Tính ổn định nghiệm cho bài toán cân bằng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA PHAN THANH KIỀU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60460112 TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG NĂM 2020 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI Cán chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI Cán chấm nhận xét 2: TS HỒ ĐẮC NGHĨA Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 21 tháng năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS Nguyễn Đình Huy Thư ký: TS Nguyễn Tiến Dũng Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: TS Hồ Đắc Nghĩa Ủy viên: TS Phan Tất Hiển Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Đại Học Quốc Gia TP.HCM Trường Đại Học Bách Khoa Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Phan Thanh Kiều MSHV: 1770490 Ngày, tháng, năm sinh: 30/6/1985 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG - Kiến thức chuẩn bị - Tính ổn định ánh xạ nghiệm toán tựa cân vectơ phụ thuộc tham số - Ứng dụng cho toán bất đẳng thức tựa biến phân II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/8/2019 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 08/12/2019 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Lê Xuân Đại Tp Hồ Chí Minh, ngày 08 tháng 12 năm 2019 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TRƯỞNG KHOA LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học TS Lê Xuân Đại, Trường Đại học Bách khoa, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh Thầy trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, cung cấp đề tài nguồn tài liệu quí báu cho tơi suốt q trình làm luận văn Đồng thời định hướng truyền đạt ý tưởng, tháo gỡ khó khăn q trình tiếp cận nghiên cứu thực luận văn Luận văn không thực khơng có hướng dẫn Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa dành nhiều thời gian để đọc kỹ luận văn cho lời khuyên, nhận xét, đánh giá bình luận bổ ích để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn đến q Thầy mơn Tốn ứng dụng, Khoa Khoa học ứng dụng, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM, tổ chức lớp học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, ln ủng hộ động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, trình thực luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q Thầy, Cơ bạn đọc để bổ sung hoàn thiện đề tài tốt Tp Hồ Chí Minh, ngày 08 tháng 12 năm 2019 Phan Thanh Kiều TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Tóm tắt Mục tiêu luận văn để thiết lập tính ổn định nghiệm cho tốn tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Đầu tiên, chúng tơi giới thiệu hàm đánh giá tính liên tục cho tốn Sau đó, chúng tơi thiết lập tính ổn định nghiệm tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục Hausdorff, nửa liên tục dưới, nửa liên tục Hausdorff, tính liên tục tính liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm tốn Cuối cùng, chúng tơi ứng dụng cho toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Từ khóa Bài tốn tựa cân cân véctơ; Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân véctơ; Tính nửa liên tục trên(dưới); Tính nửa liên tục trên(dưới) Hausdorff, Tính liên tục (Hausdorff) ABSTRACT Stability of Solutions for Equilibrium Problems and Applications Abstract The objective of the thesis is to establish the stability of solutions for parametric strong vector quasi-equilibrium problems Firstly, we consider the gap function and its continuity for parametric strong vector quasi-equilibrium problems Then, we establish the stability of solutions such as the upper semicontinuity, upper semicontinuity Hausdorff, lower semicontinuity, lower semicontinuity Hausdorff, continuity and continuity Hausdorff of solutions for these problems Finally, we apply to the parametric vector quasi-variational inequality problems Keywords Vector quasi-equilibrium problems; Vector quasi-variational inequality problems; Upper (lower) semicontinuity; Upper (lower) semicontinuity Hausdorff; continuity(Hausdorff) ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Phan Thanh Kiều, mã số học viên: 1770490, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa TP HCM, khóa 2017 - 2019 Tôi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Lê Xn Đại tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, ngày 08 tháng 12 năm 2019 Học viên thực Phan Thanh Kiều iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN ii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU vi Mở đầu 1 Tính cấp thiết đề tài Tổng quan tình hình nghiên cứu Cơ sở phương pháp nghiên cứu Phạm vi đối tượng nghiên cứu 3 Nội dung nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Khái niệm ánh xạ đa trị Một số khái niệm nửa liên tục cổ điển Tính chất ổn định nghiệm toán tựa cân véctơ phụ thuộc tham số 2.1 2.2 Bài toán tựa cân Hàm đánh giá cho toán tựa cân 2.3 2.4 Tính nửa liên tục Tính nửa liên tục 13 16 2.5 Tính nửa liên tục thỏa mãn hàm đánh giá 17 iv Ứng dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân 3.1 Tính nửa liên tục 22 23 3.2 3.3 25 26 Tính nửa liên tục Tính nửa liên tục thỏa mãn hàm đánh giá Kết luận chung kiến nghị 28 Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận văn 30 Tài liệu tham khảo 31 Lý lịch trích ngang 33 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa R Tập số thực Rn ¯ R Không gian thực n-chiều Tập số thực −∞, +∞ x∈M x thuộc M x∈M ∀x ∈ M x không thuộc M Với x thuộc M ∃x ∈ M domF Tồn x thuộc M Miền hiệu F graphF (SQEP) Đồ thị F Bài toán tựa cân véctơ mạnh (SQVI) (MQVIP) Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân véctơ mạnh Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân loại Minty lsc usc Tính nửa liên tục Tính nửa liên tục MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng đa dạng nhiều lĩnh vực hoạt động khác đời sống kinh tế, xã hội làm tiết kiệm kinh tế nhờ xây dựng mơ hình để tìm điều kiện tối ưu tính ổn định giải pháp cho nhiều toán thực tế phức tạp, chẳng hạn như: toán tựa cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi nhiều tốn khác Chúng ta biết có nhiều cơng cụ để nghiên cứu tính ổn định ánh xạ cho tốn, phương pháp hàm đánh giá sử dụng hiệu cho toán liên quan đến tối ưu Năm 1997, Zhao [17] giới thiệu giả thiết (H1 ) cho toán tối ưu chứng tỏ (H1 ) điều kiện cần đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm toán tối ưu phi tuyến phụ thuộc tham số Sau đó, sử dụng mơ tả giả thiết (H1 ), Kien [12] chứng tỏ (H1 ) điều kiện cần đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho toán tối ưu phi tuyến phụ thuộc tham số tương tự Zhao [17] với giả thiết yếu Gần đây, Chen Li [15], Lalitha Bhatia [13] giới thiệu giả thiết (Hg ) mà tương tự Zhao [12, 17] đưa điều kiện đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho toán bất đẳng thức biến phân không gian Banach Rất gần đây, Zhong Huang [18] chứng tỏ giả thiết (Hg ) điều kiện cần đủ cho tính nửa liên tục Hausdorff liên tục Hausdorff cho toán cân yếu không gian Banach (ii) T liên tục với giá trị compắc A × Γ; (iii) f liên tục A × B × A × Λ Khi đó, S nửa liên tục Hausdorff Γ (Hh (γ0 )) thỏa mãn với γ0 ∈ Γ Chứng minh Giả sử ngược lại (Hh (γ0 )) xác định, S không nửa liên tục Hausdorff γ0 , với γ0 ∈ Γ Khi tồn lân cận U gốc X, lưới {γα } ⊂ Γ với γα → γ0 lưới {xα } cho xα ∈ S(γ0 ) \ (S(γα ) + U ) (2.10) Bởi lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.1, ta suy S(γ0 ) compắc, ta giả sử xα → x0 với x0 ∈ S(γ0 ) Vì U lân cận U gốc X, tồn lân cận cân mở B0 gốc X, nghĩa là, λB ⊂ B, ∀λ ∈ [−1; 1], cho B0 + B0 + B0 ⊂ U (xem [3, 4]) Từ x0 ∈ S(γ0 ), ta có (x0 + B0 ) ∩ K(x0 , γ0 ) = ∅ Vì K nửa liên tục (x0 , γ0 ), tồn lưới {(xβ , γβ )} {(xα , γα )} cho (x0 + B0 ) ∩ K(xβ , γβ ) = ∅, với β Lấy ξβ ∈ (x0 + B0 ) ∩ K(xβ , γβ ) Chúng ta chứng tỏ ξβ ∈ S(γβ ) + B0 Thật vậy, giả sử ngược lại tồn δβ ∈ S(γβ ) cho ξβ − δβ ∈ B0 Vì xβ → x0 , ta giả sử xβ − x0 ∈ B0 (có thể lấy lưới cần thiết), ta có xβ − δβ = (xβ − x0 ) + (x0 − ξβ ) + (ξβ − δβ ) ∈ B0 + B0 + B0 ⊂ U Điều suy xβ ∈ S(γβ ) + U , mâu thuẫn với (2.10) Vì vậy, ξβ ∈ S(γβ ) + B0 Sử dụng giả thiết (Hh (γ0 )), tồn ρ > cho h(ξβ , γβ ) ≥ ρ Từ Định lý 2.2.3, h liên tục A × Γ, đó, h(x0 , γ0 ) ≥ ρ > 0, 19 nghĩa là, h(x0 , γ0 ) = max ξe (−f (x0 , t, y, γ0 )) > t∈T (x0 ,γ0 ) y∈K(x0 ,γ0 ) Vì vậy, max y∈K(x0 ,γ0 ) ξe (−f (x0 , t, y, γ0 )) > 0, ∀t ∈ T (x0 , γ0 ) Khi tồn y0 ∈ K(x0 , γ0 ) cho ξe (−f (x0 , t0 , y0 , γ0 ) > Từ Bổ đề 1.2.5(iii), ta có −f (x0 , t0 , y0 , γ0 ) ∈ −C, hay f (x0 , t0 , y0 , γ0 ) ∈ C, điều mâu thuẫn với x0 ∈ S(γ0 ) Vì vậy, S nửa liên tục Hausdorff Γ Ngược lại, giả sử S nửa liên tục Hausdorff γ0 , (Hh (γ0 )) không thỏa mãn, với γ0 ∈ Γ Từ Mệnh đề 2.5.1, tồn lân cận mở U gốc X, cho lim inf ΞU (γ) = γ→γ0 Khi tồn lưới {γα } ⊂ Γ với γα → γ0 cho lim ΞU (γα ) = lim γα →γ0 inf γα →γ0 x∈E(γα )\(S(γα )+U ) h(x, γα ) = (2.11) Vì K nửa liên tục với giá trị compắc A compắc, ta suy K đóng Vì vậy, với γ ∈ Γ, E(λ) tập đóng A, E(λ) compắc Vì vậy, với α, E(γα ) \ (S(γα ) + U ) compắc Vì p liên tục, tồn xα ∈ E(γα ) \ (S(γα ) + U ) thỏa mãn ΞU (γα ) = h(xα , γα ) Rõ ràng từ (2.11) suy thực tế limγα →γ0 h(xα , γα ) = Kết hợp tính 20 compắc A giả thiết (i), ta giả sử xα → x0 với x0 ∈ K(x0 , γ0 ) Bởi tính liên tục h, ta có h(x0 , γ0 ) = x0 ∈ S(γ0 ) Với δ ∈ S(γ0 ), S nửa liên tục Hausdorff Γ,ta tìm lưới {δα }, δα ∈ S(γα ) cho δα → δ Vì xα ∈ E(γα )\(S(γα )+U ), ta suy xα − δα ∈ / U , nghĩa là, x0 − δ ∈ / U , với δ ∈ S(γ0 ) Điều lại mâu thuẫn với thực tế x0 ∈ S(γ0 ) Vì vậy, ta hoàn thành chứng minh Tiếp theo, chứng tỏ giả thiết (Hh (γ0 )) điều kiện cần đủ cho tính liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho toán (SQEP) 2.5.3 Định lý Giả sử tất điều kiện Định lý 2.3.1 Định lý 2.5.2 thỏa mãn Khi đó, S liên tục Hausdorff Γ (Hh (γ0 )) thỏa mãn với γ0 ∈ Γ 2.5.4 Nhận xét Anh Hưng [1] chứng minh trường hợp toán loại Minty, nhiên tác giả chưa chứng minh cho trường hợp toán loại Stampacchia Sử dụng phương pháp tương tự chứng minh cho tốn loại Minty, chúng tơi chứng minh Định lý cho trường hợp loại Stampacchia 21 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CHO BẤT ĐẲNG THỨC TỰA BIẾN PHÂN Vì tốn cân chứa toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán điểm trùng, tốn bù, tốn mạng lưới giao thơng, Vì vậy, kết Chương suy trực tiếp kết tương ứng trường hợp đặc biệt Trong chương này, áp dụng, xét cho trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức tựa biến phân Lấy X, Y, Z, A, B, C, K, T Mục 2.1 Chương 2, L(X; Y ) khơng gian tất tốn tử tuyến tính từ X vào Y g : A × Λ → A hàm véc tơ t, x biểu thị giá trị tốn tử tuyến tính t ∈ L(X; Y ) x ∈ X, ta giả sử , liên tục Với γ ∈ Γ, xét toán bất đẳng thức tựa biến phân véc tơ mạnh phụ thuộc tham số (viết tắt, (SQVI)) (SQVI) Tìm x ∈ K(x, γ) t ∈ T (x, γ) cho t, y − g(x, γ) ∈ C, ∀y ∈ K(x, γ) Với γ ∈ Γ, ký hiệu ánh xạ nghiệm toán (SQVI) Ψ(γ) Chúng ta giả sử ánh xạ nghiệm khác rỗng lân cận điểm xét 22 3.1 Tính nửa liên tục Các kết sau suy từ kết Mục 2.3 3.1.1 Định lý Giả sử cho toán (SQVI), Γ tập compắc thõa mãn điều kiện sau: (i) K liên tục với giá trị compắc A × Γ; (ii) T nửa liên tục với giá trị compắc A × Γ; (iii) Tập {(x, t, y, γ) ∈ A × B × A × Γ | t, y − g(x, γ) ∈ C} đóng B×Γ Khi đó, Ψ vừa nửa liên tục vừa đóng với giá trị compắc Γ Chứng minh Đặt f (x, t, y, γ) = t, y − g(x, γ) , tốn (SQEP) trở thành toán (SQVI) Ứng dụng đụng Định lý 2.3.1 ta có điều phải chứng minh Ứng dụng Định lý 2.3.2 ta có kết sau 3.1.2 Định lý Giả sử cho toán (SQVI), Γ tập compắc thõa mãn điều kiện sau: (i) E nửa liên tục với giá trị compắc Γ; (ii) Với x0 ∈ K(x0 , γ0 ), (xα , γα ) → (x0 , γ0 ) t0 , y0 −g(x0 , γ0 ) ∈ C với t0 ∈ T (x0 , γ0 ) số y0 ∈ K(x0 , γ0 ), tồn α cho t, y − g(xα , γα ) ∈ C với t ∈ T (xα , γα ) số y ∈ K(xα , γα ) Khi đó, Ψ nửa liên tục Hausdorff Γ Hơn nữa, Ψ(γ0 ) compắc Ψ đóng Γ 23 n 3.1.3 Nhận xét Nếu đặt Z = Rn , C = Rn \−intR+ , f (x, t, y, γ) = t, y − x + h(x, y, γ), tốn (SQEP) trở thành toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty sau: (MQVIP) Tìm x ∈ K(x, γ) cho n / −intR+ , t, y − x + h(x, y, γ) ∈ ∀y ∈ K(x, γ), ∀t ∈ T (y, γ) Trong ký hiệu số khơng âm phần số không âm Rn n R+ = {t = (t1 , t2 , , tn )T ∈ Rn |ti ≥ 0, i = 1, 2, , n}, n intR+ = {t = (t1 , t2 , , tn )T ∈ Rn |ti > 0, i = 1, 2, , n}, T ký hiệu chuyển vị, h : A × Γ → Rn hàm véctơ thỏa mãn h(y, y, γ) = với y ∈ X, γ ∈ Γ Với γ ∈ Λ đặt Ψ′ (γ) tập nghiệm (MQVIP) Chúng giả sử Ψ′ (γ) = ∅ với γ lân cận γ0 ∈ Λ Khi nhận kết sau 3.1.4 Định lý Giả sử cho toán (MQVIP) điều kiện sau thỏa mãn (i) E nửa liên tục với giá trị compắc Γ; (ii) K nửa liên tục A × Γ; (iii) T nửa liên tục A × Γ Khi Ψ′ nửa liên tục trên Γ Ngoài ra, Ψ′ (γ0 ) tập compắc Ψ′ đóng Γ Chứng minh Đầu tiên, chứng minh Ψ′ nửa liên tục γ0 Thật vậy, ta giả sử ngược lại Ψ′ không nửa liên tục γ0 , nghĩa tồn tập mở V Ψ′ (γ0 ) cho với lưới {γα } hội tụ γ0 , tồn xα ∈ Ψ′ (γα ), xα ∈ / V, với α Vì tính nửa 24 liên tục E γ0 tính compắc E(γ0 ), ta giả sử xα → x0 ∈ E(γ0 ) Bây cần chứng tỏ x0 ∈ Ψ′ (γ0 ) Nếu x0 ∈ / Ψ′ (γ0 ), tồn y0 ∈ K(x0 , γ0 ) t0 ∈ T (y0 , γ0 ) cho n t0 , y0 − x0 + h(x0 , y0 , γ0 ) ∈ −intR+ Từ tính nửa liên tục K (x0 , γ0 ) T (y0 , γ0 ), tồn yα ∈ K(xα , γα ) cho yα → y0 tα ∈ T (yα , γα ) cho tα → t0 Vì xα ∈ Ψ′ (γα ), ta có n tα , yα − xα + h(xα , yα , γα ) ∈ / −intR+ Vì , h liên tục, nên ta có tα , yα − xα + h(xα , yα , γα ) → t0 , y0 − x0 + h(x0 , y0 , γ0 ), n / −intR+ t0 , y0 − x0 + h(x0 , y0 , γ0 ) ∈ Điều khơng thể, nên ta có x0 ∈ Ψ′ (γ0 ) ⊂ V, điều trái với thực tế xα ∈ / V, với α Do đó, Ψ′ nửa liên tục γ0 Vì Ψ′ liên tục điểm γ ∈ Γ, nên Ψ′ nửa liên tục trên Γ Bây ta chứng minh Ψ′ (γ0 ) compắc, ta chứng minh Ψ′ (γ0 ) tập đóng Thật vậy, ta giả sử Ψ′ (γ0 ) không đóng, tồn lưới {xα } ⊂ Ψ′ (γ0 ) cho xα → x0 x0 ∈ / Ψ′ (γ0 ) Lý luận tương tự trên, ta có Ψ′ (γ0 ) tập đóng Ngồi ra, Ψ′ (γ0 ) ⊂ E(γ0 ) với E(γ0 ) compắc, suy Ψ′ (γ0 ) tập compắc Khi đó, từ Bổ đề 1.2.4 (i), ta có Ψ′ đóng γ0 Do đó, Ψ′ đóng Γ 3.2 Tính nửa liên tục Các kết sau suy từ kết Mục 2.4 25 3.2.1 Định lý Giả sử cho toán (SQVI) thõa mãn điều kiện sau (i) E nửa liên tục Γ; (ii) Với x0 ∈ K(x0 , γ0 ), (xα , γα ) → (x0 , γ0 ) tồn t0 ∈ T (x0 , γ0 ) cho t0 , y0 − g(x0 , γ0 ) ∈ C với y0 ∈ K(x0 , γ0 ), tồn α cho t, y − g(xα , γα ) ∈ C với số t ∈ T (xα , γα ) y ∈ K(xα , γα ) Khi đó, Ψ nửa liên tục Γ Chứng minh Đặt f (x, t, y, γ) = t, y − g(x, γ) , tốn (SQEP) trở thành toán (SQVI) Ứng dụng đụng Định lý 2.4.1 ta có điều phải chứng minh Ứng dụng Định lý 3.1.2 ta có kết sau 3.2.2 Định lý Giả sử tất điều kiện Định lý 3.1.2 Định lý 3.2.1 thỏa mãn Khi ta có hai khẳng định sau: (a) Ψ nửa liên tục Hausdorff Γ; (b) Ψ liên tục Hausdorff Γ 3.3 Tính nửa liên tục thỏa mãn hàm đánh giá Các kết sau suy từ kết Mục 2.5 Các kết mục trình bày Anh Hưng [1] 3.3.1 Định lý Giả sử cho toán (SQVI), A compắc điều kiện sau thỏa mãn (i) K liên tục với giá rị compắc A × Γ; (ii) T liên tục với giá rị compắc A × Γ; (iii) g liên tục A × Γ 26 Khi đó, Ψ nửa liên tục Hausdorff Γ (Hh (γ0 )) xác định với γ0 ∈ Γ Chứng minh Đặt f (x, t, y, γ) = t, y − g(x, γ) , kết hợp tính liên tục g, ta suy f liên tục Ta thấy tất giả thiết Định lý 2.5.2 thỏa mãn, áp dụng định lý ta nhận kết luận Định lý 3.3.1 Để kết thúc mục này, chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ cho tính liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho toán (SQVI) 3.3.2 Định lý Giả sử tất điều kiện Định lý 3.3.1 thỏa mãn Khi đó, Ψ liên tục Hausdorff với giá trị compắc Γ (Hh (γ0 )) xác định với γ0 ∈ Γ 27 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận chung Luận văn nghiên cứu tính chất ổn định ánh xạ nghiệm cho toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Kết đạt luận văn là: Thiết lập hàm đánh giá cho toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số (SQEP) Trên sở hàm đánh giá, thiết lập giả thiết (Hh (γ0 )) Sau đó, chúng tơi nghiên cứu tính chất ổn định nghiệm cho toán Các kết nhận trình bày lại với kỹ thuật chứng minh tương tự kết [1] Thiết lập tính nửa liên tục trên, nửa liên tục Hausdorff, nửa liên tục dưới, nửa liên tục Hausdorff liên tục Hausdorff ánh xạ nghiệm cho tốn (SQEP) mà khơng sử dụng hàm vơ hướng hóa Các kết chúng tơi, Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.1 Định lý 2.4.2 Ứng dụng kết Chương 2, nhận số kết Chương cho toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Các kết nhận chúng tôi, Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4, Định lý 3.2.1 Định lý 3.2.2 28 II Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tính chất ổn định nghiệm cho số toán liên quan đến tối ưu với giả thiết yếu Nghiên cứu dạng hội tụ khác cho số toán liên quan đến tối ưu việc sử dụng loại hội tụ dãy tập dãy hàm khác Nghiên cứu tính đặt chỉnh cho số tốn liên quan đến tối ưu với số giả thiết phù hợp 29 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN Phan Thanh Kiều, Lê Xuân Đại, Nguyễn Văn Hưng (2019), Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm cho toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty, Tạp chí Phát triển Khoa học Công nghệ - Kĩ thuật công nghệ, 2(2019), 246-250 Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng, Tính ổn định ánh xạ nghiệm cho toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số ứng dụng, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, 18(2020), 74-77 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L.Q Anh and N.V Hung (2018), Gap functions and Hausdorff continuity of solution mappings to parametric strong vector quasiequilibrium problems, J Indus Manag Optim., 14 (1), 65-79 [2] L.Q Anh and P Q Khanh (2009), Hăolder continuity of the unique solution to quasiequilibrium problems in metric spaces, J Optim Theory Appl., 141 (2009), 37–54 [3] J.P Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York [4] J.P Aubin and H Frankowaska (1990), Set-Valued Analysis Birkhăauser, Boston [5] E Blum and W Oettli (1994), From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Student, 63, 123–145 [6] C.R Chen, S J Li and Z M Fang (2010), On the solution semicontinuity to a parametric generalized vector quasivariational inequality, Comput Math Appl., 60, 2417–2425 [7] Chr (Tammer) Gerstewitz (1983), Nichtkonvexe dualitat in der vektaroptimierung, Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Hochschule Leuna-Mersebung, 25, 357–364 [8] N.X Hai and P Q Khanh (2007), Existence of solutions to general quasiequilibrium problems and applications, J Optim Theory Appl., 133, 317–327 31 [9] N.V Hung (2018), On the stability of the solution mapping for parametric traffic network problems, Indag Math., 29, 885-894 [10] N.V Hung and D O’Regan (2020), Bilevel equilibrium problems with lower and upper bounds in locally convex Hausdorff topological vector spaces, Topology Appl., 269, 106939 [11] N.V Hung, V M Tam, N H Tuan and D O’Regan (2020), Convergence analysis of solution sets for fuzzy optimization problems, J Comput Appl Math., 369, 112615 [12] B.T Kien (2005), On the lower semicontinuity of optimal solution sets, Optimization, 54, 123–130 [13] C.S Lalitha and G Bhatia (2011), Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty type, J Optim Theory Appl., 148, 281–300 [14] S.J Li, K L Teo, X Q Yang and S Y Wu (2006), Gap functions and existence of solutions to generalized vector quasiequilibrium problems, J Global Optim., 34, 427–440 [15] S.J Li and C R Chen (2009), Stability of weak vector variational inequality problems, Nonlinear Anal., 70, 1528–1535 [16] X.J Long, N J Huang and K L Teo (2008), Existence and stability of solutions for generalized strong vector quasi-equilibrium problem, Math Comput Modelling, 47, 445–451 [17] J Zhao (1997), The lower semicontinuity of optimal solution sets, J Math Anal Appl., 207, 240–254 [18] R.Y Zhong and N J Huang (2012), On the stability of solution mapping for parametric generalized vector quasiequilibrium problems, Comput Math Appl., 63, 807–815 32 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I Sơ lược cá nhân Họ tên: Phan Thanh Kiều Ngày, tháng, năm sinh: 30/6/1985 Nơi sinh: Tiền Giang Địa liên lạc: Căn hộ 501, Chung cư Sky9, Phường Phú Hữu, Quận 9, Thành phố Hồ Chí Minh II Quá trình đào tạo - Từ năm 2004 đến năm 2008: sinh viên Khoa Toán học Trường Đại học Đồng Tháp - Từ năm 2017 đến học viên lớp cao học Toán ứng dụng Trường Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh III Quá trình cơng tác - Từ 7/2008 đến 3/2019: Chun viên Phòng Tổ chức cán bộ, Trường Đại học Đồng Tháp - Từ 7/2019 đến nay: Chun viên Phịng Cơng tác Sinh viên, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Thành phố Hồ Chí Minh 33 ... ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG - Kiến thức chuẩn bị - Tính ổn định ánh xạ nghiệm toán tựa cân vectơ... khái niệm tính nửa liên tục cổ điển Chương Tính chất ổn định nghiệm toán tựa cân véctơ phụ thuộc tham số 2.1 Bài toán tựa cân 2.2 Hàm đánh giá cho toán tựa cân 2.3 Tính nửa liên tục 2.4 Tính nửa... thiết lập tính ổn định nghiệm cho toán tựa cân véctơ mạnh phụ thuộc tham số Đầu tiên, giới thiệu hàm đánh giá tính liên tục cho tốn Sau đó, chúng tơi thiết lập tính ổn định nghiệm tính nửa liên