Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT *) Định lí: Trong tam giác, độ dài cạnh ln nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại A C B Ba hệ thức: AB BC + AC , AC AB + BC , BC AC + AB gọi bất đẳng thức tam giác - Tính chất: Trong tam giác, độ dài cạnh ln lớn hiệu độ dài hai cạnh lại - Nhận xét: Nếu kí hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tùy ý tam giác thì: b − c a b + c PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Khẳng định có tồn hay không tam giác biết độ dài ba cạnh I Phương pháp giải: + Tồn tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c nếu: a b + c b a + c b − c a b + c c a + b + Trong trường hợp xác định a số lớn ba số a, b, c điều kiện để tồn tam giác cần: a b + c II Bài toán Bài Bộ ba độ dài tạo thành độ dài ba cạnh tam giác? a) 6cm; 8cm; 16cm b) 5,5cm; 3,1cm; 2, 4cm c) 13, 7cm; 8, 2cm; 5,3cm d) 8m; 12m; 7m Lời giải: a) Không 16 + b) Có 5,5 3,1 + 2, c) Khơng 13, 8, + 5,3 d) Có 12 + Bài Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba đoạn thẳng có độ dài cho sau tạo thành tam giác hay không? a) 3cm, 4cm, 6cm b) 2m, 4m, m c) 1cm, 3cm, 4cm Lời giải: a) Ta có + nên ba đoạn thẳng ba cạnh tam giác b) Khơng + c) Khơng = + Bài Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba đoạn thẳng có độ dài cho sau ba cạnh tam giác a) cm, cm, cm b) m, 10 m, m c) m, m, m Lời giải: a) Khơng + b) Ta có 10 + nên ba đoạn thẳng ba canh tam giác c) Khơng = + Bài Một tam giác cân có cạnh cm Tính hai cạnh cịn lại, biết chu vi tam giác 20 cm Lời giải: Nếu cạnh cho ( cm ) cạnh đáy hai cạnh lại ( 20 − ) : = ( cm ) , thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Nếu cạnh cho ( cm ) cạnh bên hai cạnh cịn lại 6cm 20 − 2.6 = ( cm ) , thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Bài Cho tam giác ABC có BC = 1cm, AC =7cm Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài số nguyên (cm) Lời giải: Theo bất đẳng thức tam giác, ABC có: AC − BC AB AC + BC AB Do AB số nguyên nên AB = 7cm Bài Độ dài hai cạnh tam giác cm cm Tính độ dài cạnh lại biết số đo cạnh theo cm số tự nhiên chẵn Lời giải: Giả sử ABC có AB = cm, AC = cm Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB − AC BC AB + AC Suy BC Mà BC có độ dài theo cm số tự nhiên chẵn Do đó, BC = cm Bài Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài số nguyên (cm) Lời giải: Ta có AB = cm, AC = 1cm Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB − AC BC AB + AC Suy BC Mà BC có độ dài theo cm số nguyên Do đó, BC = cm Bài Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh m m Lời giải: Cách 1: Vì tam giác tam giác cân nên có độ dại ba cạnh Th1 m; 4m; 8m trường hợp khơng xảy m + m = m Th2 m; 8m; 8m trường hợp xảy m + m > m Vậy chu vi tam giác 20 m Cách 2: Giả sử ABC có AB = m, AC = m Theo bất thức tam giác, ta có | AB − AC | BC AB + AC Do đó, BC 12 Mà ABC cân nên suy BC = m Vậy chu vi tam giác ABC 20 m Bài Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh 3cm 7cm Lời giải: Giả sử ABC có AB = cm, AC = cm Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | AB − AC | BC AB + AC Do đó, BC 10 Mà ABC cân nên suy BC = cm Vậy chu vi tam giác ABC 17 cm Bài 10 Ba cạnh tam giác có độ dài , 16, x (đơn vị cm ) Tìm x , biết x số tự nhiên có giá trị nhỏ Lời giải: 2 Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | − 16 | x + 16 13,5 x 18,5 Mà x số tự nhiên có giá trị nhỏ nên x = 14cm Bài 11 Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC AC AB Tính độ dài BC biết độ dài số chẵn (đơn vị: cm ) Lời giải: Ta có: BC AB, BC AC nên BC + BC + BC AC + AB + BC , tức 3.BC 18 Vậy BC 6cm (1) Ta có: BC AC + AB nên BC + BC AB + AC + BC , tức 2.BC 18 Vậy BC 9cm ( ) Do BC số chẵn nên từ (1) , ( ) suy BC = 8cm Bài 12 Có tam giác có độ dài hai cạnh 7cm 2cm độ dài cạnh thứ ba số nguyên (đơn vị cm )? Lời giải: Gọi độ dài cạnh lại tam giác là: x ( cm ) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: | − | x + x Mà x số nguyên nên x 6;7;8 Do có tam giác thỏa mãn yêu cầu toán Dạng Chứng minh bất đẳng thức độ dài I Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác biến đổi bất đẳng thức tam giác + Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a b a + c b + c + Cộng vế hai bất đẳng thức chiều: a b a + c b + d c d II Bài toán Bài Cho tam giác OBC cân O Trên tia đối tia CO lấy điểm A Chứng minh AB AC Lời giải: O C B A Vì A thuộc tia đối CO nên C nằm O ; A OA OC mà OB = OC OA OB Xét tam giác OBA có AO − OB AB (bất đẳng thức tam giác) AC + OC − OB AB Lại có OB = OC ( OBC cân O ) AC AB (điều phải chứng minh) Bài Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB a) So sánh MC với AM + AC b) Chứng minh MB + MC AB + AC Lời giải: A M C B a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AMC ta có: MC AM + AC b) Ta có: MC AM + AC MB + MC MB + MA + AC = AB + AC Bài Cho tam giác ABC , tia đối tia AC lấy điểm K a) So sánh AB với KA + KB b) Chứng minh AB + AC KB + KC Lời giải: C A B K a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AKB ta có: AB KA + KB b) Ta có: AB KB + KA AB + AC KB + KA + AC = KB + KC Bài Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Chứng minh rằng: AB + AC AM Lời giải: A B M D C Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Xét MAB MDC có MA = MD AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC ( giả thiết ) MAB = MDC (c.g.c) AB = DC (Hai cạnh tương ứng) Xét ADC có : CD + AC AD (bất đẳng thức tam giác) Do : AB + AC AD mà AD = 2.AM AB + AC AM (đpcm) Bài Cho điểm M nằm ABC Chứng minh rằng: MB + MC AB + AC Từ suy ra: MA + MB + MC AB + AC + BC Lời giải: A D M C B Kẻ BM cắt cạnh AC D Xét ABD có : BD AB + AD MB + MD AB + AD (1) Xét MDC có : MC MD + DC ( ) Từ (1) ( ) suy : MB + MC + MD AB + AD + DC + MD MB + MC AB + AC CMTT ta có : MA + MC AB + BC MA + MB AC + BC Do : ( MA + MB + MC ) ( AB + AC + BC ) MA + MB + MC AB + AC + BC Bài Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Gọi I giao điểm đường thẳng BM cạnh AC So sánh MA với MI + IA a) So sánh MA với MI + IA b) Chứng minh MA + MB IB + IA c) Chứng minh IB + IA CA + CB d) Chứng minh MA + MB CA + CB Lời giải: A I M B C a) Xét AMI , theo bất đẳng thức tam giác, ta có MA MI + IA b) Từ câu a), suy MA + MB MI + IA + MB Do đó, MA + MB IA + IB c) Xét IBC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có IB BC + CI Do IA + IB CA + CB d) Từ câu a) kết hợp câu b) ta MA + MB CA + CB Bài Cho điểm K nằm tam giác ABC Gọi M giao điểm tia AK với cạnh BC a Chứng minh KA + KB MA + MB CA + CB b So sánh KB + KC với AB + AC c Chứng minh KA + KB + KC nhỏ chu vi tam giác ABC Lời giải: A P N K B M C a Chứng minh tương tự tập ta KA + KB MA + MB CA + CB b.Gọi N giao điểm tia BK với AC Tương tự câu a) ta có KB + KC NB + NC AB + AC (1) Do đó, KB + KC AB + AC c Gọi P giao điểm tia CK với AB Ta có, KA + KC PA + PC BA + BC Do đó, KA + KC BA + BC ( ) Từ câu a), suy KA + KB CA + CB ( 3) Từ (1) , ( ) ( 3) , ta thấy 2( KA + KB + KC ) 2( AB + AC + BC ) KA + KB + KC AB + AC + BC Vậy tổng KA + KB + KC nhỏ chu vi tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC Trên đường phân giác góc ngồi đỉnh A , lấy điểm M không trùng với A Chứng minh rằng: MB + MC AB + AC Lời giải: D M A C B Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AB = AD AB + AC = AD + AC = CD (1) Xét AMB AMD có: MA : chung; BAM = DAM ( AM tia phân giác BAD ); MB = MD (cách vẽ) AMB = AMC ( c.g.c ) MB = MD (hai cạnh tương ứng) MB + MC = MD + MC ( ) Xét MCD , ta có: MC + MD CD ( 3) Từ (1) , ( ) , ( 3) suy MB + MC AB + AC Bài Cho hai điểm A B nằm hai phía đường thẳng d Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho tổng AC + CB nhỏ Lời giải: A d C C' B Giả sử C giao điểm đoạn thẳng AB với đường thẳng d Vì C nằm A B nên ta có AC + CB = AB (1) Lấy điểm C ' d ( C C ' ) Nối AC ', BC ' Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ABC ' , ta có AC '+ BC ' AB ( ) Từ (1) (2) suy AC '+ BC ' AC + CB Vậy C điểm cần tìm Bài 10 Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía d AB không song song với d Một điểm H di động d Tìm vị trí H cho HA − HB lớn Lời giải: A B d I H Vì AB khơng song song với d nên AB cắt d I Với điểm H thuộc d mà H khơng trùng với I ta có tam giác HAB Xét tam giác HAB có HA − HB AB Khi H I HA − HB = AB Vậy HA − HB lớn AB , H I giao điểm hai đường thẳng d AB Bài 11 Cho góc xOy nhọn, Ox lấy hai điểm A B (điểm A nằm hai điểm O B ) Trên Oy lấy hai điểm C D (điểm C nằm O D ) Chứng minh AB + CD AD + BC Lời giải: x B A F O y C D Gọi F giao điểm AD BC Xét AFB , ta có AB AF + FB (bất đẳng thức tam giác) (1) Xét CFD , ta có CD
Ngày đăng: 31/08/2023, 19:09
Xem thêm:
