˆ = 60° Các đường trung trực cạnh AB AC cắt BC E F Tính EAF Bài Cho ∆ABC cân A Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực AC K Chứng minh KA = KB = KC Bài Cho ∆ABC cân A , A > 900 Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC b) BC = CE c) ∆ODE tam giác cân Bài Chứng minh đường trung trực tam giác vuông cắt trung điểm cạnh huyền Bài Cho tam giác ABC Gọi D E hai điểm hai cạnh AB AC cho BD = AE Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng DE qua điểm cố định D E di chuyển cạnh AB AC Bài 10 Cho ∆ABC , AC > AB Hai điểm D E theo thứ tự di chuyển cạnh AB AC cho BD = CE Chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định BA ĐƯỜNG CAO Dạng Xác định trực tâm tam giác Bài Cho ∆ABC có ABC = 90° , AH ⊥ BC Em chọn phát biểu đúng: A H trực tâm ∆ABC B A trực tâm ∆ABC C B trực tâm ∆ABC D C trực tâm ∆ABC Bài Cho ∆ABC , hai đường cao AM BN cắt H Em chọn phát biểu đúng: A H trọng tâm ∆ABC 2 3 B HA = AM HB = BN C H trực tâm ∆ABC ; CH đường cao ∆ABC D CH đường trung trực ∆ABC Bài Cho ∆ABC cân A có AM ⊥ BC M Chọn phát biểu đúng: A AM đường trung tuyến ∆ABC B AM đường trung trực BC C AM đường phân giác BAC D Cả A, B, C Bài Cho ∆ABC vuông A Lấy H thuộc AB , vẽ HE ⊥ BC E Tia EH cắt tia CA D Khi A H trọng tâm ∆BCD B H trực tâm ∆BCD C H giao ba đường trung trực ∆BCD D H giao ba đường phân giác ∆BCD Bài Cho tam giác ∆ABC vng A, đường cao AH Tìm trực tâm giác ∆ABC, ∆AHB, ∆AHC Bài Cho H trực tâm tam giác ABC không vng Tìm trực tâm tam giác HBC, HAB, HAC Bài Cho ∆ABC có A = 700 , AB < AC , đường phân giác góc A cắt BC D , BF ⊥ AC F , H giao điểm BF AD , E thuộc AC cho AE = AB a) Xác định trực tâm ∆ABE b) Tính số đo DHF Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy Bài Cho ∆ABC cân A , đường cao BE cắt đường trung tuyến AD H Chứng minh CH tạo với AB góc 90 Bài Cho tam giác ∆ABC cân A đường cao CH cắt tia phân giác góc A D Chứng minh BD ⊥ AC Bài Cho ∆MNP vuông M Trên cạnh MN lấy điểm Q , kẻ QR ⊥ NP ( R ∈NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ ⊥ ON Bài Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cho A trung điểm BD Kẻ đường cao AE tam giác ABC , đường cao AF tam giác ACD Chứng minh AE ⊥ AF Bài Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S a) Chứng minh MS ⊥ NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR Bài Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH D Chứng minh AK ⊥ CD Bài Cho tam giác ABC vuông cân B Trên cạnh AB lấy điểm H.Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BH = BD Chứng minh a) DH ⊥ AC b) CH ⊥ AD Bài Cho tam giác MNP vuông M (MP < MN ) Trên cạnh MN lấy điểm Q cho MQ = MP , tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh: a) PQ ⊥ NR b) RQ ⊥ NP Bài Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA a) Chứng minh BM ⊥ AD b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC, K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy Bài 10 Đoạn thẳng AB điểm M nằm A B (MA < MB) Vẽ tia lấy hai điểm C D cho MA = MC , MD = MB Tia AC vuông cắt BD E Chứng minh: a) AE ⊥ BD b) C trực tâm tam giác ABD Bài 11 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Kẻ AC ⊥ Oy, BD ⊥ Ox (C ∈Ox, D ∈Oy) Đường thẳng vng góc với Ox A đường thẳng vng góc với Oy B cắt M Chứng minh: OM , AC, BD đồng quy Bài 12 Cho tam giác ABC vng A có BD đường phân giác Trên cạnh BC lấy điểm E cho BA = BE Vẽ CH ⊥ DB Chứng minh BA, DE,CH đồng quy Dạng Vận dụng tính chất ba đường cao tam giác để giải toán khác Bài Cho ∆ABC Ba đường cao AM , BN,CP cắt O Chứng minh rằng: a) OA = OB = OC b) O trọng tâm ∆ABC c) AM = BN = CP Bài Chứng minh tam giác có hai đường cao (xuất phát từ đỉnh hai góc nhọn) tam giác tam giác cân Bài Chứng minh tam giác có ba đường cao tam giác tam giác Bài Cho ∆ABC vuông A , kẻ đường cao AH trung tuyến AM Chứng minh trực tâm ∆ABC , ∆MAB ∆MAC thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Lấy I trung điểm AC a) Chứng minh I giao điểm đường trung trực ∆AHC b) Gọi K D trung điểm AH HC Chứng minh KD / / AC c) Chứng minh BK ⊥ AD Bài Cho tam ABC cân A, hai đường cao BD CE cắt I (D ∈ AC, E ∈ AB) Tia AI cắt BC M Chứng minh a) M trung điểm BC b) Tam giác MED tam giác cân Bài Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến AM đường phân giác BD cắt K Gọi E giao điểm CK AB Chứng minh BD = CE Bài Cho tam giác ABC Hai đường cao AH , BK cắt I a) Chứng minh CI ⊥ AB b) Khi ACH = 50°, tính góc BIH , HIK Bài Cho tam giác ABC cân A Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B đỉnh C cắt M Biết góc BMC = 120°, tính góc tam giác ABC Bài 10 Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm B,C Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Chứng minh MH = MK Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài Cho ∆ ABC cân A , đường trung tuyến AM Đường trung trực AB cắt AM O Chứng minh điểm O cách ba đỉnh ∆ABC Bài Cho ∆ ABC cân A , O giao điểm ba đường trung trực Lấy điểm D cạnh AB , điểm E cạnh cho AD = CE Chứng minh a) OA = OB = OC b) Điểm O nằm đường trung trực DE Bài Nhà bạn Nam có mảnh vườn nhỏ trồng hoa cỏ nhật Bố bạn Nam nhờ Nam chọn vị trí để đặt vịi xoay phun tưới tự động cho vị trí cách ba khóm hoa ba góc vườn Nam lại chưa biết tìm Các em giúp bạn Nam giải vấn đề Bài Ơng Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm đường thẳng muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau? Dạng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chứng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy Bài Cho xOy = 90 điểm P nằm góc Trên mặt phẳng lấy điểm A cho Ox đường trung trực đoạn thẳng PA điểm B cho Oy đường trung trực đoạn thẳng PB a) Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng b) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực ∆ABP từ suy ∆ABP vuông Bài Cho tam giác MNP cân M , đường cao MH Các đường trung trực MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M , D, H thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC N nằm tam giác ABC cho tam giác BNC cân N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy Dạng Vận dụng tính chất ba đường trung trực tam giác để giải toán khác Bài Cho ∆ABC có Aˆ = 110° Các đường trung trực cạnh AB AC cắt BC E F Tính EAF Bài 10 Cho ∆ABC cân A , A > 900 Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC b) BD = CE c) ∆ODE tam giác cân Bài 11 Cho M giao điểm đường trung trực tam giác ABC Chứng minh M nằm cạnh tam giác ABC ABC tam giác vuông Bài 12 Cho ∆ABC , đường phân giác AI ( I ∈ BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H , từ H kẻ đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh rằng: a) Đường trung trực đoạn thẳng EF qua đỉnh A ∆ABC b) Đường trung trực đoạn thẳng EF vng góc với AI c) Khi H di động tia IC ∆ABC cố định đường trung trực đoạn thẳng EF cố định Bài 13 Cho ∆ABC có ba góc nhọn Các điểm F, K , I trung điểm cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực ∆ABC Trên tia đối tỉa FH lấy điểm A1 cho A1F = FH Trên tia đối tia KH lấy điểm C1 cho KH = KC1 Trên tia đối tia IH lấy điểm B1 cho IH = IB1 a) Chứng minh hình lục giác AC1BA1CB1 có cạnh cạnh đơi song song b) Chứng minh rằng: ∆ABC = ∆A1B1C1 BA ĐƯỜNG CAO Dạng Xác định trực tâm tam giác Bài 14 Cho ∆ABC , đường cao AK, BN,CM Điểm H trực tâm tam giác Tìm trực tâm ∆BHC , ∆AHC , ∆AHB Bài 15 Cho tam giác ABC , hai đường cao BD CE Gọi M trung điểm minh M thuộc trung trực DE BC Chứng Bài 16 Đoạn thẳng AB điểm M nằm A B (MA < MB) Vẽ tia Mx vuông AB lấy hai điểm C D cho MA = MC , MD = MB Tia AC vuông cắt BD E Chứng minh AE ⊥ BD C trực tâm tam giác ∆ABD Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy Bài 17 Cho tam giác LMN nhọn điểm S nằm tam giác Gọi LS cắt MN P , MS cắt LN Q Chứng minh LP vng góc với MN MQ vng góc với LN NS vng góc với ML Bài 18 Cho ∆MNP cân M , đường cao PQ cắt đường phân giác MS K Chứng minh NK ⊥ MP Bài 19 Cho ∆ABC vuông A , kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH D Chứng minh AK ⊥ CD Bài 20 Cho ∆MNP vuông M (MP < MN ) Trên cạnh MN lấy điểm Q cho MQ = MP , tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh: a) PQ ⊥ NR b) RQ ⊥ NP Dạng Vận dụng tính chất ba đường cao tam giác để giải toán khác Bài 21 Cho ∆MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S c) Chứng minh MS ⊥ NP d) Cho MNP = 650 Tính SMR Bài 22 Cho ∆ABC vng A , kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA c) Chứng minh BM ⊥ AD d) Gọi H hình chiếu vng góc D AC , K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy