Tính ổn định nghiệm của một lớp phương trình khuếch tán dị thường chứa trễ

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐÀO QUỲNH GIAO TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CHỨA TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thanh Hóa, 2019 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐÀO QUỲNH GIAO TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CHỨA TRỄ Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số : 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đình Kế Thanh Hóa, 2019 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thanh Hóa, tháng 11 năm 2019 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy PGS.TS Trần Đình Kế, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội I Thầy hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo giúp tơi hồn thành luận văn Qua tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giảng dạy tơi cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để tơi hồn thiện luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, quan nơi tơi cơng tác động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến góp ý nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 11 năm 2019 Tác giả iii Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Họ giải thức toán 1.2 Bất đẳng thức Gronwall Halanay 4 11 TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN 2.1 Tính giải tính tiêu hao 2.2 Tính ổn định tiệm cận 2.3 Tính ổn định tiệm cận yếu 2.4 Một trường hợp riêng 15 15 19 21 25 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cho Ω ⊂ Rd miền bị chặn với ∂Ω trơn Xét toán ∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω, (0.1) với điều kiện ban đầu u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω, (0.2) ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , điều kiện biên u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω (0.3) Trong phương trình (0.1), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, f : R+ × R2 → R hàm cho trước Ở uρ (t, x) = u(t − ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) cho −h ≤ t − ρ(t)R ≤ t, ‘∗ ’ ký hiệu tích chập Laplace theo t, tuức là, t (k ∗ v)(t, x) = k(t − s)v(s, x)ds với v ∈ C(R+ ; L2 (Ω)) Thành phần phương trình (0.1) thể đạo hàm có nhớ phương trình thuộc lớp phương trình đạo hàm riêng không địa phương, sử dụng để mô tả trình khuếch tán dị thường (xem [16]) Để nghiên cứu phương trình (0.1), ta sử dụng giả thiết sau đây: (K) Hàm k ∈ L1loc (R+ ) không âm không tăng, tồn hàm l ∈ L1loc (R+ ) cho k ∗ l = (0, ∞) Cặp (k, l) gọi cặp nhân Sonine (xem [12]) Ký hiệu gα (t) = t /Γ(α), với α > t > Sau ví dụ cặp (k, l): α−1 • k(t) = g1−α (t) and l(t) = gα (t), α ∈ (0, 1) Phương trình (0.1) phương trình đạo hàm riêng phân thứ, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ba thập kỷ gần Nó sử dụng để mơ tả q trình khuếch tán chậm Z Z ∞ −pt e • k(t) = gβ (t)dβ l(t) = dp, t > Phương trình (0.1) 0 1+p phương trình vi đạo hàm riêng bậc phân phối, sử dụng để mơ tả q trình khuếch tán siêu chậm Ta biết k hàm hoàn toàn đơn điệu, tức k ∈ C ∞ (0, ∞) cho (−1)n k (n) (t) ≥ với t ∈ (0, ∞), tồn hàm l ∈ L1loc (R+ ) thỏa mãn k ∗ l = (0, ∞) (xem [3, Theorem 5.4, p.159]) Ví dụ m P k(t) = µi g1−αi (t) với αi ∈ (0, 1) µi > Hàm hồn tồn đơn i=1 điệu vàphương trình (0.1) phương trình đạo hàm riêng phân thứ đa thành phần ∞ P Mặt khác, k(t) = tα−1 a(t) với α ∈ (0, 1), a(t) = an tn , a0 6= 0, có hàm b(t) = ∞ P n=0 bn tn cho k l xác định l(t) = t−α b(t) cặp n=0 nhân Sonine (xem [12]) Hàm k(t) = gβ (t)Eα,β (−ωtα ) với < α < β < 1, ω > 0, thuộc lớp Với nhân này, ta có lớp phương trình phân thứ có trọng (xem [2]) Xét phương trình (0.1) trường hợp tuyến tính, tức f khơng phụ thuộc u, dáng điệu nghiệm nghiên cứu cơng trình [5, 4, 16] Trường hợp f phi tuyến khơng chứa trễ, tính ổn định nghiệm khảo sát cơng trình [17] Trong cơng trình gần [15], tác giả thiết lập kết tính quy tính ổn định nghiệm (0.1) trường hợp f = f (u) cách nghiên cứu mơ hình trừu tượng không gian Hilbert Chú ý xuất trễ phương trình (0.1) đặc tính tự nhiên theo nghĩa, ngoại lực f khơng phụ thuộc vào trạng thái mà phụ thuộc vào trạng thái lịch sử hệ Sự xuất trễ gây nhiều khó khăn việc phân tích tính ổn định hệ Mục tiêu chúng tơi trình bày cách chi tiết kết sau dựa vào cơng trình [14]: • Tính tiêu hao hệ, tức tồn tập hấp thụ cho tất nghiệm; • Tính ổn định tiệm cận nghiệm; • Tính ổn định tiệm cận yếu (xem Định nghĩa 2.3.1) nghiệm tầm thường Để thiết lập điều kiện ổn định, sử dụng bất đẳng thức kiểu Halanay, dạng tổng quát bất đẳng thức Halanay cho phương trình vi phân phân thứ [1] Để chứng minh tính ổn định yếu, chúng tơi sử dụng kỹ thuật trình bày [9, 13], lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén khai thác Quan tâm đến lớp toán này, chúng tơi chọn đề tài: Tính ổn định nghiệm lớp phương trình khuếch tán dị thường chứa trễ Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu điều kiện đảm bảo tính giải tính ổn định nghiệm phương trình (1) Tìm hiểu lý thuyết ổn định Lyapunov; Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động; Nghiên cứu điều kiện giải ổn định phương trình (1) Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số công cụ giải tích hàm lý thuyết phương trình vi phân: • Lý thuyết điểm bất động; • Lý thuyết ổn định Lyapunov; • Giải tích khơng gian Hilbert Kết đạt Trình bày chi tiết số kết tính giải tính ổn định tiệm cận nghiệm phương trình (1), dựa vào cơng trình [1] Nội dung nghiên cứu Luận văn dự kiến gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị (a) Họ giải thức tồn Cauchy (b) Nghiệm tích phân tốn Cauchy (c) Bất đẳng thức Halanay Chương 2: Tính giải ổn định tiệp cận (a) Tính giải tồn cục (b) Tính ổn định nghiệm (c) Một trường hợp riêng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Họ giải thức toán Xét phương trình tích phân (vơ hướng) s(t) + µ(l ∗ s)(t) = 1, t ≥ 0, r(t) + µ(l ∗ r)(t) = l(t), t > (1.1) (1.2) Sự tồn nghiệm s r trình bày báo [11] Ta nói l hàm hoàn toàn dương nghiệm s(·) r(·) phương trình tích phân nói nhận giá trị khơng âm với tham số µ > Tính chất l tương đương với điều kiện (xem [10]): tồn α ≥ hàm k ∈ L1loc (R+ ) không âm không tăng cho αl + l ∗ k = Như giả thiết (K) đảm bảo l hàm hoàn toàn dương Chú ý l(t) = gα (t), α ∈ (0, 1), ta có s(t) = Eα,1 (−µtα ) r(t) = tα−1 Eα,α (−µtα ), Eα,β (z) = ∞ X n=0 zn , z ∈ C, Γ(αn + β) hàm Mittag-Leffler Có thể kiểm trường hợp nhờ phép biến đổi Laplace Ký hiệu s(·, µ) r(·, µ), tương ứng, nghiệm phương trình (1.1) (1.2), để nhấn mạnh phụ thuộc nghiệm vào tham số µ Như đề cập cơng trình [17], hàm s(·, µ) r(·, µ) nhận giá trị khơng âm trường hợp µ ≤ Một số tính chất hàm trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.1 Giả sử (K) thỏa mãn Khi với µ > 0, s(·, µ), r(·, µ) ∈ L1loc (R+ ) Hơn ta có Hàm s(·, µ) khơng âm, khơng tăng  Z t  l(τ )dτ ≤ 1, ∀t ≥ 0, s(t, µ) + µ (1.3) l 6∈ L1 (R+ ) lim s(t, µ) = với µ > t→∞ Hàm r(·, µ) không âm Z t s(t, µ) = − µ r(τ, µ)dτ = k ∗ r(·, µ)(t), t ≥ 0, (1.4) Z t −1 + r(τ, µ)dτ ≤ µ , ∀t > Nếu l 6∈ L (R ) Z ∞ r(τ, µ)dτ = µ−1 với µ > Với t > 0, hàm µ 7→ s(t, µ) µ 7→ r(t, µ) không tăng Phương trình (1.1) tương đương với d [k ∗ (s − 1)] + µs = 0, s(0) = dt Z Cho v(t) = s(t, µ)v0 + t r(t − τ, µ)g(τ )dτ , với g ∈ L1loc (R+ ) Khi v nghiệm tốn d [k ∗ (v − v0 )](t) + µv(t) = g(t), v(0) = v0 dt Chứng minh Khẳng định (1) (4) chứng minh [16] Chứng minh khẳng định (2) trình bày [17], (3) chứng minh [4] Ta chứng minh khẳng định (5) Theo cách thiết lập v , ta có v − v0 = (s − 1)v0 + r ∗ g Sử dụng đẳng thức k ∗ r = s, ta nhận k ∗ (v − v0 ) = k ∗ (s − 1)v0 + k ∗ r ∗ g = k ∗ (s − 1)v0 + s ∗ g Do d d [k ∗ (v − v0 )] = [k ∗ (s − 1)]v0 + s(0, µ)g + s0 (·, µ) ∗ g dt dt = −µs(·, µ)v0 + g − µr(·, µ) ∗ g = −µ[s(·, µ)v0 + r(·, µ) ∗ g] + g = −µv + g, nhờ có tính chất s(0, µ) = s0 (t, µ) = −µr(t, µ), t > 15 Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN 2.1 Tính giải tính tiêu hao Với u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ta ký hiệu u[ϕ] hàm xác định ( u(t) t > 0, u[ϕ](t) = ϕ(t) − h ≤ t ≤ Đặt Cϕ = {u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) : u(0) = ϕ(0)}, Z Φ(u)(t) = S(t)ϕ(0) + t R(t − τ )f (τ, u(τ ), u[ϕ](τ − ρ(τ )))dτ, u ∈ Cϕ , t ≥ 0 Khi u điểm bất động Φ u[ϕ] nghiệm nhẹ toán (0.1)-(0.3) Ta gọi Φ toán tử nghiệm Sau ta sử dụng ký hiệu k · k∞ để chuẩn sup C(J; L2 (Ω)), với J ⊂ R đoạn Định lí 2.1.1 Giả sử (K*) thỏa mãn, f hàm liên tục có tính chất tăng trưởng tuyến tính kf (t, v, w)k ≤ βkvk + κkwk + Ψ(kvk + kwk), ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (2.1) β ≥ 0, κ > 0, Ψ ∈ C(R+ ; R) cho Ψ(r) = o(r) r → Nếu β + κ < λγ1 , tồn số dương δ cho tốn (0.1)-(0.3) có nghiệm nhẹ, kϕk∞ < δ Hơn nữa, f thỏa mãn tính chất Lipschitz cục bộ, tức là, với r > 0, tồn L(r) > cho kf (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )k ≤ L(r)(kv1 − v2 k + kw1 − w2 k), (2.2) với t ≥ 0, kvi k ≤ r, kwi k ≤ r, i ∈ {1, 2}, nghiệm tốn 16 Chứng minh Dễ thấy Φ ánh xạ liên tục từ Cϕ vào Ta Φ có điểm bất động Cϕ cách sử dụng định lý điểm bất động Schauder Trước tiên ta tìm số η > cho hình cầu Bη , (tâm gốc, bán kính η ) bất biến Φ, kϕk∞ đủ nhỏ Sử dụng giả thiết f , ta thấy với < θ < 12 (λγ1 − β − κ), tồn η > cho kf (t, v, w)k ≤ (β + θ)kvk + (κ + θ)kwk, với kvk ≤ η, kwk ≤ 2η Giả sử kuk∞ ≤ η kϕk∞ ≤ η , ku[ϕ]k∞ ≤ 2η Từ ta có kΦ(u)(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k t Z r(t − τ, λγ1 )[(β + θ)ku(τ )k + (κ + θ)ku[ϕ](τ − ρ(τ ))k]dτ + ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k Z + t r(t − τ, λγ1 )[(β + θ)ku(τ )k + (κ + θ)(kϕk∞ + sup ku(ξ)k)]dτ [0,τ ] ≤ s(t, λγ1 )kϕk∞ Z t r(t − τ, λγ1 )[(β + κ + 2θ)η + (κ + θ)kϕk∞ ]dτ + Sử dụng Mệnh đề 1.1.1(2), ta nhận γ kΦ(u)(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕk∞ + (κ + θ)kϕk∞ λ−γ (1 − s(t, λ1 )) γ + (β + κ + 2θ)ηλ−γ (1 − s(t, λ1 ))  −γ  = s(t, λγ1 ) kϕk∞ − (κ + θ)λ−γ kϕk∞ − (β + κ + 2θ)λ1 η −γ + (κ + θ)kϕk∞ λ−γ + (β + κ + 2θ)λ1 η Lấy kϕk∞ < δ1 := (λγ1 − κ − θ)−1 (β + κ + 2θ)η , ta −γ kΦ(u)(t)k ≤ (κ + θ)kϕk∞ λ−γ + (β + κ + 2θ)λ1 η Vậy kΦ(u)(t)k ≤ η kϕk∞ ≤ δ2 := (κ + θ)−1 (λγ1 − β − κ − 2θ)η Từ Φ(Bη ) ⊂ Bη kϕk∞ < δ := min{δ1 , δ2 } Nhắc lại ánh xạ Qt : C([0, T ]; L2 (Ω)) → L2 (Ω) xác định Qt (g) = (R ∗ g)(t) compact với t ≥ 0, ta có tập Φ(Bη )(t) = S(t)ϕ(0) + Qt (Nf (Bη )), compact tương đối L2 (Ω), Nf (Bη ) = {f (·, y(·), y(· − ρ(·))) : y ∈ Bη }, tập bị chặn Ký hiệu D0 = Bη , Dn = co Φ(Dn−1 ) với n ≥ 1, ký hiệu co bao lồi đóng tập Cϕ Bằng quy nạp, ta có Dn ⊂ Dn−1 , Φ(Dn ) ⊂ Dn , 17 ∀n ≥ Đặt D = ∞ T Dn , ta có D tập lồi đóng Cϕ có tính chất n=1 Φ(D) ⊂ D Do D ⊂ co Φ(Bη ), ta có D(τ ) tập compact với τ ≥ Vậy Nf (D)(τ ) tập compact, tính liên tục f Do R(·) liên tục (0, ∞) theo Bổ đề 1.1.5, nên kiểm tra  t Z Y = t 7→  R(t − τ )y(τ )dτ : y ∈ Nf (D) tập đồng liên tục C([0, T ]; L2 (Ω)) Vậy Φ(D) = S(·)ϕ(0) + Y tập đồng liên tục Kết hợp với khẳng định Φ(D)(τ ) (một tập D(τ )) compact tương τ ∈ [0, T ], ta nhận Φ(D) tập compact tương đối, nhờ định lý Arzelà-Ascoli Ký hiệu D∗ = co Φ(D), D∗ tập lồi compact Hơn nữa, D∗ ⊂ D nên Φ(D∗ ) ⊂ Φ(D) ⊂ D∗ Áp dụng định lý Schauder cho Φ : D∗ → D∗ , ta có kết luận tính giải tốn Cuối cùng, giả sử f có tính chất Lipschitz (2.2) Với ui , i ∈ {1, 2}, nghiệm (0.1)-(0.3), ta có Z t R(t − τ )f (τ, ui (τ ), ui [ϕ](τ − ρ(τ )))dτ ui (t) = S(t)ϕ(0) + Đặt r = max{kui [ϕ]k∞ : i = 1, 2}, Z t r(t − τ, λγ1 )L(r)(ku1 (τ ) − u2 (τ )k + sup ku1 (ξ) − u2 (ξ)k)dτ ku1 (t) − u2 (t)k ≤ [0,τ ] ≤ 2L(r) Z t r(t − τ, λγ1 ) sup ku1 (ξ) − u2 (ξ)kdτ [0,τ ] đây, ta sử dụng tính chất u1 (ξ) = u2 (ξ) với ξ ∈ [−h, 0] Biểu thức cuối tăng theo t nên ta có Z t r(t − τ, λγ1 ) sup ku1 (ξ) − u2 (ξ)kdτ sup ku1 (ξ) − u2 (ξ)k ≤ 2L(r) [0,t] [0,τ ] Sử dụng bất đẳng thức Gronwall Mệnh đề 1.2.1, ta khẳng định u1 = u2 Định lý chứng minh Trong định lý sau, ta thu kết tồn nghiệm toàn cục không cần giả thiết kiện ban đầu nhỏ Định lí 2.1.2 Giả sử ta có (K*) Cho f hàm liên tục có mức tăng trưởng tuyến tính, tức kf (t, v, w)k ≤ α(t) + βkvk + κkwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (2.3) α ∈ L1loc (R+ ) hàm không âm, β κ số khơng âm Khi tốn (0.1)-(0.3) có nghiệm nhẹ toàn cục 18 Chứng minh Ta tìm tập lồi đóng D ⊂ Cϕ cho Φ(D) ⊂ D Phần sau chứng minh thực Định lý 2.1.1 Theo cách xác định Φ, ta có kΦ(u)(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k t Z r(t − τ, λγ1 ) (α(τ ) + βku(τ )k + κku[ϕ](τ − ρ(τ ))k) dτ + ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k Z t r(t − τ, λγ1 )α(τ )dτ + ! t Z r(t − τ, λγ1 ) βku(τ )k + κkϕk∞ + κ sup ku(ξ)k dτ, t ∈ [0, T ] + [0,τ ] Theo Mệnh đề 1.1.1(2), ta nhận γ kΦ(u)(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k + (r(·, λγ1 ) ∗ α)(t) + κλ−γ kϕk∞ (1 − s(t, λ1 )) t Z r(t − τ, λγ1 )(β + κ) sup ku(ξ)kdτ + [0,τ ] ≤ (1 + κλ−γ )kϕk∞ + sup(r(·, λγ1 ) ∗ α)(t) [0,T ] Z + t r(t − τ, λγ1 )(β + κ) sup ku(ξ)kdτ, t ∈ [0, T ] [0,τ ] γ Đặt M0 = (1 + κλ−γ )kϕk∞ + sup(r(·, λ1 ) ∗ α)(t) Do hàm τ 7→ sup ku(ξ)k [0,T ] [0,τ ] không giảm, nên tích phân cuối khơng giảm theo t, ý r(·, λγ1 ) hàm dương Vậy Z t r(t − τ, λγ1 )(β + κ) sup ku(ξ)kdτ (2.4) sup kΦ(u)(ξ)k ≤ M0 + [0,t] [0,τ ] Ký hiệu w ∈ C([0, T ]; R+ ) nghiệm phương trình tích phân Z t r(t − τ, λγ1 )w(τ )dτ, t ∈ [0, T ] w(t) = M0 + (β + κ) Ta định nghĩa D = {u ∈ Cϕ : sup ku(ξ)k ≤ w(t), ∀t ∈ [0, T ]} [0,t] Rõ ràng, D tập lồi đóng Khi bất đẳng thức (2.4) cho ta Φ(D) ⊂ D Định lý chứng minh Định lý sau phát biểu kết tính tiêu hao hệ (0.1)-(0.3) 19 Định lí 2.1.3 Giả sử f liên tục thỏa mãn điều kiện kf (t, v, w)k ≤ α(t) + βkvk + κkwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (2.5) β κ số khơng âm cho β +κ < λγ1 , α ∈ L1loc (R+ ) hàm không âm, không tăng cho r(·, λγ1 − β) ∗ α ∈ BC(R+ ) Nếu l 6∈ L1 (R+ ) lim (t − ρ(t)) = ∞, hệ (0.1)-(0.3) tiêu hao tập hấp thụ hình cầu t→∞ Bσ σ với bán kính λγ1 − β sup(r(·, λγ1 − β) ∗ α)(t) σ> γ λ1 − β − κ R+ Chứng minh Giả sử u nghiệm nhẹ toán (0.1)-(0.3) Khi Z t R(t − τ )f (τ, u(τ ), u(τ − ρ(τ )))dτ, t ≥ u(t) = S(t)ϕ(0) + Ta có đánh giá ku(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k Z t + ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k + Z0 t r(t − τ, λγ1 )[α(τ ) + βku(τ )k + κku(τ − ρ(τ ))k]dτ r(t − τ, λγ1 )[α(τ ) + βku(τ )k + κ sup ku(ξ)k]dτ [τ −ρ(τ ),τ ] Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 với v(t) = ku(t)k, t ≥ −h, ta có kết luận định lý 2.2 Tính ổn định tiệm cận Trong mục này, ta phân tích điều kiện đảm bảo tính ổn định ổn định yếu nghiệm toán (0.1)-(0.3) Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản Định lí 2.2.1 Giả sử hàm phi tuyến f thỏa mãn điều kiện Lipschitz kf (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )k ≤ βkv1 − v2 k + κkw1 − w2 k, với t ≥ 0, vi , wi ∈ L2 (Ω), i ∈ {1, 2}, β ≥ 0, κ > cho β + κ < λγ1 Nếu l 6∈ L1 (R+ ) lim (t − ρ(t)) = ∞, nghiệm t→∞ toán (0.1)-(0.3) ổn định tiệm cận 20 Chứng minh Giả sử u(·, ϕ) v(·, ψ) nghiệm toán (0.1)-(0.3) tương ứng với kiện ban đầu ϕ ψ Khi ku(t) − v(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0) − ψ(0)k Z t r(t − τ, λγ1 )kf (τ, u(τ ), u(τ − ρ(τ ))) − f (τ, v(τ ), v(τ − ρ(τ )))kdτ + ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0) − ψ(0)k Z t r(t − τ, λγ1 )[βku(τ ) − v(τ )k + κku(τ − ρ(τ )) − v(τ − ρ(τ ))k]dτ + ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0) − ψ(0)k Z + t r(t − τ, λγ1 )[βku(τ ) − v(τ )k + κ sup ku(ξ) − v(ξ)k]dτ [τ −ρ(τ ),τ ] Sử dụng Mệnh đề 1.2.2, ta nhận λγ1 − β ku(t) − v(t)k ≤ γ kϕ(0) − ψ(0)k + sup kϕ(ξ) − ψ(ξ)k λ1 − β − κ [−h,0]   γ λ1 − β + kϕ − ψk∞ , ∀t ≥ 0, ≤ λγ1 − β − κ lim ku(t) − v(t)k = Điều suy tính ổn định tiệm cận t→∞ nghiệm toán (0.1)-(0.3) Định lý chứng minh Định lý sau cho ta tính ổn định tiệm cận nghiệm (0.1)-(0.3) trường hợp f thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.1 Định lí 2.2.2 Giả sử giả thiết Định lý 2.1.1 thỏa mãn Nếu l 6∈ L1 (R+ ) lim (t − ρ(t)) = ∞, nghiệm khơng (0.1) ổn định tiệm t→∞ cận Chứng minh Lấy số θ ∈ (0, 12 (λγ1 − β − κ)), η δ chứng minh Định lý 2.1.1 Dưới giả thiết (2.1)-(2.2), với kϕk∞ < δ , tồn nghiệm u ∈ Bη (0.1)-(0.3) thỏa mãn đánh giá ku(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k Z + t r(t, λγ1 )[(β + θ)ku(τ )k + (κ + θ) sup ku(ξ)k]dτ, [τ −ρ(τ ),τ ] với t ≥ Áp dụng Mệnh đề 1.2.2, ta λγ1 − β − θ ku(t)k ≤ γ kϕ(0)k + kϕk∞ , ∀t > 0, λ1 − β − κ − 2θ lim ku(t)k = 0, t→∞ từ suy tính ổn định tiệm cận nghiệm khơng 21 2.3 Tính ổn định tiệm cận yếu Bây ta không giả thiết hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz Ta xem xét tính ổn định yếu nghiệm khơng phương trình (0.1) Ký hiệu S(ϕ) tập nghiệm (0.1) ứng với kiện ban đầu ϕ, ut ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) trạng thái trễ xác định ut (ξ) = u(t + ξ), ξ ∈ [−h, 0] Định nghĩa 2.3.1 [9, 13] Nghiệm u ∈ S(ϕ) gọi ổn định tiệm cận yếu thỏa mãn điều kiện: ổn định: với  > 0, tồn δ > cho với ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) thỏa mãn kψ − ϕk∞ < δ , ta có kvt − ut k∞ <  với v ∈ S(ψ) t > 0; hút yếu: tồn % > cho với ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) thỏa mãn kψ − ϕk∞ < %, tồn v ∈ S(ψ) cho lim kvt − ut k∞ = t→∞ Để nghiên cứu tính ổn định yếu cho nghiệm tốn (0.1)-(0.3), ta sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén Định nghĩa 2.3.2 [7] Cho E không gian Banach B(E) họ tạp khác rỗng bị chặn E Một hàm ω : B(E) → R+ gọi độ đo không compact (MNC) ω(co D) = ω(D) với D ∈ B(E) Độ đo không compact ω gọi là: • khơng kỳ dị ω(D ∪ {x}) = ω(D) với D ∈ B(E), x ∈ E • đơn điệu ω(D1 ) ≤ ω(D2 ) với D1 ⊂ D2 Hàm χ(D) = inf{ε > : D có ε − lưới hữu hạn} độ đo không compact Hausdorff Định nghĩa 2.3.3 [7] Cho E không gian Banach D ∈ B(E) Ánh xạ liên tục F : D → E gọi nén ứng với độ đo ω (ω -nén) từ điều kiện ω(B) ≤ ω(F(B)), B ⊂ D, ta suy B is tập compact tương đối Định lý sau phát biểu nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén Định lí 2.3.1 [7] Cho ω MNC khơng kỳ dị đơn điệu E Giả sử D ⊂ E tập lồi, đóng bị chặn, F : D → D ánh xạ ω -nén Khi F có điểm bất động 22 Ký hiệu BC0 (R+ ; L2 (Ω)) không gian hàm liên tục R+ , lấy giá trị L2 (Ω), phân rã (tiến 0) t → ∞ Cho ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ký hiệu BC ϕ0 = {u ∈ BC0 (R+ ; L2 (Ω)) : u(0) = ϕ(0)} Khi BC ϕ0 với chuẩn sup k · kBC khơng gian đóng BC0 (R+ ; L2 (Ω)) Giả sử D tập bị chặn BC ϕ0 πT : BC ϕ0 → C([0, T ]; L2 (Ω)) toán tử chặt cụt BC ϕ0 , tức πT (u) hạn chế u ∈ BC ϕ0 đoạn [0, T ] Ta định nghĩa d∞ (D) = lim sup sup ku(t)k, T →∞ u∈D t≥T χ∞ (D) = sup χT (πT (D)), T >0 với χT (·) độ đo Hausdorff C([0, T ]; L2 (Ω)) Đặt χ∗ (D) = d∞ (D) + χ∞ (D) (2.6) Theo [8], χ∗ MNC có tất tính chất phát biểu Định nghĩa 2.3.2 Ngồi ra, χ∗ (D) = D tập compact tương đối BC0 (R+ ; L2 (Ω)) Nói riêng, với u ∈ C(R+ ; L2 (Ω)), ta có d∞ ({u}) = u ∈ BC0 (R+ ; L2 (Ω)) Định lí 2.3.2 Cho f hàm liên tục thỏa mãn điều kiện kf (t, v, w)k ≤ β(t)kvk + κ(t)kwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (2.7) với β, κ ∈ L1loc (R+ ) hàm không âm Giả sử l 6∈ L1 (R+ ) lim (t − t→∞ ρ(t)) = ∞ Khi nghiệm khơng (0.1) ổn định tiệm cận yếu Z lim sup T →∞ t≥T Z r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ = 0, (2.8) t ` = sup t≥0 σt r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ < 1, (2.9) với số σ ∈ (0, 1) Chứng minh Ý tưởng chứng minh sau: ta chứng minh tồn nghiệm tốn khơng gian BC ϕ0 , từ suy tính hút yếu nghiệm khơng Sau ta kiểm tỉnh ổn định nghiệm không Chứng minh chia làm ba bước Bước Ta chứng minh d∞ (Φ(D)) ≤ ` · d∞ (D) với tập bị chặn D ⊂ BC ϕ0 Cho u ∈ D, đặt z = Φ(u) R = sup kukBC + kϕk∞ Khi u∈D kz(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k Z + t r(t − τ, λγ1 )[β(τ )ku(τ )k + κ(τ )ku(τ − ρ(τ ))k]dτ, ∀t ≥ 23 Theo giả thiết, với T > 0, tồn T1 > T cho t − ρ(t) ≥ T với t > T1 Vậy với t > T2 := σ −1 T1 > T , ta có Z σt kz(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k + r(t − τ, λγ1 )[β(τ )ku(τ )k + κ(τ )ku(τ − ρ(τ ))k]dτ Z t r(t − τ, λγ1 )[β(τ )ku(τ )k + κ(τ )ku(τ − ρ(τ ))k]dτ + σt ≤ Z s(t, λγ1 )kϕ(0)k +R σt r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ + sup ku(ξ)k ξ≥T t Z r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ σt Từ suy sup sup kz(t)k ≤ sup s(t, λγ1 )kϕ(0)k u∈D t≥T2 t≥T2 σt Z r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ + R sup t≥T2 ! + sup sup ku(ξ)k sup u∈D ξ≥T t≥T2 Z t r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ Cho T → ∞ ta có T2 → ∞, d∞ (Φ(D)) ≤ ` · d∞ (D), ta sử dụng (2.8)-(2.9) tính chất sup s(t, λγ1 )kϕ(0)k = s(T2 , λγ1 )kϕ(0)k → T2 → ∞ t≥T2 Nói riêng, D = {u} d∞ ({Φ(u)}) ≤ ` · d∞ ({u}) = Điều đảm bảo Φ(u) ∈ BC ϕ0 với u ∈ BC ϕ0 Nói cách khác, Φ(BC ϕ0 ) ⊂ BC ϕ0 Bước Ta chứng minh tồn % > cho Φ(B% ) ⊂ B% Giả sử ngược lại, với n ∈ N, tồn un ∈ BC ϕ0 cho kun kBC ≤ n kΦ(un )kBC > n Khi kΦ(un )(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k Z + t r(t − τ, λγ1 )[β(τ )kun (τ )k + κ(τ )kun [ϕ](τ − ρ(τ ))k]dτ ≤ kϕ(0)k + n Z t r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ + kϕk∞ Z t r(t − τ, λγ1 )κ(τ )dτ ≤ (1 + `)kϕk∞ + n`, 24 ta sử dụng (2.9) Vậy 1< 1 kΦ(un )kBC ≤ (1 + `)kϕk∞ + ` n n Qua giới hạn n → ∞, ta nhận điều mâu thuẫn với giả thiết Bước Ta xây dựng tập D∗ ⊂ B% cho Φ(D∗ ) ⊂ D∗ πT (D∗ ) tập compact với T > 0, lý luận chứng minh Định lý 2.1.1 Xét Φ : D∗ → D∗ , ta chứng minh Φ χ∗ -nén Rõ ràng, D ⊂ D∗ χT (D) = 0, từ suy χ∞ (D) = Sử dụng kết Bước1, ta có χ∗ (Φ(D)) = χ∞ (Φ(D)) + d∞ (Φ(D)) = d∞ (Φ(D)) ≤ ` · d∞ (D) ≤ ` · χ∗ (D) Nếu χ∗ (D) ≤ χ∗ (Φ(D)) χ∗ (D) ≤ ` · χ∗ (D), từ suy χ∗ (D) = ` < Vậy D compact tương đối Do Φ χ∗ -nén có điểm bất động, theo Định lý 2.3.1 Cuối ta kiểm tra tính ổn định nghiệm không cách với u ∈ S(ϕ), kut k∞ ≤ M kϕk∞ với số M > Thật vậy, Z t r(t − τ, λγ1 )[β(τ )ku(τ )k + κ(τ )ku(τ − ρ(τ ))k]dτ ku(t)k ≤ s(t, λγ1 )kϕ(0)k + ≤ s(t, λγ1 )kϕk∞ + kϕk∞ t Z r(t − τ, λγ1 )κ(τ )dτ Z + t r(t − τ, λγ1 )[β(τ )ku(τ )k + κ(τ ) sup ku(ξ)k]dτ [0,τ ] ≤ (1 + `)kϕk∞ + sup ku(ξ)k [0,t] Z t r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ ≤ (1 + `)kϕk∞ + ` sup ku(ξ)k [0,t] Do sup ku(ξ)k ≤ (1 − `)−1 (1 + `)kϕk∞ , ∀t > 0, [0,t] kut k∞ ≤ kϕk∞ + sup ku(ξ)k [0,t] −1 ≤ [(1 − `) (1 + `) + 1]kϕk∞ , ∀t > Định lý chứng minh Chú ý 2.3.1 Ta kiểm tra điều kiện (2.8)-(2.9) trường hợp β κ thuộc không gian L∞ (R+ ) Ký hiệu β ∗ = ess supR+ β(t) κ∗ = ess supR+ κ(t) 25 Khi Z σt r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) ∗ ∗ + κ(τ ))dτ ≤ (β + κ ) = (β ∗ + κ∗ ) Z σt r(t − τ, λγ1 )dτ Z0 t r(τ, λγ1 )dτ (1−σ)t Vậy σt Z r(t − sup t≥T τ, λγ1 )(β(τ ) ∗ ∗ + κ(τ ))dτ ≤ (β + κ ) Z ∞ r(τ, λγ1 )dτ (1−σ)T → T → ∞, r(·, λγ1 ) ∈ L1 (R+ ) Vậy (2.8) thỏa mãn Để kiểm tra (2.9), ta ý Z t r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) ∗ ∗ ∗ ∗ + κ(τ ))dτ ≤ (β + κ ) = (β + κ Z t r(t − τ, λγ1 )dτ −γ )λ1 (1 − s(t, λγ1 )) Khi (2.9) thỏa mãn β ∗ + κ∗ < λγ1 2.4 Một trường hợp riêng Ta xét trường hợp cụ thể Cho k(t) = m P µi g1−αi (t) với µi > i=1 < α1 < α2 < < αm < (phương trình phân thứ đa thành phần) Khi k hàm hồn tồn đơn điệu, tồn nhân liên hơp l Hơn biến đổi Laplace l sau ˆl(λ) = λ−1 k(λ) ˆ −1 = µi m P λαi i=1 Từ \ (1 ∗ l)(λ) = µi m P λαi +1 ∼ as λ → µ1 λα1 +1 i=1 Theo định lý Karamata-Feller Tauberian (xem [18]), ta có tα1 (1 ∗ l)(t) ∼ → ∞ as t → ∞, µ1 Γ(α1 + 1) từ suy l 6∈ L1 (R+ ) 26 Với hàm phi tuyến, ta xét trường hợp cụ thể  Z  |u(t, x)| dx, u(qt − h, x) , f (t, u, uρ )(x) = F t, Ω F : R+ × R+ × R → R hàm liên tục, q ∈ (0, 1) cho trước Khi ρ(t) = (1 − q)t + h hàm phi tuyến không phụ thuộc vào trạng thái lịch sử hệ mà phụ thuộc vào lượng hệ thời điểm t Dạng trừu tượng f sau f (t, v, w)(x) = F (t, kvk2 , w(x)), với v, w ∈ L2 (Ω) Giả sử F thỏa mãn điều kiện Lipschitz |F (t, y1 , z1 ) − F (t, y2 , z2 )| ≤ p|y1 − y2 | + q|z1 − z2 |, (2.10) với p ≥ 0, q > Khi q kf (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )k ≤ p |Ω|(kv1 k + kv2 k)kv1 − v2 k + qkw1 − w2 k, |Ω| thể tích Ω Vậy f thỏa mãn điều kiện Lipschitz cục (2.2) với q L(r) = max{q, 2rp |Ω|} Hơn nữa, ta có q kf (t, v, w)k ≤ kf (t, 0, 0)k + p |Ω|kvk2 + qkwk Sử dụng Định lý 2.1.3, ta thấy p = F (·, 0, 0) ∈ BC(R+ ), hệ ta tiêu hao q < λγ1 Mặt khác F (t, 0, 0) = q < λγ1 nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận theo Định lý 2.2.2 Bây ta bỏ điều kiện (2.10) giả sử F thỏa mãn √ |F (t, y, z)| ≤ p(t) y + q(t)|z|, với p, q ∈ L1loc (R+ ) Khi q kf (t, v, w)k ≤ p(t) |Ω|kvk + q(t)kwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω) Áp dụng Định lý 2.3.2, ta có kết tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm p tầm thường điều kiện (2.8)-(2.9) thỏa mãn với β(t) = p(t) |Ω| κ(t) = q(t) 27 Kết luận Luận văn trình bày số kết nghiên cứu gần liên quan đến lớp phương trình đạo hàm riêng khơng địa phương có phần phi tuyến chứa trễ Các kết trình bày bao gồm: Tính giải tồn cục tốn Tính tiêu hao hệ Tính ổn định tiệm cận nghiệm Tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường Các kết phát triển cho trường hợp f hàm đa trị trễ xuất tốn trễ vơ hạn 28 Tài liệu tham khảo [1] D.Wang, A Xiao, H Liu, Dissipativity and stability analysis for fractional functional differential equations, Fract Calc Appl Anal 18 (2015), no 6, 1399-1422 [2] F Mainardi, Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity, Imperial College Press, London, 2010 [3] G Gripenberg, S.-O Londen, O Staffans, Volterra integral and functional equations Cambridge University Press, Cambridge, 1990 [4] J.C Pozo, V Vergara, Fundamental solutions and decay of fully non-local problems, Discrete Contin Dyn Syst (39) 2019, 639-666 [5] J Kemppainen, J Siljander, V Vergara, R Zacher, Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in Rd , Math Ann 366 (2016), 941-979 [6] J Pră uss, Evolutionary Integral Equations and Applications Monographs in Mathematics 87, Birkhăauser, Basel, 1993 [7] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [8] N.T Anh, T.D Ke, Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math Methods Appl Sci 38 (2015), 1601-1622 [9] N.T Anh, T.D Ke, N.N Quan, Weak stability for integro-differential inclusions of diffusion-wave type involving infinite delays, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 21 (2016), 3637-3654 [10] Ph Clément, J A Nohel, Asymptotic behavior of solutions of nonlinear Volterra equations with completely positive kernels, SIAM J Math Anal 12 (1981), 514-535 [11] R.K Miller, On Volterra integral equations with nonnegative integrable resolvents, J Math Anal Appl 22 (1968), 319-340 29 [12] S.G Samko, R.P Cardoso, Integral equations of the first kind of Sonine type, Int J Math Math Sci 57 (2003), 3609-3632 [13] T.D Ke, D Lan, Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects, J Fixed Point Theory Appl 19 (2017), 2185-2208 [14] T.D Ke, L.T.P Thuy, Dissipativity and stability for semilinear anomalous diffusion equations involving delays, preprint 2019 [15] T.D Ke, N.N Thang, L.T.P Thuy, Regularity and stability analysis for a class of semilinear nonlocal differential equations in Hilbert spaces, https://arxiv.org/abs/1811.01244 [16] V Vergara, R Zacher, Optimal decay estimates for time-fractional and other nonlocal subdiffusion equations via energy methods, SIAM J Math Anal 47 (2015), 210-239 [17] V Vergara, R Zacher, Stability, instability, and blowup for time fractional and other nonlocal in time semilinear subdiffusion equations, J Evol Equ 17 (2017), 599-626 [18] W Feller, An introduction to probability theory and its applications, Vol II, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York, 1971