các công thức toán học 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƢỜNG THPT NGUYỄN DIÊU  HỌC SINH:NGUYỄN NGỌC HẢI LỚP:12a3 NĂM HỌC 2013 - 2014  CHƢƠNG I.ÔN TẬP CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1 1.Các tinh chất cơ bản của bất đẳng thức 1 2.Bất đẳng thức caushy(cô si) 1 3.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 4.Định lí Vi Ét 2 5.Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trƣớc 2 6.Trọng tâm tam giác 2 7.Các hệ thức lƣợng trong tam giác 2 8.Tỉ số lƣợng giác của một số góc cần nhớ 3 9.Công thức biến đổi tích thành tổng 3 10.Công thức biến đổi tổng thành tích 3 11.Công thức nhân đôi 3 12.Công thứ nhân 3 3 13.Công thức hạ bậc 4 14.Công thức cộng 4 15.Công thức tính tga,cosa,sina theo t = tg a 2 4 16.Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau,phụ nhau,đối nhau và hơn kém nhau 1 góc π hoặc π 2 4 17.Phƣơng trình lƣợng giác 8 18.Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác 8 I.Phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện 8 1.Phƣơng pháp loại nghiệm trực tiếp 8 2.Phƣơng pháp loại nghiệm trên đƣờng tròn lƣợng giác 9 3.Phƣơng Pháp đại số 9 II.Phƣơng trình lƣợn giác chứa các biểu thức đối xứng bậc cao 11 1.Phƣơng pháp hạ bậc 11 2.Phƣơng pháp đánh giá 12 3.Phƣơng pháp dùng bất đẳng thức 14 II.Phƣơng trình lƣợng giác giải bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ 15 1 Đổi biến dƣới hàm lƣợng giác 15 2.Đặt một biểu thức làm ẩn phụ 17 IV.Phƣơng trình lƣợng giác giải bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số 19 V.Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số 20 Dạng 1.Tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm x € D 20 Dạng 2.Tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm k € D 21 VI.Bài tập tự luyện 23 19.Tổ hợp,hoán vị,chỉnh hợp 26 20.Phƣơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian 27 21.Đƣờng thẳng trong mặt phẳng và không gian 27 22.Mặt Phẳng 29 23.Cấp số cộng 29 24.Cấp số nhân 29 25.Học nhanh các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình 30 Chuyên đề 3:Hệ phƣơng trình đại số 30 Phần 1.Một số hệ thƣờng gặp 30 A.Hệ phƣơng trình bậc nhất 30 B.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1 30 I.Định nghĩa chung 30 II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1 hai ẩn 30 C.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2 33 D.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 3 34 E.Hệ phƣơng trình đẳng cấp 35 Phần II.Phƣơng pháp giải hệ thƣờng gặp 36 1.Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 36 2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 37 3.Phƣơng pháp đánh giá 39 4.Phân tích phƣơng trình thành nhân tử 41 5.Bài tập 42 Phần 3.Hệ ba ẩn 43 I.Phƣơng trình đối xứng loại 1 ba ẩn 43 II.Phƣơng trình đối xứng loại 2 ba ẩn 44 CHƢƠNG II.HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 46 Bài toán 1.Chiều biến thiên của hàm số 46 Dạng 1.Xét chiều biến thiên lập bảng biến thiên của hàm số 46 Dạng 2.Tìm tham số để hàm số đồng biến nghịch trên một khoảng cho trƣớc 46 B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 47 Bài toán 2.Cức trị của hàm số 48 A.Phƣơng pháp 48 Dạng 1.Tìm cực trị của hàm số 48 Dạng 2.Tìm tham số để hàm số để hàm số đạt cực đại tại x = x 0 48 Dạng 3.Tìm tham số để hàm số có số cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó 49 B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 50 ☻Kỹ năng tính nhanh cực trị hàm bậc ba 51 * Hàm trùng phƣơng bậc 4 52 ۞ Bài Tập 52 Bài toán 3.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 53 Sơ đồ chung về khảo sát hàm số 53 1.Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 +cx + d (a ≠ 0) 53 2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hàm trùng phƣơng y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) 54 3.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hàm phân thức y = ax + b cx +d (a.c ≠ 0) 55 Bài toán 4.Bài toán tƣơng giao 56 Dạng 1.Dựa vào đồ thi ( hoặc bảng biến thiên ) biện luận số nghiệm của phƣơng trình 56 Dạng 2.Dựa vào tính chất của phƣơng trình biện luận số giao điểm hai đồ thị 57 Dạng 3.Biến đổi trong toán tƣơng giao (tham khảo thêm) 58 B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 58 ۞Bài tập 59 *Hàm bậc ba 59 *Hàm trùng phƣơng 60 *Hàm nhất biến 61 Bài toán 5.Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm 62 B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 63 Dạng 1.Viết phƣơng trình tiếp tuyến 63 Dạng 2.Tìm diều kiện của tham số để tiếp tuyến của đồ thi thoả mãn một tính chất nào đó 64 Bài toán 6.Tìm điểm đặc biệt đặc biệt 66 B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 67 ☻Tìm các điểm trên đò thị 67 ☻Tìm các điểm cố định 68 ☻Tìm quỹ tích 69 Bài toán 7.Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số 70 B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 71 ♦ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số nhờ vào đặt biến phụ 71 ♦ Tìm GTLN,GTNN của hàm số bằng phƣơng pháp sử dụng miền giá trị 72 ♦ Tìm GTLN,GTNN của biểu thức thông qua đặt ẩn đƣa về xét hàm(thƣờng là những câu khó yêu cầu sử dụng tất cả các kiến thức tổng hợp) 72 Bài toán 8.Sử dụng hàm để chứng minh bất đẳng thức 73 Bài toán 9.Sử dụng hàm số vào phƣơng trình,bất phƣơng trình 73 CHƢƠNG III.HÀM SỐ MŨ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ LÔGARIT 74 Phần I.Công thức luỹ thừa 74 1.Công thức luỹ thừa 74 2.Bài tập áp dụng 74 Phần II.Công thức lôgarít 76 1.Công thức lôgarít 76 2.Bài tập áp dụng 77 Phần III.Hàm số mũ – Hàm số lôgarit 79 1.Hàm số mũ 79 2.Hàm số lôgarit 79 3.Đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit 80 4.Các công thức tính đạo hàm 80 5.Bài tập áp dụng 80 Phần IV.Phƣơng trình mũ 81 1.Phƣơng trình mũ cơ bản 81 2.Các dạng phƣơng trình mũ 81 3.Bài tập áp dụng 81 ♦ Nâng Cao 83 Phƣơng pháp 1. Biến đổi phƣơng trình về dạng tích số A.B =0 83 Phƣơng pháp 2. Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất 84 Phần V. Bài tập ôn tập phƣơng trình mũ 84 Phần VI. Phƣơng trình lôgarit 85 1. Phƣơng trình lôgarit cơ bản 85 ♥ Bài tập áp dụng 85 Phần VII. Bài tập ôn tập phƣơng trình lôgarit 88 Phần VII. Bất phƣơng trình mũ 89 Phần IX. Bất phƣơng trình lôgarit 90 Phần X. Hệ phƣơng trình mũ và lôgarit 92 CHƢƠNG III. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 94 Phần I. Công thức tính đạo hàm 94 I. Đạo hàm 94 II. Nguyên hàm 95 Phần II. Tích phân 99 I. Các phƣơng pháp tính tích phân 99 Phần III. Tích phân một số hàm thƣờng gặp 102 1. Tích phân hàm lƣợng giác 102 2. Tích phân hàm lƣợng giác 105 3. Tích phân hàm vô tỉ 105 4.Tích phân hàm có dấu giá trị tuyệt đối 105 Phần V. Tích phân một số hàm đặc biệt 105 CHƢƠNG IV. HÌNH HỌC 107 *Diện tích hình phẳng – thể tích vật tròn xoay 107 ♥ Hình Học 107 I Phƣơng pháp toạ độ trong mặt phẳng 107 1. Đƣờng thẳng 107 2. Đƣờng tròn 108 3. Elip 109 4. Hypeboy 109 5. Paraboy 109 II. Phƣơng pháp toạ độ trong không gian 110 1. Tích có hƣớng 2 vec tơ 110 2. Mặt phẳng 110 3. Đƣờng thẳng 111 4. Mặt cầu 112 Phần I. Ôn tập hình học không gian 11 113 I. Quan hệ song song 113 II. Quan hệ vuông góc 114 III. Góc – Khoảng cách 115 IV. Nhắc lại một số công thức trong hình học phẳng 116 Phần II. Khối đa diện và thể tích của chúng 117 Chƣơng V. Một số đề thi thử đại học 126 Phần bổ sung. Hƣớng dẫn chia đa thức bậc ba công thức tính đạo hàm tổng quát và công thức chia Y cho y’ 138 1 1 Email.cotich.hoangtu.teen9x@gmail.com Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại -2014)  CHƢƠNG I : ÔN TẬP CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1.   a > b và b > c  a > c  a > b  a + c > b + c Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta đƣợc bất đẳng thức cùng chiều và tƣơng đƣơng với bất đẳng thức đã cho.  a > b + c  a – c > b  ab a c b d cd          Nếu cộng các vế tƣơng ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta đƣợc một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.  a > b  a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b  c.c < b.c nếu c < 0  0 0 ab a c b d cd       Nếu nhân các vế tƣơng ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta đƣợc một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.  a > b > 0  a n > b n (n nguyển dƣơng)  0 nn a b a b    (n nguyên dƣơng) 2. -si):  Nếu 0a  và 0b thì . 2 ab ab   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.  Nếu 2 số dƣơng có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau. Ý  Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.  Nếu 2 số dƣơng có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.  Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất. 3.  0 0 x x x       Từ định nghĩa suy ra: với mọi xR ta có: a. |x|  0 b. |x| 2 = x 2 c. x  |x| và -x  |x|  Với mọi số thực a và b ta có: |a + b|  |a| + |b| (1) |a – b|  |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0 |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0 nếu x  0 nếu x < 0 2 2 Email.cotich.hoangtu.teen9x@gmail.com Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại -2014)  4. -et: Nếu phƣơng trình bậc 2: ax 2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x 1 , x 2 (a  0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là: S = x 1 + x 2 = b a  P = x 1 .x 2 = c a Chú ý: + Nếu a + b + c = 0 thì phƣơng trình (*) có nhiệm x 1 = 1 và x 2 = c a + Nếu a – b + c = 0 thì phƣơng trình (*) có nhiệm x 1 = -1 và x 2 = c a   Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phƣơng trình: x 2 – S.x + P = 0 5.   Cho 2 điểm phân biệt A,B.Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MA =kMB  Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1 thì với điểm O bất kì ta có: OM + = OA - kOB 1 - k 6.  a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: GA + GB + GC = 0 b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG = OA + OB + OC 7.    Với mọi tam giác ABC, ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C        g tam giác:  Trong tam giác ABC, với R là bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp ta có: 2 sin sin sin a b c R A B C     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 24 24 a b c b c a m a c b m b a c m       3 3 Email.cotich.hoangtu.teen9x@gmail.com Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại -2014)  8.  Góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0  1 2  2 2  3 2 -1 tg 0 1 3 1 3 ||  3 1  1 3 0 cotg || 3 1 1 3 0  1 3 1  3 || 9.  1 cos .cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin .sin [cos( ) cos( )] 2 1 sin .cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b             10.  cos cos 2cos .cos 22 cos cos 2sin .sin 22 sin sin 2sin .cos 22 sin sin 2cos .sin 22 a b a b ab a b a b ab a b a b ab a b a b ab           11. 2 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin sin 2 2sin cos 2 2 ( , , ) 1 2 2 2 a a a a a a a a tga tg a a k a k k tg a                   Z 12.  3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a   4 4 Email.cotich.hoangtu.teen9x@gmail.com Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại -2014)  13.  2 2 2 3 3 cos2 1 cos 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 1 cos2 3sin sin3 sin 4 3cos cos3 cos 4 a a a a a tg a a aa a aa a            14.  sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b             Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện: ( ) (*) 1. ( ) (**) 1. tga tgb tg a b tgatgb tga tgb tg a b tgatgb       (*) có điều kiện: ,, 2 2 2 a k b k a b k              (**) có điều kiện: ,, 2 2 2 a k b k a b k              15. tga, cosa, sina theo 2 a t tg : 2 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 2 , 12 t a t t a t t tga a k t            16.    2  : 16.1. Hai góc bù nhau: sin( ) sin cos( ) cos () () aa aa tg a tga cotg a cotga               [...]... nghiệm của PT (5) là x = t  và x = (với t, k  )  20 10 II PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHỨA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG BẬC CAO - Để giải các PT chứa các biểu thức đối xứng bậc cao ta thường dùng các phương pháp giải sau: 1 Phƣơng pháp hạ bậc - Đối với các biểu thức bậc cao ta phải hạ bậc dần dần hoặc dùng các hằng đẳng thức để hạ bậc *Cần chú ý 1 1 1 3 1 +) sin4x + cos4x = 1  sin 2 2 x =  cos 2 2 x =  cos4... Soạn:Nguyễn Ngọc Hải THPT Nguyễn Diêu:12a3(2013-2014)   Cho các vec-tơ a( x1, y1 ), b( x2 , y2 ) và các điểm A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) :  a.b  x1x2  y1 y2  | a | x12  y12 d  AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2   cos(a, b)  x1 x2  y1 y2 2 2 x12  y12  x2  y2   a  b  x1x2  y1 y2  0 20.2 Trong không gian:   Cho các vec-tơ a( x1, y1, z1 ), b( x2 , y2 , z2 ) và các điểm A( x1 , y1 , z1 ), B(... a | x12  y12  z12 d  AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2   cos(a, b)  x1 x2  y1 y2  z1 z2 2 2 2 x12  y12  z12 x2  y2  z2   a  b  x1x2  y1 y2  z1z2  0 21 Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian: 21.1 Đường thẳng trong mặt phẳng: a Khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đƣơng thẳng (d) : Ax + By + C = 0 MH  | Ax 0  By0  C | A2  B 2 + Khoảng cách giữa... tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là Pn + Công thức : Pn =1.2.3 n = n ! 19.2 Chỉnh hợp: + Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0  k  n ) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là Ank +Công thức : k An  n!  n  k ! k An  n( n  1) ( n  k  1)... 0  k  n ) là một tập con của a gồm k phần tử Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là C nk + Công thức: n! k !( n  k )! n ( n  1) ( n  k  1)  k! k Cn  k Cn + Tính chất: k n Cn  Cn  k 0 n Cn  Cn  1 0 1 n Cn  Cn   Cn  2 n k k k 1 Cn  Cn 1  Cn 1 19.4 Công thức Newton: k Tk là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b)n : Tk  Cn a n  k b k 0 1 2 m n (a  b) n ... 2 2   sin xy  1  x 1  0   sin xy  1   x  1  0  * Ví dụ 10: Giải phương trình: sin2012x + cos2013x = 1 (10) 2 012 2 Do |sinx|  1 nên sin x  sin x Do |cosx|  1 nên cos2013x  cos2x Vậy sin2012x + cos2013x  sin2x + cos2x  sin2012x + cos2013x  1  s inx  0    2 012 2  sin x  sin x s inx  1  x   k => PT (10)   2013   k    2 2  cos x  cos x   cos... đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau: +) Đổi biến dưới hàm lượng giác +) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ 1 Đổi biến dƣới hàm lƣợng giác Phƣơng pháp: Khi các biểu thức dưới hàm lượng giác có mối liên hệ đặc biệt: bù nhau, hơn kém nhau k  , biểu thức này 2 gấp...  f ( x)' THPT Nguyễn Diêu:12a3(2013-2014) Dựa vào bảng biến thiên 4 0   1 1 f ( x) 2 2 n 2 2 n 2  f ( x)  f ( )  2 4 Từ đó ta có 2 n     f ( x)  2 2  x    0;  4  2 Vậy phương trình chỉ có 1  nghiệm duy nhất là: x  4 V PT LƢỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ *Dạng 1: Tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm x D Cách 1: Phương pháp đạo hàm Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai   Ví dụ 20:... có nghiệm 16 *Dạng 2: Tìm điều kiện để phƣơng trình có k nghiệm thuộc D Vậy với  Cách 1: Phương pháp đạo hàm Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai Ví dụ 22: Cho phương trình cos3x – sin3x = m (22) 21 Email.cotich.hoangtu.teen9x@gmail.com Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại 22 Biên Soạn:Nguyễn Ngọc Hải THPT Nguyễn Diêu:12a3(2013-2014)    Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt x ... giữa (d1) và (d2) cos   | a1a2  b1b2  c1c2 | 2 2 2 a  b12  c12 a2  b2  c2 2 1 (d1 )  (d 2 )  a1a2  b1b2  c1c2  0 22 Mặt phẳng: a Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: 28 Email.cotich.hoangtu.teen9x@gmail.com Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại 29 Biên Soạn:Nguyễn Ngọc Hải MH  THPT Nguyễn Diêu:12a3(2013-2014) | Ax0  By0  Cz0  D | A2  B 2  C 2 b Chùm . nhớ 3 9 .Công thức biến đổi tích thành tổng 3 10 .Công thức biến đổi tổng thành tích 3 11 .Công thức nhân đôi 3 12 .Công thứ nhân 3 3 13 .Công thức hạ bậc 4 14 .Công thức cộng 4 15 .Công thức tính. HỌC SINH:NGUYỄN NGỌC HẢI LỚP:12a3 NĂM HỌC 2013 - 2014  CHƢƠNG I.ÔN TẬP CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1 1 .Các tinh. SỐ MŨ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ LÔGARIT 74 Phần I .Công thức luỹ thừa 74 1 .Công thức luỹ thừa 74 2.Bài tập áp dụng 74 Phần II .Công thức lôgarít 76 1 .Công thức lôgarít 76 2.Bài tập áp dụng 77 Phần