Phương trình khuếch tán không cổ điển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TOÀN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TỒN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Những kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án Những kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khoa học Nghiên cứu sinh Nguyễn Dương Toàn LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế thầy giáo, giáo Bộ mơn Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Hải Phịng, Khoa Tốn, nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị NCS chuyên ngành Phương trình vi phân tích phân Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bạn bè lời cảm ơn chân thành tất giúp đỡ, động viên mà tác giả nhận suốt thời gian qua Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln bên chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 13 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 14 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 15 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 16 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 18 1.1 TẬP HÚT ĐỀU 18 1.2 TẬP HÚT LÙI 20 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 22 1.3.1 Các không gian hàm 22 1.3.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 24 1.3.3 Một số bổ đề định lí quan trọng 26 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 28 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 28 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 30 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU ( ) 2.3.1 Sự tồn tập H (RN ), L2 (RN ) -hút 36 2N 40 2.3.2 Sự tồn tập (H (RN ), L N −2 (RN ))-hút 44 2.3.3 Sự tồn tập (H (RN ), H (RN ))-hút 45 2.4 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 48 2.5 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU KHI NGOẠI LỰC DAO ĐỘNG 52 2.5.1 Đặt vấn đề 52 2.5.2 Tính bị chặn tập hút 53 2.5.3 Sự hội tụ tập hút 56 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU ĐA THỨC 61 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 61 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 63 3.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU ( ) 3.3.1 Sự tồn tập H (RN ) ∩ Lp (RN ), L2 (RN ) -hút ( ) 3.3.2 Sự tồn tập H (RN ) ∩ Lp (RN ), Lp (RN ) -hút 68 70 74 3.3.3 Sự tồn tập (H (RN )∩Lp (RN ), H (RN )∩Lp (RN ))hút 78 3.4 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 81 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG TRỤ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 85 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 85 4.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM BIẾN PHÂN 87 4.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP D-HÚT LÙI 99 KẾT LUẬN 104 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 104 ĐỀ XUẤT MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN R tập hợp số thực RN không gian vectơ Euclide N-chiều Ωr tập mở bị chặn RN với r ∈ R (·, ·), ∥ · ∥ tích vô hướng chuẩn không gian L2 (RN ) Hr kí hiệu khơng gian L2 (Ωr ) có tích vơ hướng (., )r chuẩn |.|r , ứng với r ∈ R Vr kí hiệu khơng gian H01 (Ωr ) có tích vơ hướng ((., )) chuẩn ∥.∥r , ứng với r ∈ R Hr∗ đối ngẫu Hr ∥ · ∥Lp (RN ) chuẩn không gian Lp (RN ), với ≤ p ≤ ∞ ∥ · ∥H (RN ) chuẩn không gian H (RN ) ⟨·, ·⟩ đối ngẫu X X ′ Id ánh xạ đồng ⇀ hội tụ yếu Y X bao đóng Y X B(X) họ tập bị chặn X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B Pm phép chiếu lên không gian sinh m vectơ riêng toán tử A Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần đầu vào kỷ XVIII phát triển mạnh mẽ từ kỷ XIX Nó coi cầu nối toán học ứng dụng Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng mơ hình tốn toán thực tế Đặc biệt lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, lớp phương trình xuất nhiều trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn q trình truyền nhiệt, q trình khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, mơ hình quần thể sinh học Vì vậy, nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Vấn đề đặt nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xét tính đặt toán (bởi V.P Maslov nhấn mạnh rằng, phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn chắn có nghiệm, vấn đề lớp nghiệm mà thôi), sau vấn đề quan trọng đặt nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vơ Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái mô hình thực tế Do đó, biết dáng điệu nghiệm, ta dự đốn xu phát triển hệ tương lai từ đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng nghiên cứu nhiều năm gần lớp phương trình khuếch tán Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an khơng cổ điển có dạng: ut − ε∆ut − ∆u + f (u) = g, với ε ∈ (0, 1], (1) f hàm phi tuyến g hàm ngoại lực Chú ý ε = 0, phương trình khuếch tán khơng cổ điển trở thành phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển quen thuộc Lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển giới thiệu [1] E.C Aifantis phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển khơng mơ tả hết khía cạnh tốn phản ứng-khuếch tán Nó bỏ qua tính nhớt, đàn hồi, áp suất mơi trường q trình khuếch tán chất rắn Hơn nữa, E.C Aifantis rằng, lượng từ phương trình phát trình khuếch tán chất rắn mơi trường khác có tính chất khác Ví dụ, lượng phát từ phương trình mơi trường truyền dẫn có áp suất có độ nhớt hay khơng có độ nhớt khác Do đó, ơng xây dựng mơ hình tốn học qua số ví dụ cụ thể, có chứa tính dẻo, đàn hồi, với áp lực trung bình đưa lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển Lớp phương trình thường sử dụng để mô tả tượng vật lí dịng chảy khơng Newton, tượng học chất lỏng, học chất rắn tỏa nhiệt (xem [1, 22, 23, 29, 38, 39]) Gần đây, E.C Aifantis đưa thêm mơ hình toán này, xin xem [2] Từ đời nay, tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển có dạng (1) nghiên cứu nhiều trường hợp khác (xin xem chi tiết phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu đây) Tuy nhiên, kết trường hợp miền không bị chặn miền không trụ, với ngoại lực phụ thuộc thời gian, cịn tính phức tạp vấn đề khó khăn lớn xuất nghiên cứu Chúng chọn vấn đề làm đề tài luận án tiến sĩ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn ( 2) ∫ 2x |x| 2|x| C ′ |u||∇u|dx ≤ (∥u∥2 + ∥∇u∥2 ), u∇udx ≤ C √ N k2 θ 2 k k R |x|≤ 2k k (3.41) tương tự, ∫ ( 2) C 2x |x| ′ ε ≤ (∥u∥2 + ε2 ∥∇ut ∥2 )dx u∇u dx (3.42) θ t 2 k k RN k Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta