Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 34.1 SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đường trung tuyến tam giác A B M C − Đoạn thẳng AM nối đỉnh A ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) ABC − Đường thẳng AM gọi đường trung tuyến ABC − Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Tính chất đồng quy ba đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (hay đồng quy điểm) Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng qua đỉnh ấy: độ dài đường trung tuyến AG BG CG = = = AD BE CF PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác I Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt tỉ số liên quan đến trọng tâm tam giác II Bài toán Bài Chọn câu sai: A Trong tam giác có ba đường trung tuyến B Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C Giao ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác D Một tam giác có hai trọng tâm Lời giải Một tam giác có trọng tâm nên D sai Chọn đáp án D Bài Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng … độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy” A B C D Lời giải Chọn đáp án A Theo tính chất trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng trung tuyến qua đỉnh Số cần điền Bài Cho hình vẽ sau Tính tỉ số độ dài đường BG ? BE A E F G B C D Lời giải Ta có AD, BE , CF ba đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có Bài Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số BG 2 = BG = BE BE 3 AG GD ? A E F G B D C Lời giải Ta có AD, BE , CF ba đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: AG 2 = AG = AD GD = AD − AG = AD − AD = AD AD 3 3 AD AG = = AG = 2GD GD AD Bài Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm trọng tâm G Tính độ dài đoạn AG ? Lời giải A G B C M Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến, nên AG = AM (Tính chất ba đường trung tuyến tam giác), đó: AG = = 6cm Bài Cho ABC, BC = a, CA = b, AB = c Kẻ trung tuyến AM Đặt AM = ma Chứng minh b+c−a b+c ma 2 Lời giải A b c ma B a C M Với AMB ta có: AM + MB AB (1) Với AMC ta có: AM + MC AC (2) Cộng vế (1) ( ) ta được: 2AM + ( MB + MC ) AB + AC Hay 2ma + a b + c ma b+c−a Chứng minh tương tự ta có ma b+c Khi ta có: b+c−a b+c ma 2 Bài Cho ABC có hai đường trung tuyến BD, CE a) Tính tỉ số BG CG , BD CE b) Chứng minh BD + CE BC Lời giải A D E G C B Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD, CE G GBC có: GB + GC BC (bất đẳng thức tam giác) 3 Mà GB = BD , GC = CE nên: 2 BD + CE BC 3 Do BD + CE BC Bài Cho ABC có BC = cm , đường trung tuyến BD, CE cắt G Chứng minh BD + CE 12 cm Lời giải A D E G C B GBC có: GB + GC BC (bất đẳng thức tam giác) 3 Mà GB = BD , GC = CE nên: 2 BD + CE BC 3 Do BD + CE BC = = 12 Bài Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt G Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE = PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF = QG Chứng minh: a) GB = GE, GC = GE ; b) EF = BC EF / / BC Lời giải A F P Q E G C B a) Vì G trọng tâm ABC nên BG = 2GP, CG = 2GQ Lại có PE = PG, QF = QG nên GE = 2GP, GF = 2GQ Do BG = GE, CG = GF b) Suy GBC = GEF (c.g.c) Từ ta có EF = BC GEF = GBC EF / / BC Bài 10 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh: a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB AN / / MB Lời giải C M E D N G A B a) Vì G trọng tâm ABC nên BG = 2GE, AG = 2GD Lại có GN = 2GE, GM = 2GD ( D , E trung điểm đoạn thẳng MG , GN ) Do GN = GB, GM = GA; b) Suy GBM = GNA (c.g.c) Từ ta có AN = MB GMB = GAN AN / / MB Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác I Phương pháp giải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta dùng hai cách sau: + Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác + Chứng minh điểm thuộc mộtđường trung tuyến tam giác thỏa mãn tỉ lệ tính chất trọng tâmcủa tam giác II Bài toán Bài Cho hai đường thẳng xx ' yy ' cắt O Trên tia Ox lấy hai điểm A, B cho A nằm O B, AB = 2OA Trên yy ' lấy hai điểm L M cho O trung điểm LM Nối B với L, B với M gọi P trung điểm đoạn MB, Q trung điểm đoạn LB Chứng minh đoạn thẳng LP MQ qua A Lời giải Ta có O trung điểm đoạn LM Suy BO đường trung tuyến BLM (1) Mặt khác BO = BA + AO A nằm O B hay OB = 2OA + OA = 3OA Suy BA = BO ( ) Từ (1) , ( ) suy A trọng tâm BLM Mà LP MQ đường trung tuyến BLM (vì P trung điểm MB O trung điểm đoạn LM ) Suy đoạn thẳng LP MQ qua A (theo tính chất ba đường trung tuyến) Bài Cho ABC với đường trung tuyến AD Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE , tia BC lấy điểm M cho BC = CM Chứng minh C trọng tâm AEM Lời giải A M B C D E Theo đề ta có AD = DE nên C thuộc MD đường trung tuyến tam giác AEM (1) Mặt khác ta có BC = 2CD BC = CM nên CM = 2CD ( ) Từ (1) ( ) suy C trọng tâm AEM Bài Cho ABC Trên đường trung tuyến AM tam giác đó, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EM Chứng minh E trọng tâm ABC Lời giải A D E B M C Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE = AM Mà E thuộc trung tuyến AM nên E trọng tâm ABC Bài Cho ABC Vẽ trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G, K cho BG = BM G trung điểm BK Gọi E trung điểm CK ; GE cắt AC I Chứng minh: I trọng tâm KGC Lời giải A K G M I E C B Theo đề BG = BM Suy BG = 2GM GK = 2GM M trung điểm GK Do I giao điểm ba đường trung tuyến KGC Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác I Phương pháp giải: Chú ý tính chất tam giác vuông, tam giác cân, tam giác II Bài toán Bài Cho tam giác ABC cân A , trung tuyến AM Chứng minh AM vng góc với BC Lời giải A B M C Xét ABM ABM có: AB = AC ( GT ) BM = CM ( GT ) AM : cạnh chung ABM = ACM (c − c − c) AMB = AMC (Hai góc tương ứng) Mà AMB + AMC = 180 nên AMB = AMC = 90 hay AM ⊥ BC Bài Cho ABC có đường trung tuyến BD CE Chứng minh ABC tam giác cân Lời giải A E D G C B 3 Gọi G giao điểm BD CE BG = BD ; CG = CE Do BD = CE nên BG = CG ; GD = GE BGE = CGD (c.g.c) BE = CD 2 Ta lại có: BE = AB ; CD = CA Do AB = AC ABC cân A Bài Cho tam giác ABC, đường trung tuyến Gọi K trung điểm BM Trên tia đối tia lấy KA điểm E cho KE = KA a) Điểm M trọng tâm tam giác nào? Vì sao? b) Gọi F trung điểm CE Chứng minh ba điểm A, M , F thẳng hàng Lời giải A B K C M F E Xét ACE , ta có: KA = KE ( gt ) CK đường trung tuyến Mà CM = CK nên M trọng tâm ACE Do F trung điểm EC ( gt ) nên AF đường trung tuyến thứ ba ACE Mà M trọng tâm nên AF qua M Hay ba điểm A, M , F thẳng hàng Bài Cho ABC vuông A , trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Tính ABD b) Chứng minh ABD = BAC c) Chứng minh AM = BC Lời giải a) AMC = DMB (c.g.c) ADB = DAC BD / / AC Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ BD ABD = 90o b) ABD = BAC (c.g.c) c) ABD = BAC (c.g.c) AD = BC 2 Mà AM = AD AM = BC Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác Bài Cho hình Điền số thích hợp vào chỗ trống : GD = BD; AG = GE; GD = BG; AE = AG; AE = GE C D E G A B Hình Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD CE cắt G Cho biết BD CE Hãy so sánh GBC GCB Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE = IA a) Điểm M trọng tâm tam giác nào? b) Gọi F trung điểm CE Chứng minh ba điểm A, M , F thẳng hàng 10 a) Chứng minh DE tia phân giác góc ngồi đỉnh D ABD b) Chứng minh EDF = 90 Bài Cho ABC , A = 120 Các tia phân giác góc A ; C cắt O , cắt cạnh BC; AB D E Đường phân giác góc ngồi đỉnh B ABC cắt đường thẳng AC F Chứng minh: a) BO ⊥ BF b) BDF = ADF c) DEA + FEA = 180 ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài a) Vì H giao điểm hai đường phân giác hai góc N , P nên MH phân giác góc M Do đó, H cách hai cạnh MN , MP 1 b) HMN = NMP = 70 = 35 2 1 1 NHP =180 − MNP + MPN = 180 − MNP + MPN = 180 − 180 − NMP 2 2 ( = 180 − ) ( 1 (180 − 70) = 180 − 110 = 125 2 Bài a) AI phân giác góc A nên IAD = IAE = 45 Hai AIE AID hai tam giác cân E D nên AE = EI AD = DI Vì AI phân giác góc A nên IE = ID AD = AE b) Nếu ABC vng cân A B = C nên B1 = B2 = C1 = C2 D1 = D2 = D3 = D4 Do 16 ) DIF = EIF DIF = EIF (c.g.c) FD = FE Vậy EDF cân F Bài A I C B a) Xét ABC , ta tính B + C = 100 Do đó, IBC + ICB = 50 Vậy BIC = 180 − 50 = 130 b) Xét BIC , từ giả thiết suy IBC + ICB = 60 Do đó, ta có: ABC + ACB = 120 Vậy BAC = 180 − 120 = 60 Bài B D I A C E a) Xét ABC có tia phân giác B C cắt I Nên I giao điểm ba đường phân giác ABC , suy AI đường phân giác góc A I cách ba cạnh ABC (tính chất ba đường phân giác tam giác) Vì I giao điểm ba đường phân giác ABC nên IE = ID = 3cm (tính chất ba đường phân giác tam giác) b) Ta có: IE = ID (chứng minh phần a) 2x − = x + 2x − x = + x=6 Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) 17 Bài 1: A B M H C Xét ABM ABN có AB chung AM = AN (gt) BM = BN (gt) ABM = ABN ( c − c − c ) BAM = NAB ( góc tương ứng) AB phân giác MAN (1) Xét AMC ANC , có AC chung AM = AN ( gt ) MC = NC ( gt ) AMC = ANC ( c − c − c ) MAC = NAC (2 góc tương ứng) AC phân giác MAN (2) Từ (1) (2) AB trùng AC Bài A N M G B P C a) ABM = ACN (c.g.c) 18 ABM = ACN BG = GC Xét ABG ACG có AB = AC ABG = ACG BG = CG ABG = ACG (c.g.c) BAG = CAG (hai góc tương ứng) AG phân giác BAC b) AGN = AGM (c.g.c) AG chung; AN = AM ; NAG = MAG GN = GM (hai cạnh tương ứng) c) AN = AM AG đường trung trực MN GN = GM d) AB = AC AG đường trung trực BC GB = GC Xét APB APC có: AB = AC AP chung BP = PC APB = APC (c.c.c) BAP = CAP AP phân giác BAC Mà AG phân giác BAC AP AG A, P, G thẳng hàng Bài 19 x F B K I D A C E y Vì I giao điểm phân giác tam giác ABC nên I thuộc tia phân giác BAC (1) Hạ KD ⊥ BC , KE ⊥ AC , KF ⊥ AB Vì K thuộc tia phân giác CBx nên KB = KF , K lại thuộc tia phân giác BCy Nên KD = KE Suy KE = KF Điều chứng tỏ K thuộc tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) I K thuộc tia phân giác BAC Vậy ba điểm A, I , K thẳng hàng Bài F A E O C D B t a) Gọi Bt tia đối tia BC Vì O giao điểm hai đường phân giác nên BO đường phân giác ABC OBA = CBA Mà BF đường phân giác nên ABF = OBA + ABF = ( ABt ) 1 CBA + ABt = 180 = 90 2 Hay FBO = 900 BO ⊥ BF 20 b) BAC = 1200 nên BAF = DAC = DAB = 600 phân giác DAB vng góc với AF AF phân giác DAB Vậy F giao điểm đường phân giác tam giác ABD DF phân giác ADB Vậy BDF = ADF c) Chứng minh tương tự, AE phân giác ACD mà CE phân giác tam giác Nên E thuộc đường phân giác ADC Vậy ba điểm D, E, F hàng thẳng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài A B C M a) Xét AMB AMC , có AB = AC B=C BM = MC AMB = AMC AMB = AMC = 900 AM ⊥ BC mà AM đường trung tuyến nên AM đường trung trực tam giác b) Cũng chứng minh AMB = AMC , AB = AC ABC cân Bài 21 a) Xét ABM ABM có: A AB = AC ( GT ) BM = CM ( GT ) AM : cạnh chung ABM = ACM (c − c − c) B AM đường phân giác Có I giao điểm BD AM I giao đường phân giác CI phân giác ABC ICB = ABC (t/c phân giác) ACB (t/c phân giác) Mà ABC = ACB IBC = ICB IBC cân I (dhnb) c) Xét IEB IDC , có EBI = DCI EIB = DIC (đối đỉnh) IB = IC ( BIC cân I ) IEB = IDC ( g − c − g ) BE = DC AE = AD AED cân A 180 − A AED = Mà ABC = D I AMB = AMC (Hai góc tương ứng) b) Ta có IBC = H E 180 − A ( ABC cân A ) AED = ABC Mà góc vị trí so le hai đường thẳng ED BC ED / / BC d) AHE = AHD (c.g.c) HE = HD (hai cạnh tương ứng) 22 M C H trung điểm ED e) Có: AE = AD AH đường trung trực ED HE = HD AH ⊥ ED hay AM ⊥ ED f) I trọng tâm G ABC trùng ABC Bài A E O B D C a) ABD = ACD (c.g.c) BD = CD (hai cạnh tương ứng) AD trung tuyến O giao điểm hai đường trung tuyến AD, BE nên O trọng tâm b) ABC Bài Gọi G trọng tâm ABC G thuộc trung tuyến AM (1) Mà AI phân giác ABC cân A AI trung tuyến ABC (2) Từ (1) (2) A, I , G thẳng hàng (3) Theo đề AI phân giác góc A mặt khác (theo 4) AK phân giác góc A nên ba điểm A, I , K thẳng hàng (4) 23 Từ (3), (4) A, I , K , G thẳng hàng Dạng Bài a) Gọi Ax tia đối tia AB Vì ABC = 120 nên CAx = 60 Do AD phân giác BAC nên BAD = DAC = CAx = 600 Kẻ ME ⊥ AB; EN ⊥ AD; EP ⊥ DB Xét ABD có BE phân giác góc B ME = EP (tính chất tia phân giác), (1) AE phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABD ME = NE (tính chất tia phân giác) (2) Từ (1) (2) ta có EP = NE Do DE phân giác góc ngồi đỉnh D ABD b) Chứng minh tương tự ta có DF phân giác góc ngồi đỉnh D DEC Vì ADC ; ADB hai góc kề bù nên DE ⊥ DF Hay EDF = 900 Bài y F A E O x B D a) BO, BF hai tia phân giác hai góc kề bù nên BO ⊥ BF b) FAB + BAC = 180 mà BAC = 120 FAB = 60 AD tia phân giác BAC nên 24 C BAD = DAC = 60 FAy = DAC = 60 (hai góc đối đỉnh) Từ suy BAF = FAy Xét ABD có hai đường phân giác góc ngồi đỉnh A B cắt F DF phân giác ABD Vây BDF = ADF c) Xét ACD có phân giác góc C phân giác góc đỉnh A cắt E DE phân giác góc ngồi đỉnh D DE, DF tia phân giác góc ADB Suy ba điểm D, E , F thẳng hàng Do đó, DEA + FEA = 180 PHIẾU BÀI TẬP Dạng Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB ABC , EH FH hai phân giác DEF DFE Bài Cho ABC có A = 120 Các đường phân giác AD, BE Tính số đo góc BED Bài Cho ABC Gọi I giao điểm hai đường phân giác kẻ từ góc B C Tính số đo góc BIC trường hợp: b) BAC = 120 a) BAC = 80 Bài Cho ABC , tia phân giác góc B góc C cắt I a) Biết A = 70 , tính số đo góc BIC b) Biết BIC = 140 , tính số đo góc A Bài Cho ABC cân A Gọi D trung điểm BC ; E F chân đường vng góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh DE = DF Bài Cho ABC có A = 90 tia phân giác B C cắt I Gọi D, E chân đường vng góc hạ từ I đến cạnh AB AC 25 a) Biết ID = 2cm Tính IE ? b) Biết ID = x + , IE = x − Tìm x ? Bài Cho ABC gọi I giao điểm hai tia phân giác góc A góc B Qua I kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB M , cắt AC N Chứng minh MN = BM + CN Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy Bài Cho tam giác ABC , tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm, I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A có BM , CN hai đường trung tuyến cắt điểm G a) Chứng minh rằng: AG tia phân giác góc BAC b) CMR: GM = GN c) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng MN d) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng BC e) Gọi P trung điểm BC CMR: A, G, P thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC Phân giác góc B góc C cắt I Phân giác góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt J , phân giác góc ngồi đỉnh A đỉnh C cắt K , phân giác góc ngồi đỉnh A đỉnh B cắt L a) Chứng minh BIC = 90 + A b) Chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng c) Chứng minh AJ , BK , CL cắt điểm Bài Cho tam giác ABC có A = 120 Các tia phân giác góc A C cắt O , cắt cạnh BC AB D E Đường phân giác góc ngồi đỉnh B tam giác ABC cắt đường thẳng AC F Chứng minh: a) BO ⊥ BF b) BDF = ADF c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) 26 Bài Cho ABC cân A , đường phân giác AM Gọi D điểm nằm A M Khi BDC tam giác gì? Bài Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M , G, I thẳng hàng Bài Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I , K , C thẳng hàng Bài Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai cạnh bên Bài Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC cân A Bài Cho ABC có AH ⊥ BC BAH = 2C Tia phân giác góc B cắt AC E Tia phân giác góc BAH cắt BE I Chứng minh AIE tam giác vuông cân E Bài Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm cạnh BC BD đường phân giác ( D thuộc AC ) AM BD giao điểm I a) CMR: Tia CI tia phân giác góc ACB b) CMR: Tam giác BIC tam giác cân c) Gọi E giao điểm tia CI với cạnh AB Chứng minh rằng: ED //BC d) Gọi H giao điểm AM ED CMR: H trung điểm ED e) CMR: AM ⊥ ED f) Tìm điều kiện tam giác ABC để điểm I trọng tâm G tam giác ABC trùng Dạng Chứng minh mối quan hệ góc Bài Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt I Chứng minh rằng: IAB + IBC + IAC = 90 Bài Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt I AB AC a) Chứng minh rằng: CBI ACI b) So sánh IB IC Bài Cho hình vẽ a) Chứng minh ABD = ACD b) So sánh góc DBC góc DCB A D B C 27 Bài Cho ABC hai đường phân giác góc B góc C cắt I Chứng minh rằng: BIC = 90 + A Bài Cho tam giác ABC có B C Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân giác AD a) Biết B = 70, C = 50 , tính số đo HAD b) Chứng minh HAD = B −C Bài Cho ABC tia phân giác góc B C cắt O Gọi D, E , F chân đường vng góc kẻ từ O đến BC, CA, AB ( D BC , E AC , F AB ) Tia AO cắt BC M a) Chứng minh: OD = OE = OF b) So sánh DOB MOC ? MOB DOC ? Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1.Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Cho hình vẽ: H giao điểm hai đường phân giác xuất phát từ N P tam giác MNP a) Chứng minh điểm H cách hai cạnh MN , MP b) Tính số đo HMN , NHP ? Bài Cho ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi D, E , F hình chiếu điểm I xuống AB, AC , BC a) Chứng minh AD = AE b) Trong trường hợp ABC cân A Chứng minh DEF cân Bài Cho ABC , tia phân giác góc B góc C cắt I a) Biết A = 80 , tính số đo góc BIC b) Biết BIC = 120 , tính số đo góc A Bài Cho ABC có A = 90 tia phân giác B C cắt I Gọi D, E chân đường vng góc hạ từ I đến cạnh AB AC 28 a) Biết ID = 3cm Tính IE ? b) Biết ID = x + , IE = x − Tìm x ? Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng Bài Cho hình vẽ : CMR: A, B, C thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A có BM , CN hai đường trung tuyến cắt điểm G a) Chứng minh rằng: AG tia phân giác góc BAC b) CMR: GM = GN c) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng MN d) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng BC e) Gọi P trung điểm BC CMR: A, G, P thẳng hàng Bài Cho ABC tia phân giác góc B C cắt I Các đường phân giác góc ngồi đỉnh B C cắt K Chứng minh ba điểm A, I , K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có A = 120 Các tia phân giác góc A C cắt O , cắt cạnh BC AB D E Đường phân giác góc ngồi đỉnh B tam giác ABC cắt đường thẳng AC F Chứng minh: a) BO ⊥ BF b) BDF = ADF c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài Chứng minh rằng: a) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đường trung trực cạnh đáy b) Nếu tam giác có đường vừa đường trung trực cạnh, vừa đường phân giác tam giác tam giác cân Bài Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm cạnh BC BD đường phân giác ( D thuộc AC ) AM BD giao điểm I 29 a) CMR: Tia CI tia phân giác góc ACB b) CMR: Tam giác BIC tam giác cân c) Gọi E giao điểm tia CI với cạnh AB Chứng minh rằng: ED // BC d) Gọi H giao điểm AM ED CMR: H trung điểm ED e) CMR: AM ⊥ ED f) Tìm điều kiện tam giác ABC để điểm I trọng tâm G tam giác ABC trùng Bài Cho tam giác ABC cân A có đường phân giác AD ( D BC ) đường trung tuyến BE ( E AC ) cắt O a) Chứng minh: O trọng tâm ABC b) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện để O giao điểm đường phân giác tam giác ABC ? Bài Cho ABC cân A Gọi G trọng tâm tam giác, I giao điểm phân giác tam giác, K giao điểm hai đường phân giác góc ngồi đỉnh B C Chứng minh bốn điểm A, G, I , K thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài Cho ABC có góc A = 120 phân giác AD, BE , CF a) Chứng minh DE tia phân giác góc ngồi đỉnh D ABD b) Chứng minh EDF = 90 Bài Cho ABC , A = 120 Các tia phân giác góc A ; C cắt O , cắt cạnh BC; AB D E Đường phân giác góc đỉnh B ABC cắt đường thẳng AC F Chứng minh: c) BO ⊥ BF d) BDF = ADF c) DEA + FEA = 180 30
Ngày đăng: 31/08/2023, 19:09
Xem thêm:
