Phương trình hàm toàn phương và tính ổn định

BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H CăĐĨăN NG Đ ăT P ă N ăĐO N N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP VĨăT N ă NăĐ N LU NăVĔNăT CăSƾăK O ă ĐàăN ng - Nĕmă2016 N ă C BỘ GIÁO DỤC VÀ ÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ HẠNH ĐOAN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH Chun ngành: Phương Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người h ng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng - Năm 2016 L IăC MăĐO N N ời thực M CăL C M ăĐ U 1 Lý chọn đề tài M c đích nhiệm v nghiên c u Đối tư ng nghiên c u ph m vi nghiên c u Phương pháp nghiên c u ụ nghĩa khoa học thực tiễn c a đề tài C i ung N ă1 P N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP MỘT S T ÀM SO CC CỘ M T T CC MỘT U C P RC P MỘT S V MỘT S V N P TR ÀM TOÀ P TR Đ M RỘ ÀM TOÀ P 11 ÀM TOÀ P 14 19 23 C N ă T N ă Nă Đ N ă C ăP N ă TR N ĨMă TOĨNă P N 39 T Đ C P TR ÀM TOÀ P 39 T Đ C P TR ÀM TOÀ P SU RỘ 47 T Đ MỘT S V MỘT S V C P Đ M RỘ TR ÀM R S 55 65 71 K TăLU N 81 TĨIăLI UăT QU MăK O TăĐ N ă I OăĐ ăTĨI ) M ăĐ U ăđề tài Lý ch Ủ thu t phương tr nh hà phương n i riêng đ ng Phương tr nh hà n i chung phương tr nh hà toàn t vai tr quan trọng gi i tích tốn học đư c nghiên c u v i nhiều c tiêu khác nghiên c u đ nh tính nghiên c u đ nh ng nghiên c u đ a phương ho c nghiên c u toàn c c Trong đ tr nh hà Th o việc nghiên c u tính n đ nh c a c ng đư c nhà toán học th gi i quan t ng ch s n đ n tính n đ nh c a 94 S.M.U a đ t t phương t c u h i iên quan t đ ng c u Điều nà hư ng nhà tốn học đ n việc nghiên c u tính n đ nh c a t phương tr nh hà Đã c nh ng c u h i đư c đ t oa quanh v n đề ch ng h n: ?” o c ? ?” T đ nh t phương tr nh hà hi u tính n đ nh c a ăvàă Tơi mong muốn t đề tài u n v n th c sĩ iệm vụ nghiên cứu ki đư c nhiều tài liệu t ngu n khác nhau, nghiên c u kỹ tài liệu đ phương tr nh hà cố gắng ĩnh h i đầ đ ki n th c tồn phương tính n đ nh nh diện sâu sắc T đ m t hệ thống đ c iệt toàn phương t i chọn đề tài: Mụ ăđí t phương tr nh hà đưa cách nh n toàn ki n th c nà đư c trình bày lu n v n theo gic Tôi hy vọng lu n v n c th đư c s d ng liệu tham kh o b ích cho học sinh, sinh viên giáo viên t tài Trong chương c a lu n v n nà Ủ iên quan đ n phương tr nh hà t số đ nh nghĩa đ nh tồn phương Trong chương tính n đ nh c a phương tr nh hà hà t i tr nh toàn phương t i tr nh t số phương tr nh khác iên quan Đốiăt ợng nghiên cứu ph m vi nghiên cứu - Đối tư ng nghiên c u: phương tr nh hà toàn phương - Ph m vi nghiên c u: phương tr nh hà tồn phương tính n đ nh c a phương tr nh hà 4.ăP ă toàn phương ă iê ă ứu Phương pháp nghiên c u: thu th p, phân tích, nghiên c u sách vi t phương tr nh hà phương tr nh hà 5.ăÝă ƿaăk đ c iệt phương tr nh hà aă toàn phương tài iệu ng Internet tài liệu chuyên kh o khác c thực tiễn củaăđề tài Xây dựng m t chu ên đề c tính hệ thống có th gi ng d y v i thời ng ch p nh n đư c cho học sinh chuyên toán b c trung học ph th ng cho sinh viên chu ên ngành toán t i trường đ i học N iă Chương : Phương tr nh hà toàn phương Chương : Tính n đ nh c a phương tr nh hà liên quan toàn phương C P Toàn k t qu c a chương nà đư c tha ă e CăC ă ƿaă 1.1 ỏ N ăTR N ă ĨMăTOĨNăP 1.1 M TăS ăKI NăT Đ N kh o tài iệu 5] N Cho E không gian :E  D N Ta nói E (1) x  0, x  E (2) x   x  0, x (3) k.x  k x , x  E, k  e (4) x  y  x  y , x, y  E E Đ ă  E,  e ƿaă 1.2 (Không gian Banach) M t không gian Banach e V ờng s th c hay s ph c v i m t chu n cho m i dãy Cauchy m t ng v i metric d  x, y  x  y )  G,  không gian V Đ ă ƿaă1.3 Đ ă ƿaă1.4 e e x y  y x, x, y  G  G,  G  x y z x G  y z , x, y, z  G Đ ă ă1.1.ă  0 A:  f: cho f  x  A x      x   x Đ f :S G  A  x    A x , x  S x, y g  x  A x  g     cho 1.2 HĨMăSON ăC N ăT N Đ a  x y g  x  g  y   g       ă S cho f  x  y  f  x    y   f  x , x, y  S ă ă1.3 Cho g :  0  x S x G f  x  A x  a , x  S, A: S  G x, y e e e  f  x  y  f  x  f  y   ă ă 1.2 Cho  S,   Đ A: e ƿaă1.5 f f: x  e f  x  y, z  f  x, z  f  y, z , f  x, y  z  f  x, y  f  x, z x, y, z f  x, y  cxy, v i x, y Víă ụ hà (1.1) song c ng tính đ c h ng số Đ th f  x  y, z  c  x  y z điều nà t  cxz  cyz  f  x, z  f  y, z  f  x, y  z  cx y  z Tương tự  cxy  cxz  f  x, y  f  x, z  f cho ođ Đ i hà ă ă 1.4 ạ nh Cho f : v i f:  f  x, y  cxy x, y , c đ , f tho song c ng tính ãn  t ánh song c ng tính iên t c f  x  y, z  f  x, z  f  y, z ọi x, y, z Thay x   y vào ta đư c f  0, z  v i o (1.2) ọi z Cho z cố đ nh ác đ nh T (1.2) i n đ i thành v i   x  f  x, z (1.3)   x  y    x    y (1.4) ọi x, y V f iên t c v i i i n nên  iên t c   x  kx ođ (1.5)   x  k  z x Khi z cố đ nh k ph thu c vào z o đ ta c f  x, z  xk  z ghĩa à, (1.6) Thay (1.6 vào f  x, y  z  f  x, y  f  x, z xk  y  z  xk  y  xk  z , v i ọi x, y, z ta c T đ k  y  z   k  y  k  z  ta c V k iên t c ta thu đư c v i c h ng số hư v v i k  y  cy, (1.7) f  x, y  cxy, (1.8) ọi x, y Đ ă ă1.5 sau f:   f  x, y   kj rk s j , n x   rkbk , m y   s jb j , m n j 1 k 1 rk , s j (1.9) k 1 j 1 e bj  kj bk , b j Cho đ t s a t p số thực hi m i số thực x c th đư c i u iễn sau x   rkbk n (1.10) k 1 v i bk  B rk hệ số h u t Tương tự v i i u iễn ọi số thực y t k ta c th 68 g    V v g  x phương tr nh hà toàn phương x  y  Khi y  x  ta c g  x    g  x    g  x  g    V i x  y  phương tr nh hà g  x  y   g  x  y   g  x  g  y   Đ t y  x ta c đ ng v i x  nghiệ g  x  g  x v i x  phương tr nh c ng V i y   x  ta c g  0  g  x  g  x  g   x  đơn gi n ta c g   x  g  x nghiệ ọi x  E1 đ ng v i Cuối c ng cho x  y  ta c g   y  g   y  g    g  y  V v g : E1  E2 toàn phương E1 Trường h p : Khi p  , (2.91), cho x  y  ta th Sau đ tha c x y cho x ta c f  x  f  21 x  Th o phương pháp qui n p ta c f  x  f  x  n n v i ọi x  E1 n ngu ên ương T 98 tha x i 21 x ta c  f  21 x  4n f f  0   n 1   p x 2  x  x  p  p 2  2 n k 1 21 x  k p   p 2 n k 1 (2.97)  k p   (2.98) 69   f  21 x  4n f   n 1  f  x  f 1 n   f  x  f 1 h n T  n1 M t khác ta c p  x   x  x x  x f  21 x  4n1 f  2( n1) x  98 ta th inh qui n p hoàn thành V   p 2 n k 1 k 1 2 n 1 p 2 n k 1  k p    k 1 x  k p   p 2  n p t đ ng th c cuối c ng cho ta c 99 ch ng n  n1  x  p  k 1 p    k  p   2 n 1 k 1  k p   (2.99) i n  V 98 v n đ ng tha n  2  k 1  k p   98 vi t i sau f  x  f  x  n n  x p 2  k 1  k p    t đ ng th c ta c f  x  4n f  2 n x  k x p đ k    i v h n cho ã số  p 2   k 1 ng c ng th c tính t ng số nh n v i p  ) ên v ph i c a (2.100) 4 Đ t hn  x  4n f  2 n x nh n p v i 4m tha x  hm  x  hmn  x  4m f  2 m x  4mn f Điều nà cho ta th  x 2  m p 2  k x r ng hm  x chu i Cauch V v g : E1  E2 v i g  x  lim hn  x v i n  m n  i 2 m x ta c ọi x  E1 p t n t i 70 inh g hà Ch ng thay x y Đ ch ng gi s ngư c toàn phương tương tự trường h p i 2 n x 2 n y nh n k t qu v i 4n inh tính u nh t c a hà i r ng c t hà phương đư c i u iễn đối ng V v c ng tính đối t cách u nh t th o ọi hà t hà g  x  B x, x đ B : E1  E1  E2 ta c g  rx  r g  x , v i ng Th o đ ta toàn phương khác h : E1  E2 tho Tương tự h  rx  r 2h  x v i r ngu ên ãn toàn phương g ( y  E2 v i a  g  y  h  y  V t tr việc hi đ hai hà ãn toàn song c ng tính t hà song ọi r nguyên g h tho nên g  x  h  x  g  x  f  x   f  x   h  x   2c  2k x p v i ọi x  E1 Đ c iệt ta c r  th : r 2a  g  ry  h  ry  2c  2k r p y p p  Trong trường h p 2c 2k y a  r r 2 p T đ , suy a  Trong trường h p p v i ta c ọi số h u t r  p  2, c  Ta đ t r  a  y   y  2k y  g    h   p s2 s s s     s p 2k y a , s  p i ta th s p 2 p ođ (2.101) a  ta c 71 g u nh t Đ nh Ủ đư c ch ng V 2.5 M TăS ăV ă Víă ụă2.1 v i  tho ãn t phương tr nh hà f  x  y  f  x  y  f  x  y   f  x  y   f  x   ương đ v i t hà v i u f:  inh hoàn toàn  q: tho ọi x, y th ch ng t r ng t n t i u nh t ãn q  x  y  q  x  y  q  x  y  q  x  y  6q  x ọi x, y (2.102) (2.103) cho f  x  q  x   , x  (2.104) i Cho y  (2.102 chia c hai v cho ta c f  x   f  x  , x  f  2n x i s Ta 4n t f  2n1 x 4n1  f  x   f  x  n 1 k 0 f  2n1 x 4n1 k  , x  f  2n x 4n  (2.105) f  2n x 4n  f  x n f  2n x f  2.2 x n  n  f  x   f  x 4 4n  V   đ ng v i   n1  n     n 8 k 0 k k 0 k ọi n ngu ên ương  1 M t khác ta c  k   k k 0 k 0 n 1 ođ 72 f  2n x 4n u m  n  ta Hay f  2mn x t m i x.2 ta c : n Khi n   ta th m n f  2mn x Thay x  f  x  r ng lim n k 0 k  f  x   n 6.4n  6.4n   f  2n x n   6.4n  o đ f  2n x 4n  0 n  f  2n x    ã Cauch nên c gi i h n n    q: Ta c  f  x  m f  2m x      f  2m x 4m V    cho q  x  lim n f  2n x Ta ác đ nh , x  q  x  y  q  x  y  q  x  y  q  x  y  6q  x  4n f  2n  x  y    f  2n  x  y    f  n  x  y   n n  lim  lim n  4n   f  2n  x  y    f  n x  0 73 V đ q  x  y  q  x  y  q  x  y  q  x  y  6q  x , x, y  o q tho Ta ãn phương tr nh hà tồn phương ví f  x  q  x  f  x  lim t n f  2n x  lim n i s q: s:  Ta c   cho s  x  f  x    f  x  t hà khác , x  s  x  q  x  s  x   f  x   f  x   q  x     toàn phương hà   , x  nh t h u t n s  x n q  x  s  x  q  x  n2 n2   V v 4n 4n kh ng u nh t hi đ t n t i  V hà f  2n x chương s  x  q  x , x  minh) Víă ụă2.2 u f:  c hai nên ta t s  nx  q  nx n2  3n2 tho   n ođ ãn q u nh t điều ph i ch ng t phương tr nh hà f  x  y   f  x  z   f  z  x  f  x  y  z  7 f  x  f  y  f  z    (2.106) 74 v i ương đ v i t hà ọi x, y, z  toàn phương T : th ch ng t r ng t n t i u nh t cho f  x  T  x   16 , x  Thay x  y  z (2.106) chia c hai v cho ta c f  x   f  x  , x  18 f  3n x i s f  3n1 x n  f  x  v i n số ngu ên ương v i Ta t 9n1  f  x   18  f  3n1 x n 1 k 0 ọi x 9n1  (2.107) , k f  3n x 9n (2.108)  f  3n x 9n  f  x n f  3n x f  3.3 x n  n  f  x   f  x 9 9n   n1  n   k 18 18 k 0  V đ ng v i M t khác ta c   n 18 k 0 9k ọi n số ngu ên ương v i  1  nên ta suy   k k 9 k 0 k 0 n f  3n x 9n  f  x    18   k 0  k   18 16 ọi x 75 V i ọi số ngu ên ương m  n  ta c h n c hai v cho Khi n   th tha x 9n  16.9n f  3m x m 0 T:   9mn f  3m x n  16 i x.3n ta c f  3n x  n  16.9n  f  3n x 9n   n  f  3n x    ã Cauch nên c gi i h n n   cho T  x  lim  f  x  o đ ta su 9m V f  3mn x f  3n x 9n Ta ác đ nh hà , x  Ta c T  x  y  T  y  z   T  z  x  2T  x  y  z   7T  x  7T  y   7T  z  T  3n  x  y   T  3n  y  z    T  3n  z  x  n 9n  lim 2T  3n  x  y  z    7T  3n x  7T  3n y  7T  3n z   lim n V v  9n  ta c T  x  y  T  y  z  T  z  x  2T  x  y  z   7T  x  7T  y  7T  z  V T tho ãn phương tr nh hà tồn phương ví chương I) 76 Ta f  x  T  x  f  x  lim t n  lim n  i s T: n 9n  f  x   16 , x  kh ng u nh t hi đ t n t i cho g  x  f  x   g: f  3n x f  3n x  t hà khác , x  g  x  T  x   g  x   f  x   f  x   T  x  Ta c  V hà      , x  16 16 toàn phương hà nh t h u t n2 g  x n2T  x  g  x  T  x  n2 n2   V v 16 g  nx  T  nx n2  8n2 g  x  T  x , x  minh) Víă ụă2.3 u f:  c hai nên ta c tho   n o đ ãn q u nh t điều ph i ch ng  t phương tr nh hà f  3x  y  f  3x  y  f  x  y  f  x  y   16 f  x   x  y v i t hà ương đ Q:  p p  (2.109) p ương p  , th ch ng t r ng t n t i u nh t tho ãn Q  3x  y  Q  3x  y  Q  x  y  Q  x  y  16Q  x , x  (2.110) 77 f  x  Q  x   93 x , x  p p f  3n x đ  p  th Q  x  lim n 9n (2.111) p  th  x Q  x  lim9n f  n  n 3  Trường h p :  p  Thay y  (2.109 chia c hai v cho ta c V v f  3n x 9n f  x  p  f  x  x 18  f  3k 1 x f  3k x    f  x     9k 1 9k  k 0    n 1 k f  3.3 x  k  f  3k x k 0 n 1   k p x k 18 k 0 n 1  V i  x p 18 3   k 0 ọi số ngu ên ương m, n f  3mn x 9mn  f  3n x 9n p 2 k   x 29  3p  t p m n f  3 x  n  f  3n x m 9   18.9n  m1 3k.3n x k 0 9k p 78  x (3 p )k n   0  n 18 k 0 9kn  f  3n x    ã Cauch nên c gi i h n n   V hà  p cho Q  x  lim  Q: n f  3n x 9n Ta ác đ nh , x  t Q  3x  y  Q  3x  y  Q  x  y  Q  x  y  16Q  x f  3n  3x  y   f  3n  3x  y  n n  lim  f  3n  x  y   f  3n  x  y   f  3n  x   lim n V tho p 9n p   Q  3x  y  Q  3x  y  Q  x  y  Q  x  y  16Q  x o đ ãn phương tr nh hà Ta c n  Ta c  f  3n x toàn phương ví f  x  Q  x  lim i s Q: g:   3n x  3n y  f  x   9  p kh ng u nh t hi đ t n t i cho g  x  f  x   29  3p   p x t hà x , x  p g  x  Q  x   g  x   f  x   f  x   Q  x   V hà n chương toàn phương hà  93 x , x  p p nh t h u t c hai nên ta c khác Q 79 n2 g  x n 2Q  x g  x  Q  x   n2 n2 g  nx  Q  nx n2   V v  x   p  n 2 p g  x  Q  x , x  ođ Trường h p : hi p  , thay x (1.109) ta c p   n Q u nh t x , y  chia c hai v cho i  x  x f  x  f    p , x  3 p V v  x f  x  9n f  n   3    n 1 k 0   x  x  f  k   9k 1 f  k 1   3    k  x  x    9k f  k   f  k  3   3.3  k 0 n 1 x  9 p 2.3 3k k 0 n 1   V i  x k p 2.3 p  x p 2.3 p   3  n 1 k 0 2 p k  3   k 0 ọi số ngu ên ương m, n ta  x  9mn f  mn   9n 3  p 2 p k t   x 3p  9  x  x  f  n   9n 9m f  mn   3  3  p  x f n 3  80  V hà  n 9  Q:  Ch ng s:  Ta c 2.3 p   k 0 9k  n 3   0 n p kn  x cho Q  x  lim9n f  n  , x  n 3  Q:  kh ng u nh t  cho s  x  f  x  3  9 p Ta ác đ nh  x Q  x  lim9n f  n  tho n 3  inh tương tự ta th hi đ ãn t n t i t hà khác x , x  p g  x  Q  x   g  x   f  x   f  x   Q  x   V hà p  x  f  n   ã Cauch nên c gi i h n   (2.111) i s  x toàn phương hà  3p  x , x  p nh t h u t n s  x n 2Q  x s  x  Q  x   n2 n2 c hai nên ta t  x  x  n2 s    Q   n n  V v minh)  x n2 p s  x  Q  x , x  3p  9 p ođ   n Q u nh t điều ph i ch ng 81 K TăLU N i hư ng n c a TS Cao V n đ ng ti n đ đ t đư c u i t i hoàn thành u n v n c đích đề u n v n ” thu đư c k t qu sau: ệ thống i đ nh nghĩa đ nh Ủ quan trọng iên quan đ n hà song c ng tính hà tồn phương phương tr nh hà đ nh c a phương tr nh hà toàn phương toàn phương, tính n t số phương tr nh hà iên quan Tr nh t số ài t p iên quan đ n phương tr nh hà ng tồn phương tính n đ nh V i ph vi c a đề tài thời gian c h n u n v n kh ng tránh kh i nh ng thi u s t Tác gi kính n đọc quan t ong nh n đư c g p Ủ c a quỦ thầ c đ đề tài đư c hoàn thiện TĨIăLI UăT [1] Nguyễn V n M u, ] V n Ph Quốc, B MăK O m, NXB Giáo D c, 1997 D ỡng H c Sinh Giỏi Mơn Tốn Đ i học quốc gia Hà N i, 2014 [3] Ick-Soon Chang and Hark – Mahn Kim, On the Hyers – Ulam stability of quadratic functional equations, 2002 [4] Themistocles M Rassias, Janusz Brzdek, Functional Equations inMathematical Analysis, 2010 [5] Prasanna K Sahoo, Palaniappan Kannappan, Introduction To Functional Equations, 2011 [6] Department of Mathematics, Sardar Patel University, Stability of Quadratic Functional Equations in 2-Banach Space, 2013 [7] Costas Efthimiou, Introduction To Functional Equations, 2011 ... hà toàn phương - Ph m vi nghiên c u: phương tr nh hà toàn phương tính n đ nh c a phương tr nh hà 4.ăP ă toàn phương ă iê ă ứu Phương pháp nghiên c u: thu th p, phân tích, nghiên c u sách vi t phương. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ HẠNH ĐOAN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH Chun ngành: Phương Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN... Mọi nghiệ c a phương tr nh tồn phương Trong chương nà ch ng ta s tr nh đ n tính n đ nh c a phương tr nh hà phương tr nh hà toàn phương 2.1 T N ă NăĐ N ăC Đ q:  ă ă2.1 ăP toàn phương t số k