Phương trình hàm toàn phương và tính ổn định nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐỨC TỒN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐỨC TOÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 Khóa: 22 (2019 - 2021) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN SUM Bình Định - Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn Tác giả xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác tính đến thời điểm Đề tài “Phương trình hàm tồn phương tính ổn định nghiệm” kết nghiên cứu tác giả hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Sum Tác giả xin cam đoan kết trình bày luận văn tham khảo trích dẫn từ tài liệu đảm bảo tính rõ ràng xác Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Đức Toàn Mục lục Lời cam đoan Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số tính chất hàm số 1.1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ 1.1.2 Hàm số đơn điệu 1.1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.1.4 Hàm số liên tục 1.1.5 Hàm số khả vi Phương trình hàm Chương 2: Phương trình hàm tồn phương 2.1 Các hàm song cộng tính 2.2 Nghiệm phương trình hàm tồn phương 11 2.3 Biểu diễn hàm toàn phương 16 2.4 Pexider hóa phương trình hàm tồn phương 19 2.5 Một số toán 27 Chương 3: Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương 34 3.1 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương 34 3.2 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương tổng qt 3.3 39 Tính ổn định nghiệm số phương trình hàm có liên quan 51 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 Mở đầu Phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu toán học đại toán sơ cấp, sử dụng nhiều việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh lớp chọn, lớp chuyên trường trung học phổ thông kỳ thi học sinh giỏi cấp Các phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm d’Alembert phương trình hàm nhiều tài liệu đề tài đề cập nghiên cứu Các đề tài phương trình hàm phong phú nên tài liệu đề tài khơng thể bao qt tất lớp phương trình hàm Vì vấn đề cần nghiên cứu số lớp phương trình hàm cụ thể cần thiết để phục vụ cho công việc giảng dạy học tập toán cấp học Các phương trình hàm cổ điển nghiên cứu khoảng thời gian 250 năm kết phương trình hàm biên tập nhiều tài liệu J Aczél [4], M Kuczma [6] Gần đây, số tài liệu khác nhiều tác giả biên soạn cập nhật nhiều vấn đề mẻ C Efthimiou [5], P Sahoo P Kannappan [3] Mục đích luận văn trình bày dạng phương trình hàm tồn phương số dạng mở rộng Luận văn trình bày tính ổn định nghiệm lớp phương trình hàm Cấu trúc luận văn bao gồm: Chương 1, trình bày số tính chất hàm số, phương trình hàm với kết sử dụng chương Chương 2, trình bày lý thuyết phương trình hàm tồn phương số tốn liên quan Chương 3, trình bày tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương số phương trình hàm có liên quan Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Sum Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy tận tình giúp đỡ truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm q trình nghiên cứu khoa học để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn Hội đồng Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 22 (2019 2021) tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Cuối cùng, tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu phương trình hàm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích chương hệ thống lại số định nghĩa tính chất sơ cấp hàm số Chúng nhắc lại số kết phương trình hàm Cauchy cần thiết để sử dụng cho chương Nội dung chương tham khảo từ tài liệu N V Mậu [1] 1.1 Một số tính chất hàm số Trong mục này, xem xét hàm số f (x) với tập xác định Df ⊂ R tập giá trị Rf ⊂ R 1.1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f (x) gọi hàm số chẵn D ⊂ Df    ∀x ∈ D, −x ∈ D   f (x) = f (−x), ∀x ∈ D Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f (x) gọi hàm số lẻ D ⊂ Df    ∀x ∈ D, −x ∈ D   f (x) = −f (−x), ∀x ∈ D 1.1.2 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.1.3 Hàm số f (x) gọi hàm số đồng biến D ⊂ Df với x1 , x2 ∈ D, x1 = x2 ta có f (x1 ) − f (x2 ) ≥ x1 − x2 Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f (x) gọi hàm số nghịch biến D ⊂ Df với x1 , x2 ∈ D, x1 = x2 ta có f (x1 ) − f (x2 ) ≤ x1 − x2 1.1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Định nghĩa 1.1.5 Hàm số f (x) gọi tuần hoàn chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ Df    ∀x ∈ M, x ± a ∈ M   f (x ± a) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.1.6 Hàm số f (x) gọi phản tuần hoàn chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ Df    ∀x ∈ M, x ± a ∈ M   f (x ± a) = −f (x), ∀x ∈ M 1.1.4 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.1.7 Cho hàm số f (x) xác định Df x0 ∈ Df Ta nói hàm f (x) liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.8 Hàm số f (x) liên tục (a, b) f (x) liên tục điểm x0 ∈ (a, b) Định nghĩa 1.1.9 Hàm số f (x) liên tục [a, b] f (x) liên tục điểm x0 ∈ (a, b), đồng thời f (x) liên tục trái x = b liên tục phải x = a 1.1.5 Hàm số khả vi Định nghĩa 1.1.10 Cho hàm số f (x) x0 ∈ Df Ta nói f (x) khả vi f (x0 + ∆x) − f (x0 ) x0 giới hạn tỉ số có giá trị hữu hạn ∆x ∆x dần tới Định nghĩa 1.1.11 Hàm số f (x) khả vi tập D ⊂ Df f (x) khả vi x ∈ D 1.2 Phương trình hàm Định nghĩa 1.2.1 Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình Định nghĩa 1.2.2 Phương trình hàm Cauchy phương trình f (x + y) = f (x) + f (y) 51 3.3 Tính ổn định nghiệm số phương trình hàm có liên quan Nhà tốn học Drygas xem xét tính ổn định nghiệm phương trình f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + f (y) + f (−y), (3.47) với x, y ∈ R Và nghiệm tổng quát (3.47) có dạng f (x) = Q(x) + A(x), hàm A : R → R hàm cộng tính hàm Q : R → R hàm toàn phương Trong mục này, ta chứng minh tính ổn định nghiệm phương trình hàm Hyers-Ulam: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + g(2y), (3.48) bao gồm phương trình hàm (3.47) Drygas trường hợp đặc biệt Các bổ đề sau sử dụng để xác định tính ổn định nghiệm phương trình hàm Drygas Bổ đề 3.3.1 Nếu hàm f, g : R → R thỏa mãn bất đẳng thức f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − g(2y) ≤ ε, (3.49) với x, y ∈ R, với ε > cho trước tồn hàm tồn phương Q : R → R cho f (x) + f (−x) − 2f (0) − 4Q(x) ≤ 3ε + g(0) (3.50) 52 g(x) − Q(x) ≤ 2ε + g(0) , (3.51) với x ∈ R Chứng minh Thay x z y f z+ x+y +f z− Thay x z y x+y x+y (3.49), ta − 2f (z) − g(x + y) ≤ ε x−y (3.49), ta x−y − 2f (z) − g(x − y) ≤ ε x y Thay x z + y (3.49), ta 2 f z+ x−y (3.52) +f z− x−y x − 2f z + − g(y) ≤ ε 2 y x Thay x z − y (3.49), ta 2 f z+ x+y +f z− f z− x−y +f z− x+y − 2f z − x+y +f z+ x − g(y) ≤ ε (3.53) (3.54) (3.55) Từ (3.52) (3.53), ta có f z+ x+y +f z− x−y x−y − 4f (z) − g(x + y) − g(x − y) x+y x+y ≤ f z+ +f z− − 2f (z) − g(x + y) 2 x−y x−y +f z− − 2f (z) − g(x − y) + f z+ 2 +f z− ≤ 2ε (3.56) 53 Từ (3.54) (3.55), ta có f z+ x+y +f z− +f z− x−y x+y +f z+ − 2f z + x x−y − 2f z − x − 2g(y) ≤ 2ε (3.57) Từ (3.49), (3.56) (3.57), ta có g(x + y) + g(x − y) − 2g(y) − 2g(x) x+y x−y x−y x+y −f z+ −f z− −f z− 2 x+y x−y x+y + f z+ +f z− +f z+ 2 x−y x x +f z− − 2f z + − 2f z − − 2g(y) 2 x x + 2f z − − 2g(x) − 4f (z) + 2f z + 2 ≤ g(x + y) + g(x − y) + 4f (z) − f z + ≤ 6ε Theo Định lý 3.1.2, tồn hàm toàn phương Q : R → R thỏa mãn |g(x) − Q(x)| ≤ 2ε + |g(0)|, với x ∈ R (3.58) 54 Từ (3.49) (3.58), ta có |f (x) + f (−x) − 2f (0) − Q(2x)| = |f (x) + f (−x) − 2f (0) − g(2x) + g(2x) − Q(2x)| ≤ |f (x) + f (−x) − 2f (0) − g(2x)| + |g(2x) − Q(2x)| ≤ 3ε + |g(0)| Q(2x) = 4Q(x), với x ∈ R, kết thúc chứng minh Hai bổ đề sau trình bày tính ổn định nghiệm hai phương trình hàm f (x + y) − f (x − y) = 2f (y) f (x + y) − f (x − y) = 2g(y), hàm f, g : R → R chưa biết Bổ đề 3.3.2 Nếu hàm f : R → R thỏa mãn bất đẳng thức |f (x + y) − f (x − y) − 2f (y)| ≤ ε (3.59) với x, y ∈ R, với ε > cho trước tồn hàm cộng tính A : R → R cho |f (x) − A(x)| ≤ ε, với x ∈ R (3.60) 55 Chứng minh Đổi vai trị x với y (3.59), ta có |f (x + y) − f (y − x) − 2f (x)| ≤ ε, (3.61) với x, y ∈ R Tiếp theo, cho x = vào (3.59), ta |f (y) + f (−y)| ≤ ε (3.62) Từ (3.59), (3.61) (3.62), ta có |2f (x + y) − 2f (x) − 2f (y)| ≤ |f (x + y) − f (x − y) − 2f (y)| + |f (x + y) − f (y − x) − 2f (x)| + |f (x − y) + f (y − x)| ≤ 3ε Sử dụng kết Định lý 1.2.5, có bất đẳng thức (3.60) bổ đề chứng minh Bổ đề 3.3.3 Nếu hàm f, g : R → R thỏa mãn bất đẳng thức |f (x + y) − f (x − y) − 2g(y)| ≤ ε, (3.63) với x, y ∈ R ε > cho trước, tồn hàm cộng tính A : R → R cho |f (x) − A(x) − f (0)| ≤ 6ε (3.64) |g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 2ε, (3.65) với x ∈ R 56 Chứng minh Cho y = (3.63), ta 2|g(0)| ≤ ε (3.66) Thay y = x vào (3.63), ta |f (2x) − 2g(x) − f (0)| ≤ ε, (3.67) với x ∈ R Từ (3.63), ta có 2|2g(x) − g(x + y) − g(x − y)| ≤ |f (z + (x + y)) − f (z − (x + y)) − 2g(x + y)| + |f (z + (x − y)) − f (z − (x − y)) − 2g(x − y)| + |2g(x) − f ((z + y) + x) + f ((z + y) − x)| + |2g(x) − f ((z − y) + x) + f ((z − y) − x)| ≤ 4ε, với x, y, z ∈ R Do đó, ta có |g(x + y) + g(x − y) − 2g(x)| ≤ 2ε, (3.68) với x, y ∈ R Đặt s = x + y t = x − y, ta g(s) + g(t) − 2g s+t ≤ 2ε, với s, t ∈ R Sử dụng kết tính ổn định nghiệm phương trình hàm Jung (1996), ta có |g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 2ε, (3.69) 57 với hàm A : R → R hàm cộng tính Từ (3.66), (3.67) (3.69), ta có |f (2x) − 2A(x) − f (0)| ≤ |f (2x) − 2g(x) − f (0)| + 2|g(x) − A(x) − g(0)| + 2|g(0)| ≤ 6ε, với x ∈ R, đó, |f (x) − A(x) − f (0)| ≤ 6ε Định lý chứng minh Trong định lý sau, có kết tính ổn định Hyers-Ulam phương trình hàm (3.48) bao gồm phương trình hàm (3.47) trường hợp đặc biệt Định lý 3.3.1 Nếu hàm f, g : R → R thỏa mãn bất đẳng thức (3.49) với x, y ∈ R, với ε > cho trước tồn hàm tồn phương Q : R → R hàm cộng tính A : R → R cho |f (x) − 2Q(x) − A(x) − f (0)| ≤ 37 ε (3.70) |g(x) − Q(x)| ≤ 13 ε, (3.71) với x ∈ R Chứng minh Gọi f e (x), f o (x), g e (x) g o (x) biểu diễn cho phần chẵn f (x), phần lẻ f (x), phần chẵn g(x) phần lẻ g(x) 58 Thay x −x y −y (3.49), ta |f (−x − y) + f (−x + y) − 2f (−x) − g(−2y)| ≤ ε (3.72) Từ (3.72) (3.49), ta có |f e (x + y) + f e (x − y) − 2f e (x) − g e (2y)| ≤ ε (3.73) |f o (x + y) + f o (x − y) − 2f o (x) − g o (2y)| ≤ ε, (3.74) với x, y ∈ R Vì ta có f e chẵn, f e (0) = f (0), g e (0) = g(0), Bổ đề 3.3.1 bất đẳng thức (3.73) nên tồn hàm toàn phương Q : R → R thỏa mãn |f e (x) − f (0) − 2Q(x)| ≤ ε + |g(0)| (3.75) |g e (x) − Q(x)| ≤ 2ε + |g(0)|, (3.76) với x ∈ R Tương tự, ta có f o lẻ, f o (0) = g o (0) = 0, Bổ đề 3.3.1 bất đẳng thức (3.74) nên tồn hàm toàn phương q : R → R với |q(x)| ≤ ε (3.77) |g o (x) − q(x)| ≤ 2ε (3.78) 59 Từ (3.77), ta thấy q(x) = với x ∈ R Và từ (3.78), ta có |g o (x)| ≤ 2ε (3.79) |f o (x + y) + f o (x − y) − 2f o (x)| ≤ 3ε (3.80) Từ (3.74) (3.79), ta có Đổi vai trị x y cho (3.80), ta |f o (x + y) − f o (x − y) − 2f o (y)| ≤ 3ε, (3.81) với x, y ∈ R Do đó, theo Bổ đề 3.3.2 bất đẳng thức (3.81), tồn hàm cộng tính A : R → R cho |f o (x) − A(x)| ≤ ε, (3.82) với x ∈ R Cho x = y = (3.49), ta |g(0)| ≤ ε (3.83) Từ (3.75), (3.82) (3.83), ta có |f (x) − 2Q(x) − A(x) − f (0)| ≤ |f e (x) − f (0) − 2Q(x)| + |f o (x) − A(x)| 37 ≤ ε, điều chứng minh (3.70) Tương tự, từ (3.76), (3.79) (3.83), ta có |g(x) − Q(x)| ≤ |g e (x) − Q(x)| + |g o (x)| ≤ 13 ε, 60 điều chứng minh (3.71) Tiếp theo, ta cần chứng minh tính hàm Q A Cho hàm A : R → R hàm Q : R → R hàm cộng tính khác hàm toàn phương khác, thỏa mãn bất đẳng thức (3.70) (3.71) thay vai trò A Q Giả sử tồn x0 ∈ R cho Q(x0 ) = Q (x0 ), ta có |Q(2n x0 ) − Q (2n x0 )| = 4n |Q(x0 ) − Q (x0 )| → ∞ n → ∞ Mặt khác, từ (3.71) ta có |Q(2n x0 ) − Q (2n x0 )| ≤ |Q(2n x0 ) − g(2n x0 )| + |g(2n x0 ) − Q (2n x0 )| 26 ≤ ε (mâu thuẫn) Do đó, hàm Q xác định Giả sử tương tự A(x0 ) = A (x0 ) với số x0 ∈ R Khi đó, ta có |A(2n x0 ) − A (2n x0 )| = 2n |A(x0 ) − A (x0 )| → ∞ n → ∞ Mặt khác, từ (3.70), ta có |A(2n x0 ) − A (2n x0 )| ≤ | − f (2n x0 ) + 2Q(2n x0 ) + A(2n x0 ) + f (0)| + |f (2n x0 ) − 2Q(2n x0 ) − A (2n x0 ) − f (0)| 37 ≤ ε (mâu thuẫn) Do đó, hàm A xác định 61 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm (3.47) Drygas hệ định lý Hệ 3.3.1 Nếu hàm f : R → R thỏa mãn bất đẳng thức |f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − f (y) − f (−y)| ≤ ε, (3.84) với x, y ∈ R, với ε > cho trước tồn hàm cộng tính A : R → R hàm toàn phương Q : R → R cho |f (x) − Q(x) − A(x)| ≤ 25 ε, (3.85) với x ∈ R Chứng minh Ta định nghĩa hàm g : R → R xác định g(x) = f x +f − x , với x ∈ R Khi đó, từ (3.84), ta có |f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − g(2y)| ≤ ε Theo Định lý 3.3.1, tồn hàm cộng tính A : R → R hàm toàn phương Q1 : R → R cho |f (x) − 2Q1 (x) − A(x) − f (0)| ≤ 37 ε (3.86) |g(x) − Q1 (x)| = f với x ∈ R x +f − x − Q1 (x) ≤ 13 ε, (3.87) 62 Từ (3.87), ta có |f e (x) − 2Q1 (x)| ≤ 13 ε, (3.88) f e (x) biểu thị phần chẵn f (x) Thay x −x (3.86), ta có 37 ε, |f (−x) − 2Q1 (x) + A(x) − f (0)| ≤ (3.89) Q1 hàm chẵn A hàm lẻ Từ (3.86) (3.89), ta có |f o (x) − A(x)| ≤ 37 ε, (3.90) với x ∈ R, f o phần lẻ f Từ (3.88) (3.90), ta có |f (x) − 2Q1 (x) − A(x)| ≤ |f e (x) − 2Q1 (x)| + |f o (x) − A(x)| ≤ 25 ε, chứng tỏ (3.85) cách đặt Q(x) = 2Q1 (x) Cuối cùng, ta cần chứng minh tính Q A Giả sử A : R → R hàm cộng tính khác Q : R → R hàm toàn phương khác thỏa mãn (3.85) thay cho A Q Khi đó, ta có |Q(x) − Q (x) + A(x) − A (x)| ≤ 50 ε với x ∈ R Ta định nghĩa q(x) = Q(x) − Q (x) a(x) = A(x) − A (x), ta có |q(x) + a(x)| ≤ 50 ε, 63 với x ∈ R Vì hàm q hàm tồn phương hàm a hàm cộng tính nên q(x) = a(x) = 0, với x ∈ R Q A xác định Kết luận Trong luận văn này, trình bày vấn đề sau Trình bày kiến thức chung hàm song cộng tính hàm tồn phương Trình bày chi tiết nghiệm liên tục phương trình hàm tồn phương Trình bày chi tiết số kết nghiệm phương trình hàm tồn phương tổng qt Trình bày số kết tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương số phương trình hàm có liên quan Trình bày lời giải số tốn có liên quan đến phương trình hàm toàn phương 64 Tài liệu tham khảo [1] N V Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, 1999 [2] N Sum, Phương trình hàm, NXB Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, 2021 [3] P Sahoo P Kannappan, Introduction to functional equations, CRC Press, Boca Raton-London-New York, 2011 [4] J Aczél, Lectures on funtion equations and their applications, Academic Press, New York-London, 1996 [5] C Efthimiou, Introduction to Functional Equations: Theory and Problem-solving Strategies for Mathematical Competitions and Beyond, American Mathematical Society, 2011 [6] M Kuczma, A survey of the theory of functional equations, University of Belgrade, Series Mathematics and Physics, 1964 65 ... 3.1 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương 34 3.2 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương tổng quát 3.3 39 Tính ổn định nghiệm số phương trình hàm. .. 1.2 Phương trình hàm Định nghĩa 1.2.1 Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình Định nghĩa 1.2.2 Phương trình hàm Cauchy phương trình. .. phương trình hàm với kết sử dụng chương Chương 2, trình bày lý thuyết phương trình hàm tồn phương số tốn liên quan Chương 3, trình bày tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương số phương trình