Phương trình hàm toàn phương và tính ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Đ ẠN N N À À N Đ N ÀN N NĐ N Chuyên ngành: hương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01.13 TÓM TẮT LUẬN ĂN ẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Cơng trình hoàn thành ĐẠI ỌC ĐÀ NẴN Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: TS Lương Quốc Tuyển Phản biện 2: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 Lý chọn đề tài Th Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tôi mong muố c nhi u tài li u t ngu n ố gắ khác nhau, nghiên c u kỹ tài li ầy ki n th c v nh n sâu sắ c trình bày lu n th c ố ng lu cs d t tài li u tham kh o b ích cho h c sinh, sinh viên giáo viên I ố a lu II ố ối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - ố ng nghiên c - Ph m vi nghiên c Phƣơng pháp nghiên cứu u: thu th p, phân tích, nghiên c u sách vi t v uv ng Internet tài li u chuyên kh o khác Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Xây dựng m v i thờ ng ch p nh thống có th gi ng d y c cho h c sinh chuyên toán b c trung h c ph i h c i ng ng CHƢƠ G PHƢƠ G HH PHƢƠ G ] I 1.1 H C CƠ nh nghĩa 1.1 e Cho E không :E  ố D Ta nói ỏ E (1) x  0, x  E (2) x   x  0, e x (3) k.x  k x , x  E, k  (4) x  y  x  y , x, y  E  E,  E e nh nghĩa (Không gian Banach) M t không gian Banach e m t m t chu n ờng số thực hay số phức v i V cho m i dãy v i metric d  x, y   x  y ) nh nghĩa 1.3 V  G,  e x y  y x, x, y  G e nh nghĩa 1.4 G  G,  G x nh ứng Cauchy 1.1 y z  x  y z  , x, y, z  G e f:  f  x  y  f  x  f  y   ự  0 x, y  A:  cho f  x   A  x    x Cho  S ,   nh G  e cho    x    x ự S f :S G xS e e f  x  y   f  x    y    f  x  , x, y  S f  x   A  x   a, x  S , a ố A: S  G A   x     A  x  , x  S nh 1.3 Cho g :  ứ  x y g  x   g  y   2g       0 x, y  A:  cho g  x   A x   g  0   GC 1.2 H G x H nh nghĩa 1.5 f:  e f f  x  y, z   f  x, z   f  y, z  , f  x, y  z   f  x, y   f  x, z  x, y, z nh 1.4 f: f  x, y   cxy x, y , c nh 1.5 ố f:   n m f  x, y    kj rk s j , (1.1) k 1 j 1 n m x   rk bk , y   s jb j , j 1 k 1 ố rk , s j e bj  kj bk , b j I 1.3 NGHI CC PHƢƠ G HH PHƢƠ G nh  1.6 Cho f : f  x  y  f  x  y   f  x  f  y  x, y f ố ,f f  r   cr r ố c nh 1.7 f  x  y   f  x  y   f  x   f  y , (QE) x, y f  x   cx2 , ố c nh nghĩa 1.6 f:  f  x  y  f  x  y   f  x  f  y  x, y I 1.4 nh I C H f: PHƢƠ G  ố ứ B:  f  x   B  x, x  1.5 PEXINDER C PHƢƠ G H H cho PHƢƠ G f  x  y  f  x  y   f  x  f  y  (QE) f1  x  y   f  x  y   f  x   f  y  (1.2) f1, f , f3, f :  ố x, y đề 1.1 ự  f , g, h : f  x  y  f  x  y  g  x  h x  h y        h  A:  Hệ q B: (1.3) b f  x   B  x, x   A  x   2 g  x   2B  x, x   A  x   b  a (1.4)  x   h   x   2B  x, x   a  ố ứ l a, b 1.1 f:  f  x  y  f  x  y   f  x  f  y   f  y  (1.5) f  x   B  x, x   A x  , B:  A:  ố ứ  Hệ q 1.2 f:  f  x  y  z   f  x   f  y   f  z   f  x  y   f  y  z   f  x  z  x, y, z f  x   B  x, x   A x  , B:  A:  ố ứ  nh f1, f , f3, f : f1  x  y   f  x  y   f  x   f  y    f1     f    f3    f4  B:  x, y      x   12 B  x, x   14  A1  A2   x    a  b2   x   12 B  x, x   14  A1  A2   x   b   a   2  (1.2s)  x   B  x, x   12 A1  x   b  c   x   B  x, x   12 A2  x   c,  ố ứ A1, A2 :  ố 1.6 M nh 1.1 Cho  S ,   G G  e S cho   x   x ự xS f :S G f  x  y  f  x   y   f  x  f  y  f  x   B  x, x   A x  B: S S G B  x, y   B  x, y  , A x   A x  1.7 M x, y  S x  S , (1.7) ố A: S  G (1.6) ứ í ụ 1.1  f: f  2x  y   f  y  z   f  2z  x   f  x  y  z   f  x  f  y   f  z  x, y, z  f:  f  x  y  f  x  y  f  x  f  y  , f  3x   f  x  , x  Thay x  y  z (1.8 y, z ) f  0  Thay x  y  z  (1.8 x x, y  (QE)  f: Thay x (1.8) (1.9) x f   x   f  x  , x  (1.10) f f  x   f  x  , x  (1.11) f  x  y   f  x   f  y   f  x  y  , x, y  (1.12) Thay y  z  Thay z  Thay z   y (1.8 f  x  y   f  x   f  y   f  x  y  , x, y  (1.13) f  x   f  x  y   f  x  y   f  y  , x, y  (1.14) Thay x x y f  x  y   f  x  y   f  x   f  y  , x, y  f f: T  f  x  y  z   f  x  y  z   f  x  y   f  z  (1.15) f  x  y  z   f  x  y  z   f  x  z   f  y  (1.16) 10 25), (1.26), (1.27 f  2x  y   f  y  z   f  2z  x   f  x  y  z   f  x   f  y   f  z  f f:  í ụ 1.2 f  2x  y   f  2x  y   f  x  y   f  x  y   f  x  (1.28) f:  x, y f  x  y  f  x  y   f  x  f  y , f: x, y   (QE) 28) Cho x  y  (1.28), ta suy f    f  x   f  x  , x  Cho y  (1.28 Thay y x (1.2 (1.29) 29), ta suy f  3x   f  x  , x  Thay y (1.30) x  y (1.28 f  3x  y   f  x  y   f  x  y   f   y   f  x  (1.31) Thay y  y (1.31 f  3x  y   f  x  y   f  x  y   f  y   f  x  (1.32) ) 28 f  3x  y   f  3x  y   f  y   f   y   18 f  x  (1.33) Thay y 3y (1.3 f  x  y  f  x  y  f  y  f  y  f  x Thay x  y (1.3 29 f  x   f   x  , x  34 (1.34) 5), ta suy f :  (1.35) 11 f:  ầ f f  nx   n f  x  , x  ố , n f  2x  y   f  2x  y   f  2x   f  y   f  x  f  y   f  x  y  f  x  y  f  x f:  í ụ 1.3  f   f  f  28  m f: 1  1 a   x  y   f  x   f  y   xy, x, y   b    f  x    , x   c   x x b) suy f    Cho x  y  b) suy f  2t   f  t   2t (1.37) 1 1 b) suy f    f    t   2t  2t (1.38) Cho x  y  t  v Cho x  y  2t (1.36)   f t  c) suy f    ; f t t  f t  t 2   f  2t     2t   2t  f  2t   2t   t2 (1.39) ) suy f  t   t , t  f    suy f  t   t , t  í ụ 1.4 (Korea 2003) ố f: f  x  f  y    f  x   xf  y   f  f  y   , x, y   (1.40) 12 f  x  t ầ f  x  x  f  y a) f  0  f  x   x2 f  x  f  0 x2 f  0 , hay f f x        2 2 ố z x  f  z , Suy f  x    f  f  z   f  y    f  f  z    f  z  f  y   f  f  y   (1.41) f  f  y    f  y  f  0 f  f  z    f  z  f  0 (1.41 f  f  z   f  y   f  z   f  y    f  0  f  x   f  y  | x, y    b) Do f  x   (1.42) y0 cho f  y0   a  f  x  a   f  x   xa  f  a  f  x  a   f  x   ax  f  a  suy xa  f  a  f  x  a  f  x  f  x   f  y  | x, y     f  x  a  f  x | x     f  x   f  y  | x, y    f  x   f  x   f  x   , x2  f   , x  x2  f   , x  T  f  nên f    x2 , x  ầ ố f  x  f  x   x2 , x  13 í ụ 1.5 (Iran 1999)  ố f: f  f  x   y   f  x2  y   yf  x  , x, y  (1.43) y  x2 a) f  f  x   x   f  0  x f  x  , x, y  y   f  x f    f  f  x   x    f  x   , x  f  x f  x  x f  x  x   0, x  f  x  x ầ f ố f  y   f   y  , y  , hay f f f  x  x0 a  0, b  cho f  a   0, f  b   b2 c f  b   f  a  b   f  b   f  a  b  thay x  a, y  b  b2  f  b   f  b   f  a b (mâu thuẫn 0) 2 a b mâu thuẫn a2  b        b2  ố f  x  ầ 14 CHƢƠ G H HC PHƢƠ G H H PHƢƠ G 5] H 2.1 H C PHƢƠ G H H PHƢƠ G nh f:  ứ f  x  y  f  x  y   f  x  f  y    v  0 cho x, y q:  f  x  q  x  h n t ự nh , x ứ f:  f:  ứ f  x  y  f  x  y   f  x  f  y    x, y q :  cho f  x   q  x      f  0  3   0 x q tx   t 2q  x  ố H 2.2 T HC f tx  t e nh x x PHƢƠ G H G ứ (2.1) f1, f , f3, f :  PHƢƠ G 15 f1  x  y   f  x  y   f3  x   f  y    x, y Q:  cho  0 A1, A2 :              (2.2) f1  x   Q  x   A1  x   A2  x   f1  0  137 , 125 f  x   Q  x   A1  x   A2  x   f  0  , 136 f  x   2Q  x   A1  x   f    , 124 f  x   2Q  x   A2  x   f     f tx  x ố x f tx  (2.3) e t Q tx   t 2Q  x  Q A1, A2 x h n t (i) f1  f A2  (ii) f3  f A1  A2 (iii) f1  f3 A2  (iv) f2  f4 A1  A2 (v) f1  f A1  (vi) f  f3 A2  h n t ứ ự f1 , f , f3 , f : E1  E2 f1 , f , f3 , f :  ự E1 E2 2.3 T H HC PHƢƠ G H f  x  y  f  x  y   f  x  f  y   f  y  G (2.4) 16 ầ x, y – f  x  y  f  x  y   f  x  g 2y  (2.5) t đề f ,g :  ứ f  x  y  f  x  y   f  x  g 2 y     0 x, y Q :  cho f  x   f   x   f  0  4Q  x   3  g  0 g  x   Q  x   2  g  0 x đề f:  (2.6) (2.7) (2.8) ứ f  x  y  f  x  y  f  y    0 x, y A:  cho f  x   A x    đề f ,g : x (2.9)  ứ f  x  y   f  x  y   2g  y     0 x, y A:  cho (2.10) f  x   A x   f  0  6 g  x   A x   g  0  2 v x nh f ,g :  ứ 17 f  x  y  f  x  y   f  x  g 2 y     0 x, y  Q: (2.11) A:  cho f  x   2Q  x   A x   f  0  g  x  Q  x  v 37  13  x h n t ự ứ f , g : E1  E2  f ,g : E1 E2 Banach Hệ q  0 f:  ứ (2.12) f  x  y   f  x  y   f  x  f  y   f  y    x, y A:  Q:  cho f  x   Q  x   A x   25  (2.13) x G 2.4 M x, y cho nh G - f :G  E Q:G  E f  x  Q  x  x G  Q Q  x   nlim 4n f  2n x   nh E2 Cho E1 e   0, p  ố ự 18 f : E1  E2 ứ  f  x  y  f  x  y   f  x  f  y    x  y p p  (2.14) g : E1  E2 cho : g  x   f  x   c  k x x  E1 x  E1 \ 0 p0 f  0 Khi p  2, c  p Khi p  2, c  0, k  ,k  (2.15) p0 g  x   nlim 4n f  2n x    2p g  x   nlim 4n f  2n x   2p  x  E1 2.5 í ụ 2.1  f: f  x  y   f  x  y   f  x  y   f  x  y   f  x    (2.16)  x, y   q: q  x  y   q  x  y   q  x  y   q  x  y   6q  x  x, y  cho f  x   q  x    , x  Cho y  (2.16 G f  2x  f 2n x  f 2n 1 x 4n 1  f n  f  x   f  x    , x  n 1  x    k , x  (2.17) k 0  f 2n 1 x 4n 1   f 2 x  f 2 x  f n n 4n 4n  x 19     n f 2n x f 2.2 x n  n f x   f  x 4 4n n 1  4 k 0 k k 0  k  f 2n x 4n  f   f 2m  n x  f 2m  n x m lim n  4m      m n    x    f  x  f 2m x   f  Khi n    f 2n x  n  mn f 2m x n  k 0 mn0 Hay   x   k  x.2    n 1  n     4n 8 k  4k k  k n  Thay x   6.4n    f 2 x   6.4n n  n 6.4n    f  x   n 4n n  20  f 2n x cho q  x   lim   , x  q  x  y   q  x  y   q  x  y   q  x  y   6q  x  q: n n   f   2x  y   f   2x  y   f   x  y   f   x  y   f  x    lim n  4n n n n  lim n   4n n n 0 q  x  y   q  x  y   q  x  y   q  x  y   6q  x  , x, y  q f  x   q  x   f  x   lim n   f 2n x  lim n  q: s:   cho s  x   f  x   n  f 2n x  f  n  x    , x  s  x  q  x  s  x  f  x  f  x  q  x     s  x  q  x    , x  ầ n s  x n2  n2 q  x  n2 s  nx   q  nx  n2     n  3n s  x   q  x  , x  q  I 21 í ụ  f: f  2x  y   f  2x  z   f  2z  x   f  x  y  z  7 f  x   f  y   f  z     d x, y, z   T:  f  x  T  x  16 Thay x  y  z (2.18 f  3x   f  x    f f 3n x n (2.18) ố  n 1 f 9n 1 x  f n  x  cho , x   18  x  , x   n 1 k (2.19) , x n 1 f 9n 1   18 k 0  x   f 3 x   f 3 x   f  n n 9n 9n  x   n f 3n x f 3.3 x n  n f x   f  x 9 9n      n 1  n     9n 18 18 k 0 9k 18 k 0 9k n ố  1   k nên ta suy  k k 0 k 0 n   f f 3n x n  x     18 k 0 k x 22     18 16 mn0 ố  f 3m  n x 9n  f 3m x m  Khi n   16.9n  f 3m x 9m mn  f 16 x.3n x   f 3 x     x  n  n 16.9n 0   f 3 x   n n  9n     f 3n x  9n  T:   cho T  x   lim    , x  f 3n x 9n n  T  x  y   T  y  z   T  z  x   2T  x  y  z  7T  x   7T  y   T  z  n  lim n T  x  y   T 3n  y  z   T 3n  z  x  n                2T 3n  x  y  z   7T 3n x  7T 3n y  7T 3n z  lim n   9n  23 T  x  y   T  y  z   T  2z  x   2T  x  y  z   7T  x   7T  y   7T  z  1, T I f  x   T  x   f  x   lim   f 3n x 9n n    f f 3n x  lim n  T: g:   n l cho g  x   f  x    16  x   16 , x  , x  g  x  T  x  g  x  f  x  f  x  T  x     16  8n2   , x  ầ n g  x  n 2T  x  g  x  T  x   n2 n2  g  nx   T  nx  n 16    n  g  x   T  x  , x  q 24 ự H ố ố ự ầ ...Cơng trình hồn thành ĐẠI ỌC ĐÀ NẴN Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: TS Lương Quốc... Mậu Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học... muố c nhi u tài li u t ngu n ố gắ khác nhau, nghiên c u kỹ tài li ầy ki n th c v nh n sâu sắ c trình bày lu n th c ố ng lu cs d t tài li u tham kh o b ích cho h c sinh, sinh viên giáo viên I