BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TOÀN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TOÀN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TỒN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Những kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án Những kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố công trình khoa học Nghiên cfíu sinh Nguyễn Dương Tồn LỜI CẢM Luận án thực Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn dắt tác giả vào h ướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đ ến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế thầy giáo, giáo Bộ mơn Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi đ ộng viên tác gi ả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Hải Phịng, Khoa Tốn, nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị NCS chuyên ngành Phương trình vi phân tích phân Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bạn bè lời cảm ơn chân thành tất giúp đỡ, động viên mà tác giả nhận suốt thời gian qua Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln bên chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Mục Lời cam đoan Lời cảm ơn .2 Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án .6 MỞ ĐẦU .7 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU .13 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 14 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 15 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 16 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 18 1.1 TẬP HÚT ĐỀU 18 1.2 TẬP HÚT LÙI 20 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG .22 1.3.1 Các không gian hàm 22 1.3.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 24 1.3.3 Một số bổ đề định lí quan trọng 26 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 28 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 28 Mục 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 30 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU 36 ( ) N N 2.3.1 Sự tồn tập H (R ), L (R ) -hút .40 2.3.2 Sự tồn tập (H (RN 2N ), L N −2 RN ))-hút 44 ( 2.3.3 Sự tồn tập (H1(RN ), H1(RN ))-hút 45 2.4 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 48 2.5 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU KHI NGOẠI LỰC DAO ĐỘNG 52 2.5.1 Đặt vấn đề 52 2.5.2 Tính bị chặn tập hút 53 2.5.3 Sự hội tụ tập hút 56 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU ĐA THỨC 61 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 61 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 63 3.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU 68 ( ) 3.3.1 Sự tồn tập H1(RN ) ∩ Lp(RN ), L2(RN ) -hút 70 ( ) 3.3.2 Sự tồn tập H1(RN ) ∩ Lp(RN ), Lp(RN ) -hút 74 3.3.3 Sự tồn tập (H1(RN )∩Lp(RN ), H1(RN )∩Lp(RN ))hút .78 3.4 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 81 Mục Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG TRỤ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 85 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 85 4.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM BIẾN PHÂN 87 4.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP D-HÚT LÙI 99 KẾT LUẬN .104 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 104 ĐỀ XUẤT MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN R tập hợp số thực RN không gian vectơ Euclide N-chiều Ωr tập mở bị chặn RN với r ∈ R (·, ·), ∥ · ∥ tích vơ hướng chuẩn khơng gian L2(RN ) Hr kí hiệu khơng gian L2(Ωr) có tích vô hướng (., )r chuẩn |.|r, ứng với r ∈ R Vr kí hiệu khơng gian H1(Ωr) có tích vơ hướng ((., )) chuẩn ∥.∥r, ứng với r ∈ R đối ngẫu Hr H r ∗ ∥ · ∥Lp(RN ) chuẩn không gian Lp(RN ), với ≤ p ≤ ∞ ∥ · ∥H1 (RN ) chuẩn không gian H1(RN ) ⟨·, ·⟩ đối ngẫu X X ′ Id ánh xạ đồng ⇀ hội tụ yếu Y X bao đóng Y X B(X) họ tập bị chặn X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B Pm phép chiếu lên không gian sinh m vectơ riêng tốn tử A MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần đầu vào kỷ XVIII phát triển mạnh mẽ từ kỷ XIX Nó coi cầu nối tốn học ứng dụng Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng mơ hình tốn tốn thực tế Đặc biệt lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, lớp phương trình xuất nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt, trình khuếch tán, q trình truyền sóng c học chất lỏng, mơ hình quần thể sinh học Vì vậy, nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Vấn đề đặt nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xét tính đặt toán (bởi V.P Maslov nhấn mạnh rằng, phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn chắn có nghiệm, v ấn đ ề l ớp nghi ệm mà thơi), sau vấn đề quan trọng đặt nghiên c ứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô Đây m ột vi ệc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mơ tả trạng thái mơ hình thực tế Do đó, biết dáng điệu nghiệm, ta dự đốn xu phát triển hệ tương lai từ đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng đ ược nghiên cứu nhiều năm gần lớp phương trình khuếch tán