B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGĐẠ IH OC Q UY N H ƠN NGUYENĐỨCTOÀN PHƯƠNGTRÌNHHÀ M TOÀN PHƯƠNG VÀTÍNHONбNHNGHI›M LUŠNVĂNTHẠCSĨTOÁNHOC BìnhĐịnh Năm2021 NGUYENĐỨCTOÀN PHƯƠNGTRÌNHHÀ M TOÀN PHƯƠNG VÀTÍNHONбNHNG[.]
M®tsotínhchatcủahàmso
Hàmsochȁnvàhàmsolẻ
Địnhn g h ĩ a 1 1 1 H à ms of(x)đ ư ợ cg o i l à h à m s o c h ȁ n t r ê nD ⊂ D f neu
4 Địnhn g h ĩ a 1 1 2 H à msof(x)đượ cg oilàhà msol étrênD⊂D f n e u
Hàmsođơnđiằu
Hàmsotuanhoànvàphảntuanhoàn
Địnhn g h ĩ a 1 1 5 H à msof(x)đư ợ cg o i l à t u a n h o à n c h u k ỳa(a>0) trênMneuM⊂D f và
∀x∈M,x±a∈M f(x±a)=f(x),∀x∈M. Địnhnghĩa1 1 6 H à ms of(x)đ ư ợ cg o i l à p h ả n t u a n h o à n c h u k ỳa
Hàmsoliêntục
Địnhn g h ĩ a 1 1 7 C h oh à m s of(x)x á cđ à n h t r ê nD f v à x 0∈D f T a nóiranghàmf(x)liêntựctạiđiemx 0 n e u li m x→x 0 f(x)=f(x 0). Định nghĩa 1.1.8 Hàm sof(x)liên tực trên(a, b)neuf(x)liên tực tạimoiđiemx 0∈(a,b). Định nghĩa 1.1.9 Hàm sof(x)liên tực trên[a, b]neuf(x)liên tực tạimoiđ i e mx 0∈ (a,b),đ o n g t h ờ if(x)l i ê nt ự c t r á i t ạ ix=b v àl i ê n t ự c phảitạix=a.
Hàmsokhảvi
Địnhnghĩa1.1.10 Chohàmsof(x)vàx 0∈D f Tanóif(x)khảvitại x neugiớihạncủatísof (x 0 + ∆x)−f(x 0 )
∆x cógiátràhũuhạnkhi∆x dantới0. Địnhn g h ĩ a 1 1 1 1 H à ms of(x)k h ảv i t r ờ n t ắ pD ⊂D f n e u f(x)k h ảvitạimoix∈D.
Phươngtrìnhhàm
Địnhnghĩa1.2.1 P h ư ơ n gtrìnhhàmlàphươngtrìnhmàȁnlàcáchà mso.Giảiphươngtrìnhhàmlàtìmtatcảcáchàmsothóamãnphươngtrìnhđó. Địnhnghĩa 1 2 2 P h ư ơ n gtrìnhhàmCauchylàphươngtrình f(x+y)=f(x)+f(y) vớim o ix , y∈R.T r o n g đ ó ,f:R→Rl à h à m c a n t ì m Địnhnghĩa1.2.3 M ® thàmf:R→Rlàhàmc ®ng tínhneu t hóa mãnphươ ngtrìnhhàmCauchy:f(x+y)=f(x)+f(y),vớimoix,y∈R. Địnhng h ĩa 1 2 4 M ® th à mf:R→Rđ ư ợ c g o i l à h à m t u y e n t í n h n e u nócódạngf(x)=cx,vớiclàhangsotùyý. Địnhng h ĩa 1 2 5 M ® thàmf:R→Rđượcgoilàthuannhathũutíneu f(rx)=rf(x),vớim o ix ∈Rv à v ớ i m o i so h ũ u t ír. ĐịnhlýsauđõysěchỉrarangbatkỡnghiằmnàocủaphươngtrỡnhhàmCauchycũn gthuannhathǎutỉ. Định lý 1.2.1 Cho hàmf:R→Rlà mđt nghiằm của phương trỡnh hàmCauchy.Khiđó,hàmflàm®thàmthuannhathũutí.Hơnnũa,hàmf tuyentớnhtrờntắphợpsohũutớQ. Địnhlý1.2.2 C h ohàmflàmđtnghiằmcủaphươngtrỡnhhàmCauchy.Neuh àmfliêntựctạim®tđiemthìnóliêntựctạimoiđiem. Địnhlý1.2.3 Cho hàmflà mđt nghiằm của phương trỡnh hàm Cauchy.Neu hàmfliờn tực tại mđtđiem thỡ hàmftuyen tớnh Vỡ vắy,f(x)
=cx,vớimoix∈Rvàclàhangsotùyý. Địnhngh ĩa 1.2 6 M ® thàmf:R→RđượcgoilàhàmJensenneuthóa mãn f x
Khiđó,phươngtrình(1.1)đượcgoilàphươngtrìnhhàmJensen. Địnhlý1.2.4 Hàmf:R→RthóamãnphươngtrìnhhàmJensen(1.1) khivàchíkhi f(x)=A(x)+a, (1.2) trongđóhàmA:R→Rlàm®thàmc®ngtínhvàalàm®thangsotùyý. Địnhl ý s a u đ õ yc h ỉ r a t ớ n h ő n đ ị n h n g h i ằ m c ủ a p h ư ơ n g t r ỡ n h h à m Cauchyc®ngtính. Địnhl ý1 2 5 N e uhàmf:R→Rthóamãn
Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t so tính chat ve các hàmsong c®ng tính, hàm toàn phương và phương trình hàm toàn phương. NđidungcủachươngnàyđượcchỳngtụithamkhảotàtàiliằuP.Shahoov à
2.1 Cỏchàmsongcởngtớnh Địnhnghĩa2.1.1 M ® thàmf:R 2 →Rđượcgoilàhàmsongc®ngtínhneuhà mfc®ngtínhtheotùngbien,túclà f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z), f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z), vớim o ix , y,z∈R.
Dođó ,h à mfđ ư ợ cx á c đ ị n h b ở i ( 2 1 ) l à hà m s o n g c® ng t í n h Địnhlý 2 1 1 M o ihàmsongc®ngtínhliêntựcf:R 2 →Rđeucódạng f(x,y)=cxy, vớim o ix , y∈Rv àc làv ớ i m ® t h a n g s o t r o n g R
Chfíngminh.Giảsảhàmf:R 2 →Rlàm®thàmsongc®ngtínhliêntục.Khiđ ó,hàmfthỏamãn vớimoix,y,z∈R. f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z), (2.2)
Cođịnhz,tađịnhnghĩahàmφxácđịnhbởi φ(x)=f(x,z) (2.3) Ápdụng(2.2),tađược vớimoix,y∈R. φ(x+y)=φ(x)+φ(y), (2.4)
Vìzcođịnhnênkphụthu®cvàoz.Dođó,tacó φ(x)=xk(z).
Khiđó,tacó f(x,z)=xk(z) (2.6) Ápdụng(2.6)vàotínhchatsongc®ngtínhcủahàmflà f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z), tađược vớimoix,y,z∈R. xk(y+z)=xk(y)+xk(z),
Vìklàliêntụcnên k(y)=cy, (2.7) trongđúclàmđthangso.Nhưvêy, f(x,y)=cxy, (2.8) vớimoix,y∈R Q
Trongmụcnày,chỳngtasěxỏcđịnhnghiằmliờntụccủanú. Địnhlý2.2.1 Chohàmf:R→Rlàm®thàmsothóamãn f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớimoix,y∈R.Khiđú,hàmflàhàmsothuannhathũutớbắchai.Hơnnũa,trờ ntắphợpcỏcsohũutớQ ,hàmfcúdạng f(r)=cr 2 ,vớimoir∈Qvàclàm®thangsotùyý.
Tathayy=xvào(2.9)đeđược f(2x)=4f(x) ho°c f(2x)=2 2 f(x), vớimoix∈R.
Tieptheo,tachỉrarang(2.12)đúngchotatcảcácsonguyênn∈Z.Giảsả nlàsonguyênâm.Khiđó,−nlàm®tsonguyêndương.Vìthe, f(nx)=f(−(−n)x)
Chorlàm®tsohǎutỉtùyý.Khiđó, vớik∈Z,n∈N.Dođó, r= ,k n k=rn.
Chox=1vào(2.13),tađược f(r)=cr 2 , (2.14) vớir∈Q,trongđóc:=f(1) Q Địnhlý2.2.2 Nghiằmliờntựccủaphươngtrỡnh f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớim o ix , y∈Rc ó d ạ n g f(x)=cx 2 , trongđóclàm®thangsobatkỳ.
Chfớngminh.Giảsảhàmflàliờntụcvàlànghiằmcủaphươngtrỡnh(2.9).V ớimoix∈R,tontạim®tdãyso{r n }⊂Qsaocho lim n→∞ r n =x.
Vìhàmfthỏamãn(2.9)nêntheoĐịnhlý2.2.1,tacó f(r n )=cr 2 , (2.15) n n vớimoin∈Z.
Vêy f(x)=cx 2 , vớimoix∈R Q Địnhnghĩa2.2.1 M®t hàmf:R→Rđược goi là hàm toàn phương neuhàmfthóamãn f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớim o ix , y∈R.
Tà ket quả của Định lý2.2.2, ta đã cháng minh được rang: Moi hàmtoànphương liên tụ cfđ e ucód ạn gf(x)=cx 2 ,trongđóclàm®tha ngsotùyý.
Trongđịnhlýsauđây,tachỉrarangmoihàmtoànphươngđeucóthebieudie nbởim®thàmsongc®ngtínhđoixáng. Địnhlý2.3.1 M ® th à mf:R→ Rl à h à m t o à n p h ư ơ n g k h i v à c h í k h i tont ạim®thàmsongc®ngtínhđoixúngB:R 2 →Rsaocho f(x)=B(x,x).
Bâygiờtachángminhđieungượclại.Giảsảhàmf:R→Rlàhàmtoànphươn gvàtađịnhnghĩahàmB:R 2 →Rxácđịnhbởi
=f(x). Đőivaitròcủaxvàychonhautrong(2.17),tađược f(x+y)+f(y−x)=2f(y)+2f(x) (2.19) Sosánh(2.19)với(2.17),tađược f(x−y)=f(y−x).
Dođó,hàmflàm®thàmchȁn.Tiepthe o,tacó
Tươngtự,tacóthechỉraranghàmBlàhàmlẻtheobientháhai.Tieptheo,tach ỉraranghàmBlàhàmc®ngtínhtheobienthánhat.
Thay−ybởiytrong(2.23)vàsảdụngketquảhàmBlàm®thàmlẻtheobi enthánhat,tađược
VìhàmBlàhàmđoi xángnênhàmBcũngc®ngtínhtheobientháhai VêyBlàhàmsongcđngtớnhđoixỏng.Địnhlýđượcchỏngminh.Q
Pexider hóa phương trình hàm là phương pháp làm thay đői cau trúccủa phương trình hàm ban đau tà m®t hàm so thành hai hay nhieu hàm sođe nghiờn cỏu ve nghiằm tőng quỏt cú the cú của phương trỡnh mới thietlêp.
Phươngtrìnhhàmtoànphương f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớim o ix , y∈R,c ó t h e đ ư ợ c P e x i d e r h ó a t h à n h p h ư ơ n g t r ì n h f 1(x+y)+f 2(x−y)=f 3(x)+f 4(y), (2.24) vớimoix,y∈R,trongđóf 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4:R→Rlàcáchàmsochưabiet. Đexỏcđịnhnghiằmtőngquỏtcủa(2.24),chỳngtadựavàoketquảcúđượctàb őđesau.
(2.26) trongđóhàmB:R 2 →Rlàhàmsongc®ngtínhđoixúng,hàmA:R→R làh à m c ® n g t í n h v àa , blàc á c s o t h ự c t ù y ý
Bâygiờ,chox=0vào(2.28),tađược h(y)+h(−y)−2h(0)=f(y)+f(−y)−2f(0) (2.29) và(2.28)trởthành f(x+y)+f(x−y)−2f(x)=f(y)+f(−y)−2f(0).
B(x+u,y)+B(xưu,y)= 2B(x,y), vớimoix,y,u∈R. ĐieunàychothayhàmB(ã,y)thỏamónphươngtrỡnhhàmJensen.Dođú,hàm
B(ã,y)làhàmcđng tớnhtheobienthỏnhat,vỡB(0,y)=0.VỡhàmBđượcxỏcđị nhbởi(2.31)làhàmđoixángnênhàmBlàhàmc®ng tínhtheobientháhai.
Dođó,hàmB:R 2 →Rlàhàmsongc®ngtínhđoixáng.Bâygiờch oy=xvào(2.31)và(2.30),tađược
Vìl(0)=0,tathayhàmllàhàmc®ngtính,nghĩalà l(x)=A(x), (2.34) trongđóhàmA:R→Rlàhàmc®ngtính.
Hằq uả 2 4 1 N g h i ằ mtőngquỏtf:R→Rcủaphươngtrỡnh f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+f(y)+f(−y) códạng f(x)=B(x,x)+A(x), trongđóhàmB:R 2 →Rlàhàmsongc®ngtínhđoixúngvàhàm
Hằq uả 2 4 2 N g h i ằ mtőngquỏtf:R→Rcủaphươngtrỡnh f(x+y+z)+f(x)+f(y)+f(z) vớim o ix , y,z∈Rc ó d ạ n g
Chfíngm i n h C h o x=y=z=0 v à o( 2 3 6 ) , t a đ ư ợ cf(0)= 0.T i e p theo,thayzbởi−ytrong(2.36),tađược f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+f(y)+f(−y), vớimoix,y∈R.Dođú,tacúnghiằmcantỡmtheoHằquả2.4.1 Q Bõyg i ờ , t a s ả d ụ n g B ő đ e2.4.1đ ex ỏ c đ ị n h n g h i ằ m t ő n g q u ỏ t c ủ a phươngtrình(2.24). Địnhl ý 2 4 1 N g h i ằ mt ő n g q u ỏ tf 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4: R→Rc ủ a p h ư ơ n g t r ỡ n h f 1(x+y)+f 2(x−y)=f 3(x)+f 4(y), vớim o ix , y∈Rđ ư ợ c x á c đ à n h b ớ i f 1(x)=1B(x,x) f 2 +2
Bâyg iờ , t a c h án g m i n h r a n g c á c h à mf i (vớii=1,4)đ ượ c x á c đ ịn h n hưtrờnlànghiằmduynhatcủa(2.24).
Thayybởi−yvào(2.24),tađược f 1(x−y)+f 2(x+y)=f 3(x)+f 4(−y) (2.37) C®ng(2.37)và(2.24)vetheove,tađược g(x+y)+g(x−y)=2f 3(x)+f 4(y)+f 4(−y), (2.38) trongđó vớimoix∈R. g(x)=f 1(x)+f 2(x), (2.39)
Tươngtự,trà(2.37)cho(2.24)vetheove,tađược h(x+y)−h(x−y)=f 4(y)−f 4(−y), (2.40) trongđó h(x)=f 1(x)−f 2(x), (2.41) vớimoix∈R. Đegiải(2.24)tagiảihaiphươngtrình(2.38)và(2.40).
Trướchet,tagiải(2.40).Tađịnhnghĩahàmk:R→Rxácđịnhbởi k(y)=f 4(y)−f 4(−y), (2.42) vớimoiy∈R.
Dođó,hàmklàhàmc®ngtínhvà k(y)=A 1(y), (2.46) vớimoiy∈R,trongđóhàmA 1l àhàmc®ngtính.
Thayzbởixvào(2.53),tacó f(x−y)+f(x+y)=2f(x)+f(y)+f(−y), vớimoix,y∈R. ÁpdụngHằquả2.4.2,tasuyranghiằmcủa(2.53)là f(x)=B(x,x)+A(x), trongđ ó h à mB:R 2 → Rl à h à m s o n g c ® n g t í n h đ o i x á n g v à h à m
Lớig i ả i Tathayf≡0làmđtnghiằmcủa(2.54).Xộtf/=0.Khiđú, f(x)/=0, vớimoix∈R.
⇔ln.f(x+y).+ln.f(x−y).=2ln.f(x).+2ln.f(y) (2.55) Đ°tg(x)=ln.f(x) Khiđ ó , ( 2 5 5 ) t r ở t h à n h g(x+y)+g(x−y)=2g(x)+2g(y), vớimoix,y∈R.
Bàitêp2.5.3Cho k∈Z+ ,tỡmtatcảcỏchàmf:R→Rthỏamónphươngtrỡ nh f(kx+y)+f(kx−y)=2k 2 f(x)+2f(y), (2.56) vớimoix,y∈R.
They=0vào(2.56),tađược vớimoix∈R. f(kx)=k 2 f(x),
Dođú,nghiằmcủaphươngtrỡnh(2.56)là f(x)=B(x,x), trongđóhàmB:R 2 →Rlàhàmsongcôngtínhđoixáng.Thảlại,t athayhàmflànghiằmtőngquỏtcủa(2.56).
Thayybởixvàz=0trong(2.57),roisảdụng(2.58)và(2.59)tasuyrađượ c vớimoix∈R. f(2x)=4f(x), (2.60)
Thayzbởi−ytrong(2.57),roisảdụng(2.59)và(2.60)tasuyra f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớimoix∈R.
Thayybởixvàz=0trong(2.61)roisảdụng(2.62),tađược vớimoix∈R. f(2x)=4f(x),
Bangphươngphápquynạp,tađược f(nx)=n 2 f(x), vớimoin∈Z+,vớimoix∈R.
Kethợpvới(2.63),tasuyra f(nx)=n 2 f(x), vớimoin∈Z,vớimoix∈R.
Khiđó,layr∈Qvới r= m n trongđóm∈Z,n∈N,tacó m 2 f(x)=f(mx)=f(nrx)=n 2 f(rx).
Tàđó,tacó f(nx)=n 2 f(x), vớimoin∈Q,vớimoix∈R.
Suyra f(x)=B(x,x),vớimoix∈R, trongđóhàmB:R 2 →Rlà hàmsongc®ng tínhđoi xáng.Thảlại,tathayhàmflànghiằmtőngquỏtcủa(2.61).
Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t so ket quả liên quan đentớnh őn định nghiằm của phương trỡnh hàm toàn phương, phương trìnhhàm toàn phương tőng quát và m®t so phương trình hàm liên quan khỏc.Nđi dung của chương này được chỳng tụi tham khảo tà tài liằu P. ShahoovàP.Kannappan[3].
Bõygiờ,tatrỡnhbàymđtsoketquảvetớnhőnđịnhnghiằmcủaphươngtrỡnhhàmtoà nphương. Địnhlj3.1.1 Neuhàmf:R→Rthóamãnbatđȁngthúc f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−2f(y)≤ε,
2 2 k 22 k 2 vớim o ix , y∈R,v ớ iε >0c h ot r ư ớ c t h ì t o n t ạ i d u y n h a t m ® t h à m t o à n phươngq:R→Rsaocho vớimoix∈R.
2 2k haivecủa batđȁngthỏc nhênđược vớikđità 1đenn,ta được n n Σ1 f(2 k x)−2 2 f(2 k−1 x).≤ Σ3 1 ε k =
Giảsảm>n>0,khiđóm−nlàsotựnhiênvàncóthethaytheđượcbở im−ntrongbatđȁngthỏctrờn.Vỡvêy,tacú hay
Dođó,hàmqlàhàmtoànphương.Tiept heo,taxét
Cuoicùng,tachángminhhàmqlàduynhat.Giảsảhàmq:R→R khônglàduynhat.Khiđó,tontạim®thàmtoànphươngkháclàs:R→R ε
ε thỏamãn với moix∈R.Ta có
Czerwik(1992)cũngđãchángminht í n h ő n đ ị n h c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h hàmt o à n p h ư ơ n g ở Đ ị n hl ý 3 1 1 v à b a o g o m đ ị n h l ý s a u đ â y n h ư m đ t trườnghợpđ°cbiằt. Địnhlj3.1.2 Neuhàmf:R→Rthóamãnbatđȁngthúc f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−2f(y)≤ε, vớimoix,y∈R,vớiε >0chotrướcthìtontạiduynhathàmtoànphương Q:R→Rsaocho f(x) Q(x) 1ε
3 vớim o ix ∈R.Hơnn ũ a , n e uf(tx)li ê nt ự c t h e ot vớim ő ix ∈Rc o đ à n h thì
3.2 Tớnhon định nghiằm của phương trỡnh hàmtoànphươngtongquát
Trongmụcnày,tasětỡmhieuvetớnhőnđịnhnghiằmcủaPexiderhúaphương trỡnh hàm toàn phươngf 1(x+y) +f 2(x−y) =f 3(x) +f 4(y)dựavàoketquảtàđịnhlýsau. Địnhl j 3 2 1 N e u cáchàmf 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4: R→Rthóamãnbatđȁngthúc
4 (x)−2Q(x)−2A 2 (x)−f 4 vớimoix∈R.Hơnnũa,neuf 3(tx)vàf 4(tx)liêntựctheot∈Rvớimőix
∈R,thì hàmQthóa mãnQ(tx) =t 2 Q(x),với moix∈Rvà các hàmA 1 ,A 2 làcáchàmtuyentính.
Chfíngm i n h TađịnhnghĩaF i (x)=f i (x)−f i (0)vàF e vàF o lanlượt làphanchȁnvàphanlẻcủaF i (vớii=1,4).Khiđó,tađược
Chox=y=0(vàthayybởix),y=xvày=−xvào(3.11),tađược
Hơnn ǎa, n euf 4(tx)liêntụ c t heot∈Rvớ i m o ix∈Rth ìh à mto àn phư ơngQthỏamãnQ(tx)=t 2 Q(x)vớimoix∈R.
Chox=y=0(vàthayybởix),y=xvày=−xvào(3.12),tađược
Thayybởi−yvào(3.35)vàsauđósảdụngketquảF o làm®thàmlẻ, tađược
≤28ε, (3.38) vớimoix,y∈R. Đ°tu=x+yvàv=x−ytrong(3.37), ta được
TheoĐị nh lý1.2.5,t on t ại d u y nh at h à m c ® n g t ín hA 1: R→Rs a o cho vớimoix∈R.
Hơnnǎa,neuf 3(tx)liêntụctheot∈Rvớimoix∈RthìhàmA 1làhàmtuye ntính. Đ°tu=x−yvàv=2ytrong(3.38),tađược
TheoĐị nh lý1.2.4,t on t ạ i d u y nh at h à m c ®n g t ín hA 2: R→Rs a o cho
Hơnnǎa,neuf 4(tx)liêntụctheot∈Rvớimoix∈R,thìhàmA 2làhàmtuye ntính.
Tieptheo,tagiảsảcáchàmQ ′ ,A ′ 1 ,A ′ 2: R→Rlanlượtlàm®thàm toànphươngkhácvàhaihàmc®ngtínhkhácthỏamãncácbatđȁngtháctrong(3.8)đượcthayvàovớivaitrònhưcủaQ,A 1vàA 2tươngáng.
Thayxbởi−xtrong(3.43)vàsảdụngketquảcáchàmtoànphươnglàc hȁnvàcáchàmc®ngtínhlàlẻ,tađược
Nhàtoỏnhoc Drygasđóxem xộttớnh őnđịnhnghiằm củaphươngtrỡnh f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+f(y)+f(−y),
Vànghiằmtőngquỏtcủa(3.47)cúdạng f(x)=Q(x)+A(x), trong đóhàmA:R→Rlàm®t hàmc®ngtínhvà hàmQ:R→R làm®thàmtoànphương.
(3.48)trong đó bao gom phương trình hàm(3.47)của Drygas như là m®t trườnghợpđ°cbiằt.
Bođ e3 3 1 N e ucáchàmf,g:R→Rthóamãnbatđȁngthúc f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−g(2y)≤ε, (3.49) vớimoix,y∈R,vớiε>0chotrướcthìtontạiduynhathàmtoànphương
Hai bő đe sau lan lượt trỡnh bày ve tớnh őn định nghiằm của hai phươngtrìnhhàm f(x+y)−f(x−y)=2f(y) và f(x+y)−f(x−y)=2g(y), trongđócáchàmf,g:R→Rlàchưabiet.
|f(x+y)−f(x−y)−2f(y)|≤ε (3.59) vớim o ix , y∈R,v ớ iε >0c h ot r ư ớ c t h ì t o n t ạ i d u y n h a t h à m c ® n g t í n h A:R→Rsaocho vớimoix∈R.
|f(x+y)−f(x−y)−2g(y)|≤ε, (3.63) vớim o ix , y∈Rv àε >0c h ot r ư ớ c , t h ì t o n t ạ i d u y n h a t h à m c ® n g t í n h A:R→Rsaocho và vớimoix∈R.
(3.68)vớimoix,y∈R.Đ°ts=x+yvàt=x−y,tađược vớimois,t∈R .
Sảdụng ketquả vetớnh őnđịnhnghiằm củaphươngtrỡnh hàm củaJung(1996),tacó
U l a m của phương trìnhhàm(3.48)bao gom phương trình hàm(3.47)như mđttrườnghợpđ°cbiằt. Địnhlj3.3.1 Neu các hàmf, g:R→Rthóa mãn bat đȁng thúc(3.49)với moix, y∈R,vớiε >0cho trước thì ton tại duy nhat hàm toàn phươngQ:R→Rvàduynhathàmc®ngtínhA:R→Rsaocho
Chfíng minh.Goif e (x),f o (x),g e (x)vàg o (x)lan lượt bieu dien chophan chȁn củaf(x), phan lẻ củaf(x), phan chȁn củag(x)và phan lẻ củag(x). e e e e o o o o o e
Vì ta cóf e là chȁn,f e (0)=f(0),g e (0)=g(0), Bő đe3.3.1và batđȁng thác (3.73) nên ton tại duy nhat hàm toàn phươngQ:R→R thỏamãn e 3 1
Tươngtự,vìtacóf o làlẻ,vàf o (0)=g o (0)=0,Bőđe3.3.1vàbatđȁngt hác(3.74)nêntontạiduynhathàmtoànphươngq:R→Rvới
Tà(3.77),tathayq(x)=0vớimoix∈R.Vàtà(3.78),tacó
Dođó,theoBőđe3.3.2vàbatđȁngthác(3.81),tontạiduynhathàmc®n gtínhA:R→Rsaocho
Tiep theo, ta can cháng minh tính duy nhat của các hàmQvàA.
ChohàmA ′ :R→R và hàmQ ′ :R→R lan lượt là m®t hàm c®ng tínhkhácvàm®thàmtoàn phươngkhác,thỏamãncácbat đȁngthác(3. 70)và(3.71)khi thay the vai trò củaAvàQ Giả sả ton tạix 0∈R sao choQ(x 0)/=Q ′ (x 0),tacó
GiảsảtươngtựrangA(x 0)/=A ′ (x 0)vớim®tsox 0∈R.Khiđó,tacó
|f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−f(y)−f(−y)|≤ε, (3.84) vớim o ix , y∈R,v ớ iε >0c h ot r ư ớ c t h ì t o n t ạ i d u y n h a t h à m c ® n g t í n h A:R→RvàduynhathàmtoànphươngQ:R→Rsaocho
Chfíngmi n h Tađịnhnghĩam®thàmg:R→Rxácđịnhbởi g(x)=fx
TheoĐịnhlý3.3.1,tontạiduynhathàmc®ngtínhA:R→Rvàduynhathàm toànphươngQ 1:R→Rsaocho
Giả sảA ′ :R→R là m®t hàm c®ng tính khác vàQ ′ :R→R là m®thàm toàn phương khác thỏa mãn(3.85)khi lan lượt thay the choAvàQ.Khiđó,tacó vớimoix∈R.
Vìhàmqlàhàmtoànphương vàhàmalàhàmc®ngtính nên q(x)=a(x)=0, vớimoix∈RvàdođóQvàAlàxácđịnhduynhat Q
Nghiằmcủaphươngtrỡnhhàmtoànphương
Trongmụcnày,chỳngtasěxỏcđịnhnghiằmliờntụccủanú. Địnhlý2.2.1 Chohàmf:R→Rlàm®thàmsothóamãn f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớimoix,y∈R.Khiđú,hàmflàhàmsothuannhathũutớbắchai.Hơnnũa,trờ ntắphợpcỏcsohũutớQ ,hàmfcúdạng f(r)=cr 2 ,vớimoir∈Qvàclàm®thangsotùyý.
Tathayy=xvào(2.9)đeđược f(2x)=4f(x) ho°c f(2x)=2 2 f(x), vớimoix∈R.
Tieptheo,tachỉrarang(2.12)đúngchotatcảcácsonguyênn∈Z.Giảsả nlàsonguyênâm.Khiđó,−nlàm®tsonguyêndương.Vìthe, f(nx)=f(−(−n)x)
Chorlàm®tsohǎutỉtùyý.Khiđó, vớik∈Z,n∈N.Dođó, r= ,k n k=rn.
Chox=1vào(2.13),tađược f(r)=cr 2 , (2.14) vớir∈Q,trongđóc:=f(1) Q Địnhlý2.2.2 Nghiằmliờntựccủaphươngtrỡnh f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớim o ix , y∈Rc ó d ạ n g f(x)=cx 2 , trongđóclàm®thangsobatkỳ.
Chfớngminh.Giảsảhàmflàliờntụcvàlànghiằmcủaphươngtrỡnh(2.9).V ớimoix∈R,tontạim®tdãyso{r n }⊂Qsaocho lim n→∞ r n =x.
Vìhàmfthỏamãn(2.9)nêntheoĐịnhlý2.2.1,tacó f(r n )=cr 2 , (2.15) n n vớimoin∈Z.
Vêy f(x)=cx 2 , vớimoix∈R Q Địnhnghĩa2.2.1 M®t hàmf:R→Rđược goi là hàm toàn phương neuhàmfthóamãn f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớim o ix , y∈R.
Tà ket quả của Định lý2.2.2, ta đã cháng minh được rang: Moi hàmtoànphương liên tụ cfđ e ucód ạn gf(x)=cx 2 ,trongđóclàm®tha ngsotùyý.
Bieudiencáchàmtoànphương
Trongđịnhlýsauđây,tachỉrarangmoihàmtoànphươngđeucóthebieudie nbởim®thàmsongc®ngtínhđoixáng. Địnhlý2.3.1 M ® th à mf:R→ Rl à h à m t o à n p h ư ơ n g k h i v à c h í k h i tont ạim®thàmsongc®ngtínhđoixúngB:R 2 →Rsaocho f(x)=B(x,x).
Bâygiờtachángminhđieungượclại.Giảsảhàmf:R→Rlàhàmtoànphươn gvàtađịnhnghĩahàmB:R 2 →Rxácđịnhbởi
=f(x). Đőivaitròcủaxvàychonhautrong(2.17),tađược f(x+y)+f(y−x)=2f(y)+2f(x) (2.19) Sosánh(2.19)với(2.17),tađược f(x−y)=f(y−x).
Dođó,hàmflàm®thàmchȁn.Tiepthe o,tacó
Tươngtự,tacóthechỉraranghàmBlàhàmlẻtheobientháhai.Tieptheo,tach ỉraranghàmBlàhàmc®ngtínhtheobienthánhat.
Thay−ybởiytrong(2.23)vàsảdụngketquảhàmBlàm®thàmlẻtheobi enthánhat,tađược
VìhàmBlàhàmđoi xángnênhàmBcũngc®ngtínhtheobientháhai.VêyBlàhàmsongcđngtớnhđoixỏng.Địnhlýđượcchỏngminh.Q
Pexiderhóaphươngtrìnhhàmtoànphương
Pexider hóa phương trình hàm là phương pháp làm thay đői cau trúccủa phương trình hàm ban đau tà m®t hàm so thành hai hay nhieu hàm sođe nghiờn cỏu ve nghiằm tőng quỏt cú the cú của phương trỡnh mới thietlêp.
Phươngtrìnhhàmtoànphương f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớim o ix , y∈R,c ó t h e đ ư ợ c P e x i d e r h ó a t h à n h p h ư ơ n g t r ì n h f 1(x+y)+f 2(x−y)=f 3(x)+f 4(y), (2.24) vớimoix,y∈R,trongđóf 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4:R→Rlàcáchàmsochưabiet. Đexỏcđịnhnghiằmtőngquỏtcủa(2.24),chỳngtadựavàoketquảcúđượctàb őđesau.
(2.26) trongđóhàmB:R 2 →Rlàhàmsongc®ngtínhđoixúng,hàmA:R→R làh à m c ® n g t í n h v àa , blàc á c s o t h ự c t ù y ý
Bâygiờ,chox=0vào(2.28),tađược h(y)+h(−y)−2h(0)=f(y)+f(−y)−2f(0) (2.29) và(2.28)trởthành f(x+y)+f(x−y)−2f(x)=f(y)+f(−y)−2f(0).
B(x+u,y)+B(xưu,y)= 2B(x,y), vớimoix,y,u∈R. ĐieunàychothayhàmB(ã,y)thỏamónphươngtrỡnhhàmJensen.Dođú,hàm
B(ã,y)làhàmcđng tớnhtheobienthỏnhat,vỡB(0,y)=0.VỡhàmBđượcxỏcđị nhbởi(2.31)làhàmđoixángnênhàmBlàhàmc®ng tínhtheobientháhai.
Dođó,hàmB:R 2 →Rlàhàmsongc®ngtínhđoixáng.Bâygiờch oy=xvào(2.31)và(2.30),tađược
Vìl(0)=0,tathayhàmllàhàmc®ngtính,nghĩalà l(x)=A(x), (2.34) trongđóhàmA:R→Rlàhàmc®ngtính.
Hằq uả 2 4 1 N g h i ằ mtőngquỏtf:R→Rcủaphươngtrỡnh f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+f(y)+f(−y) códạng f(x)=B(x,x)+A(x), trongđóhàmB:R 2 →Rlàhàmsongc®ngtínhđoixúngvàhàm
Hằq uả 2 4 2 N g h i ằ mtőngquỏtf:R→Rcủaphươngtrỡnh f(x+y+z)+f(x)+f(y)+f(z) vớim o ix , y,z∈Rc ó d ạ n g
Chfíngm i n h C h o x=y=z=0 v à o( 2 3 6 ) , t a đ ư ợ cf(0)= 0.T i e p theo,thayzbởi−ytrong(2.36),tađược f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+f(y)+f(−y), vớimoix,y∈R.Dođú,tacúnghiằmcantỡmtheoHằquả2.4.1 Q Bõyg i ờ , t a s ả d ụ n g B ő đ e2.4.1đ ex ỏ c đ ị n h n g h i ằ m t ő n g q u ỏ t c ủ a phươngtrình(2.24). Địnhl ý 2 4 1 N g h i ằ mt ő n g q u ỏ tf 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4: R→Rc ủ a p h ư ơ n g t r ỡ n h f 1(x+y)+f 2(x−y)=f 3(x)+f 4(y), vớim o ix , y∈Rđ ư ợ c x á c đ à n h b ớ i f 1(x)=1B(x,x) f 2 +2
Bâyg iờ , t a c h án g m i n h r a n g c á c h à mf i (vớii=1,4)đ ượ c x á c đ ịn h n hưtrờnlànghiằmduynhatcủa(2.24).
Thayybởi−yvào(2.24),tađược f 1(x−y)+f 2(x+y)=f 3(x)+f 4(−y) (2.37) C®ng(2.37)và(2.24)vetheove,tađược g(x+y)+g(x−y)=2f 3(x)+f 4(y)+f 4(−y), (2.38) trongđó vớimoix∈R. g(x)=f 1(x)+f 2(x), (2.39)
Tươngtự,trà(2.37)cho(2.24)vetheove,tađược h(x+y)−h(x−y)=f 4(y)−f 4(−y), (2.40) trongđó h(x)=f 1(x)−f 2(x), (2.41) vớimoix∈R. Đegiải(2.24)tagiảihaiphươngtrình(2.38)và(2.40).
Trướchet,tagiải(2.40).Tađịnhnghĩahàmk:R→Rxácđịnhbởi k(y)=f 4(y)−f 4(−y), (2.42) vớimoiy∈R.
Dođó,hàmklàhàmc®ngtínhvà k(y)=A 1(y), (2.46) vớimoiy∈R,trongđóhàmA 1l àhàmc®ngtính.
Thayzbởixvào(2.53),tacó f(x−y)+f(x+y)=2f(x)+f(y)+f(−y), vớimoix,y∈R. ÁpdụngHằquả2.4.2,tasuyranghiằmcủa(2.53)là f(x)=B(x,x)+A(x), trongđ ó h à mB:R 2 → Rl à h à m s o n g c ® n g t í n h đ o i x á n g v à h à m
Lớig i ả i Tathayf≡0làmđtnghiằmcủa(2.54).Xộtf/=0.Khiđú, f(x)/=0, vớimoix∈R.
⇔ln.f(x+y).+ln.f(x−y).=2ln.f(x).+2ln.f(y) (2.55) Đ°tg(x)=ln.f(x) Khiđ ó , ( 2 5 5 ) t r ở t h à n h g(x+y)+g(x−y)=2g(x)+2g(y), vớimoix,y∈R.
Bàitêp2.5.3Cho k∈Z+ ,tỡmtatcảcỏchàmf:R→Rthỏamónphươngtrỡ nh f(kx+y)+f(kx−y)=2k 2 f(x)+2f(y), (2.56) vớimoix,y∈R.
They=0vào(2.56),tađược vớimoix∈R. f(kx)=k 2 f(x),
Dođú,nghiằmcủaphươngtrỡnh(2.56)là f(x)=B(x,x), trongđóhàmB:R 2 →Rlàhàmsongcôngtínhđoixáng.Thảlại,t athayhàmflànghiằmtőngquỏtcủa(2.56).
Thayybởixvàz=0trong(2.57),roisảdụng(2.58)và(2.59)tasuyrađượ c vớimoix∈R. f(2x)=4f(x), (2.60)
Thayzbởi−ytrong(2.57),roisảdụng(2.59)và(2.60)tasuyra f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y), vớimoix∈R.
Thayybởixvàz=0trong(2.61)roisảdụng(2.62),tađược vớimoix∈R. f(2x)=4f(x),
Bangphươngphápquynạp,tađược f(nx)=n 2 f(x), vớimoin∈Z+,vớimoix∈R.
Kethợpvới(2.63),tasuyra f(nx)=n 2 f(x), vớimoin∈Z,vớimoix∈R.
Khiđó,layr∈Qvới r= m n trongđóm∈Z,n∈N,tacó m 2 f(x)=f(mx)=f(nrx)=n 2 f(rx).
Tàđó,tacó f(nx)=n 2 f(x), vớimoin∈Q,vớimoix∈R.
Suyra f(x)=B(x,x),vớimoix∈R, trongđóhàmB:R 2 →Rlà hàmsongc®ng tínhđoi xáng.Thảlại,tathayhàmflànghiằmtőngquỏtcủa(2.61).
Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t so ket quả liên quan đentớnh őn định nghiằm của phương trỡnh hàm toàn phương, phương trìnhhàm toàn phương tőng quát và m®t so phương trình hàm liên quan khỏc.Nđi dung của chương này được chỳng tụi tham khảo tà tài liằu P. ShahoovàP.Kannappan[3].
Bõygiờ,tatrỡnhbàymđtsoketquảvetớnhőnđịnhnghiằmcủaphươngtrỡnhhàmtoà nphương. Địnhlj3.1.1 Neuhàmf:R→Rthóamãnbatđȁngthúc f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−2f(y)≤ε,
2 2 k 22 k 2 vớim o ix , y∈R,v ớ iε >0c h ot r ư ớ c t h ì t o n t ạ i d u y n h a t m ® t h à m t o à n phươngq:R→Rsaocho vớimoix∈R.
2 2k haivecủa batđȁngthỏc nhênđược vớikđità 1đenn,ta được n n Σ1 f(2 k x)−2 2 f(2 k−1 x).≤ Σ3 1 ε k =
Giảsảm>n>0,khiđóm−nlàsotựnhiênvàncóthethaytheđượcbở im−ntrongbatđȁngthỏctrờn.Vỡvêy,tacú hay
Dođó,hàmqlàhàmtoànphương.Tiept heo,taxét
Cuoicùng,tachángminhhàmqlàduynhat.Giảsảhàmq:R→R khônglàduynhat.Khiđó,tontạim®thàmtoànphươngkháclàs:R→R ε
ε thỏamãn với moix∈R.Ta có
Czerwik(1992)cũngđãchángminht í n h ő n đ ị n h c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h hàmt o à n p h ư ơ n g ở Đ ị n hl ý 3 1 1 v à b a o g o m đ ị n h l ý s a u đ â y n h ư m đ t trườnghợpđ°cbiằt. Địnhlj3.1.2 Neuhàmf:R→Rthóamãnbatđȁngthúc f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−2f(y)≤ε, vớimoix,y∈R,vớiε >0chotrướcthìtontạiduynhathàmtoànphương Q:R→Rsaocho f(x) Q(x) 1ε
3 vớim o ix ∈R.Hơnn ũ a , n e uf(tx)li ê nt ự c t h e ot vớim ő ix ∈Rc o đ à n h thì
3.2 Tớnhon định nghiằm của phương trỡnh hàmtoànphươngtongquát
Trongmụcnày,tasětỡmhieuvetớnhőnđịnhnghiằmcủaPexiderhúaphương trỡnh hàm toàn phươngf 1(x+y) +f 2(x−y) =f 3(x) +f 4(y)dựavàoketquảtàđịnhlýsau. Địnhl j 3 2 1 N e u cáchàmf 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4: R→Rthóamãnbatđȁngthúc
4 (x)−2Q(x)−2A 2 (x)−f 4 vớimoix∈R.Hơnnũa,neuf 3(tx)vàf 4(tx)liêntựctheot∈Rvớimőix
∈R,thì hàmQthóa mãnQ(tx) =t 2 Q(x),với moix∈Rvà các hàmA 1 ,A 2 làcáchàmtuyentính.
Chfíngm i n h TađịnhnghĩaF i (x)=f i (x)−f i (0)vàF e vàF o lanlượt làphanchȁnvàphanlẻcủaF i (vớii=1,4).Khiđó,tađược
Chox=y=0(vàthayybởix),y=xvày=−xvào(3.11),tađược
Hơnn ǎa, n euf 4(tx)liêntụ c t heot∈Rvớ i m o ix∈Rth ìh à mto àn phư ơngQthỏamãnQ(tx)=t 2 Q(x)vớimoix∈R.
Chox=y=0(vàthayybởix),y=xvày=−xvào(3.12),tađược
Thayybởi−yvào(3.35)vàsauđósảdụngketquảF o làm®thàmlẻ, tađược
≤28ε, (3.38) vớimoix,y∈R. Đ°tu=x+yvàv=x−ytrong(3.37), ta được
TheoĐị nh lý1.2.5,t on t ại d u y nh at h à m c ® n g t ín hA 1: R→Rs a o cho vớimoix∈R.
Hơnnǎa,neuf 3(tx)liêntụctheot∈Rvớimoix∈RthìhàmA 1làhàmtuye ntính. Đ°tu=x−yvàv=2ytrong(3.38),tađược
TheoĐị nh lý1.2.4,t on t ạ i d u y nh at h à m c ®n g t ín hA 2: R→Rs a o cho
Hơnnǎa,neuf 4(tx)liêntụctheot∈Rvớimoix∈R,thìhàmA 2làhàmtuye ntính.
Tieptheo,tagiảsảcáchàmQ ′ ,A ′ 1 ,A ′ 2: R→Rlanlượtlàm®thàm toànphươngkhácvàhaihàmc®ngtínhkhácthỏamãncácbatđȁngtháctrong(3.8)đượcthayvàovớivaitrònhưcủaQ,A 1vàA 2tươngáng.
Thayxbởi−xtrong(3.43)vàsảdụngketquảcáchàmtoànphươnglàc hȁnvàcáchàmc®ngtínhlàlẻ,tađược
Nhàtoỏnhoc Drygasđóxem xộttớnh őnđịnhnghiằm củaphươngtrỡnh f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+f(y)+f(−y),
Vànghiằmtőngquỏtcủa(3.47)cúdạng f(x)=Q(x)+A(x), trong đóhàmA:R→Rlàm®t hàmc®ngtínhvà hàmQ:R→R làm®thàmtoànphương.
(3.48)trong đó bao gom phương trình hàm(3.47)của Drygas như là m®t trườnghợpđ°cbiằt.
Bođ e3 3 1 N e ucáchàmf,g:R→Rthóamãnbatđȁngthúc f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−g(2y)≤ε, (3.49) vớimoix,y∈R,vớiε>0chotrướcthìtontạiduynhathàmtoànphương
Hai bő đe sau lan lượt trỡnh bày ve tớnh őn định nghiằm của hai phươngtrìnhhàm f(x+y)−f(x−y)=2f(y) và f(x+y)−f(x−y)=2g(y), trongđócáchàmf,g:R→Rlàchưabiet.
|f(x+y)−f(x−y)−2f(y)|≤ε (3.59) vớim o ix , y∈R,v ớ iε >0c h ot r ư ớ c t h ì t o n t ạ i d u y n h a t h à m c ® n g t í n h A:R→Rsaocho vớimoix∈R.
|f(x+y)−f(x−y)−2g(y)|≤ε, (3.63) vớim o ix , y∈Rv àε >0c h ot r ư ớ c , t h ì t o n t ạ i d u y n h a t h à m c ® n g t í n h A:R→Rsaocho và vớimoix∈R.
(3.68)vớimoix,y∈R.Đ°ts=x+yvàt=x−y,tađược vớimois,t∈R .
Sảdụng ketquả vetớnh őnđịnhnghiằm củaphươngtrỡnh hàm củaJung(1996),tacó
U l a m của phương trìnhhàm(3.48)bao gom phương trình hàm(3.47)như mđttrườnghợpđ°cbiằt. Địnhlj3.3.1 Neu các hàmf, g:R→Rthóa mãn bat đȁng thúc(3.49)với moix, y∈R,vớiε >0cho trước thì ton tại duy nhat hàm toàn phươngQ:R→Rvàduynhathàmc®ngtínhA:R→Rsaocho
Chfíng minh.Goif e (x),f o (x),g e (x)vàg o (x)lan lượt bieu dien chophan chȁn củaf(x), phan lẻ củaf(x), phan chȁn củag(x)và phan lẻ củag(x). e e e e o o o o o e
Vì ta cóf e là chȁn,f e (0)=f(0),g e (0)=g(0), Bő đe3.3.1và batđȁng thác (3.73) nên ton tại duy nhat hàm toàn phươngQ:R→R thỏamãn e 3 1
Tươngtự,vìtacóf o làlẻ,vàf o (0)=g o (0)=0,Bőđe3.3.1vàbatđȁngt hác(3.74)nêntontạiduynhathàmtoànphươngq:R→Rvới
Tà(3.77),tathayq(x)=0vớimoix∈R.Vàtà(3.78),tacó
Dođó,theoBőđe3.3.2vàbatđȁngthác(3.81),tontạiduynhathàmc®n gtínhA:R→Rsaocho
Tiep theo, ta can cháng minh tính duy nhat của các hàmQvàA.
ChohàmA ′ :R→R và hàmQ ′ :R→R lan lượt là m®t hàm c®ng tínhkhácvàm®thàmtoàn phươngkhác,thỏamãncácbat đȁngthác(3. 70)và(3.71)khi thay the vai trò củaAvàQ Giả sả ton tạix 0∈R sao choQ(x 0)/=Q ′ (x 0),tacó
GiảsảtươngtựrangA(x 0)/=A ′ (x 0)vớim®tsox 0∈R.Khiđó,tacó
|f(x+y)+f(x−y)−2f(x)−f(y)−f(−y)|≤ε, (3.84) vớim o ix , y∈R,v ớ iε >0c h ot r ư ớ c t h ì t o n t ạ i d u y n h a t h à m c ® n g t í n h A:R→RvàduynhathàmtoànphươngQ:R→Rsaocho
Chfíngmi n h Tađịnhnghĩam®thàmg:R→Rxácđịnhbởi g(x)=fx
TheoĐịnhlý3.3.1,tontạiduynhathàmc®ngtínhA:R→Rvàduynhathàm toànphươngQ 1:R→Rsaocho
Giả sảA ′ :R→R là m®t hàm c®ng tính khác vàQ ′ :R→R là m®thàm toàn phương khác thỏa mãn(3.85)khi lan lượt thay the choAvàQ.Khiđó,tacó vớimoix∈R.
Vìhàmqlàhàmtoànphương vàhàmalàhàmc®ngtính nên q(x)=a(x)=0, vớimoix∈RvàdođóQvàAlàxácđịnhduynhat Q