Phương pháp armijo mở rộng giải bài toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ TIÊN PHƯƠNG PHÁP ARMIJO MỞ RỘNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng, năm 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ TIÊN PHƯƠNG PHÁP ARMIJO MỞ RỘNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN ĐỨC HIỀN Đà Nẵng, năm 2022 i MỤC LỤC Trang phụ bìa i Mục lục LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Một số tính chất 1.1.3 Nón lồi, nón pháp tuyến 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính khả vi hàm lồi 1.3 Điều kiện cực tiểu hàm lồi 1.3.1 Bài toán quy hoạch lồi 1.3.2 Sự tồn nghiệm tối ưu 1.3.3 Điều kiện tối ưu 1.4 Phép chiếu vng góc 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Tính chất Chương 2.1 2.2 Bài toán cân ánh xạ giả co chặt Ánh xạ giả co chặt 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Một số tính chất Bài toán cân 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Sự tồn nghiệm 2.2.3 Các trường hợp riêng Chương 17 Phương pháp Armijo mở rộng giải toán cân 7 7 9 10 12 12 12 13 14 14 15 17 17 17 18 18 18 19 ánh 3.1 3.2 3.3 3.4 xạ giả co chặt Đặt vấn đề Phương pháp Armijo Nội dung thuật toán Armijo mở Sự hội tụ thuật toán 3.5 Ứng dụng 36 rộng TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 22 23 24 25 38 MỞ ĐẦU Vào năm 1972 báo có tựa đề "A minimax Inequality and Its Applications", Ky Fan nghiên cứu tốn: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C , C ⊆ Rn tập lồi đóng f : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cân bằng, tức f (x, x) = với x ∈ C Thực ra, bất đẳng thức toán H Nikaido K Isoda dùng báo đăng tạp chí "Parcific Journal of Mathematics" năm 1955, nghiên cứu mơ hình cân Nash trị chơi khơng hợp tác Vì lý đó, sau tốn gọi toán cân bằng, hay bất đẳng thức Ky Fan, ký hiệu EP (C, f ) Mặc dù, toán cân biểu diễn đơn giản, bao hàm nhiều lớp tốn quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn: bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu, điểm bất động Kakutani, mơ hình cân Nash, v.v ; hợp tốn theo phương pháp nghiên cứu chung tiện lợi Các nhà nghiên cứu rằng, nhiều toán thực tế tối ưu, kinh tế kỹ thuật, mơ tả dạng EP (C, f ) Chính điều mà tốn cân nhiều người quan tâm nghiên cứu Hiện nay, vấn đề nghiên cứu tồn nghiệm tính chất định tính tốn cân bằng, nhiều tác giả nghiên cứu đạt nhiều kết sâu sắc phong phú Mặc dù vậy, vấn đề nghiên cứu phương pháp giải toán cân EP (C, f ), có vai trị quan trọng, nhiều hạn chế, đặc biệt góc độ ứng dụng Đến có số kết đạt cho lớp EP (C, f ) với giả thiết lồi đơn điệu Phương pháp chiếu kỹ thuật tối ưu hóa tốn bất đẳng thức biến phân Sau đó, phương pháp mở rộng cho toán cân Trong phương pháp chiếu bước lặp người ta phải xác định hướng tìm kiếm độ dài bước Hướng tìm kiếm thường dùng đạo hàm đạo hàm theo biến thứ hai song hàm cân Còn độ dài bước thường hay sử dụng cho thuận tiện tính tốn kỹ thuật Armijo Bằng cách này, người ta làm cho bước lặp sau gần nghiệm bước lặp trước Thông thường, tốn cân EP (C, f ) hồn tồn biến đổi toán điểm bất động Do đó, cách tiếp cận dựa vào điểm bất động hay sử dụng; cụ thể dựa vào tính chất: x∗ nghiệm toán EP (C, f ) với song hàm f lồi theo biến thứ hai, x∗ nghiệm toán quy hoạch lồi mạnh Trong năm gần đây, tốn tìm điểm chung họ ánh xạ nhiều nhà nghiên cứu quan tâm lý thuyết điểm bất động Trong đó, tốn tìm điểm bất động chung tập hữu hạn p ánh xạ giả co chặt Si (i = 1, p) Phạm Ngọc Anh, Nguyễn Đức Hiền cộng đưa [4,9,10] Qua tìm hiểu phương pháp nêu trên, phương pháp Armijo quy tắc đệ quy dùng để xác định độ dài bước bước lặp tìm cực trị địa phương hàm khả vi Phương pháp nhà toán học người Mỹ Larry Armijo đưa vào năm 1966 báo có tên "minimization of functions having lipschitz continous first partial derivatives" Mong muốn tìm hiểu sâu sắc nét bậc khác biệt thuật tốn: bước lặp, chúng tơi cần giải toán lồi mạnh thực phép chiếu C Trong trình xử lý bước lặp dựa phương pháp đạo hàm tăng cường kỹ thuật tìm kiếm kiểu Armijo Phương pháp tìm phần tử chung tập nghiệm tốn cân với song hàm giả đơn điệu không liên tục kiểu Lipschitz tập điểm bất động họ hữu hạn p ánh xạ giả co chặt C Với lý đó, tơi chọn "Phương pháp Armijo mở rộng giải toán cân ánh xạ giả co chặt" làm luận văn thạc sĩ → n → ∞ Khi đó, ta dùng (a) Mệnh đề (2.1.1), ta kết ∥xnkj − S¯nkj (xnkj )∥ ≤ ∥xnkj − wnkj ∥+ ∥wnkj − S¯nkj (wnkj )∥ + ∥S¯nkj (wnkj ) − S¯nkj (xnkj )∥ ¯ n 1+L ≤ ∥xnkj − wnkj ∥ + ∥wnkj − S¯nkj (wnkj )∥ + ∥w kj − xnkj ∥ ¯ 1−L nkj nkj nkj nkj ¯ = ¯ ∥x − w ∥ + ∥w − Snkj (w )∥ 1−L → j → ∞ Do đó, x¯ ∈ Fix(S) Khi đó, theo (e) Mệnh đề (2.1.1) ta suy x¯ ∈ ∩pi=1 Fix(Si ) Do vậy, x¯ ∈ ∩pi=1 Fix(Si ) ∩ Sol(C, f ), chọn x∗ = x¯ sử dụng kết Bước 7, ta có c = lim ∥xn − x¯∥ = lim ∥xnkj − x¯∥ = n→∞ j→∞ Ta kết luận dãy {xn } hội tụ đến x¯ ∈ ∩pi=1 Fix(Si ) ∩ Sol(C, f ) Do vậy, dãy {y n } {wn } hội tụ đến x¯ Bước Ta chứng minh dãy {xn }, {y n } {wn } hội tụ đến x¯, x¯ = lim P r∩pi=1 Fix(Si )∩Sol(C,f ) (xn ) n→∞ Theo Bước 8, ta đặt tn := P r∩pi=1 Fix(Si )∩Sol(C,f ) (xn ) xn → x¯ n → ∞ Sử dụng định nghĩa phép chiếu P rC (·), ta có ⟨tn − xn , tn − x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ ∩pi=1 Fix(Si ) ∩ Sol(C, f ) (3.4.26) Từ kết Bước ta suy ∥xn+1 − x∗ ∥ ≤ ∥xn − x∗ ∥, ∀n ≥ 0, x∗ ∈ ∩pi=1 Fix(Si ) ∩ Sol(C, f ) Theo Bổ đề (3.4.1), ta có tn = P r∩pi=1 Fix(Si )∩Sol(C,f ) (xn ) → x1 ∈ ∩pi=1 Fix(Si ) ∩ Sol(C, f ) n → ∞ (3.4.27) Lấy giới hạn cho (3.4.26) kết hợp điều với (3.4.27), ta ⟨x1 − x¯, x1 − x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ ∩pi=1 Fix(Si ) ∩ Sol(C, f ) Do đó, x¯ = x1 x¯ = lim P r∩pi=1 Fix(Si )∩Sol(C,f ) (xn ) n→∞ Từ kết Bước ta suy dãy {xn }, {y n } {wn } hội tụ đến x¯, x¯ = lim P r∩pi=1 Fix(Si )∩Sol(C,f ) (xn ) n→∞ 35 3.5 Ứng dụng Cho C tập lồi đóng khác rỗng Rs F : C → Rs Trong mục này, xét tốn bất đẳng thức biến phân sau đây: Tìm x¯ ∈ C cho ⟨F (¯ x), x − x¯⟩ ≥ với x ∈ C VI(C, F ) Đặt f (x, y) = ⟨F (x), y − x⟩ Khi đó, tốn cân EP(C, f ) viết dạng tốn VI(C, F ) Vì   β y k = argmin f (xk , y) + ∥y − xk ∥2 | y ∈ C   β k k k = argmin ⟨F (x ), y − x ⟩ + ∥y − x ∥ | y ∈ C   = P r C xk − F (xk ) , β Khi Thuật tốn 5.1 phát biểu lại sau: Thuật toán 5.2 Lấy ε > tùy ý Chọn x0 ∈ C, k = 0, γ ∈ (0, 1), < σ < β2 lấy dãy số dương {λn,i } {αn } thỏa mãn điều kiện sau:  ¯ 1) L ¯ := max{Li : ≤ i ≤ p},  {αn } ⊂ [a, b] ⊂ (L,   P p λn,i = với n ≥ 1, lim λn,i = λi ∈ (0, 1) n→∞  i=1   với i = 1, , p Bước Giải toán lồi mạnh  k y = P rC  x − F (xk ) β k đặt r(xn ) = xn − y n Nếu ∥r(xn )∥ = ̸ sang Bước Hơn nữa, đặt wn = xn sang Bước Bước (Kỹ thuật tìm kiếm kiểu Armijo) Tìm số nguyên dương nhỏ mn cho (1 − γ mn )⟨F (xn − γ mn r(xn )), r(xn )⟩ ≥ σ||r(xn )||2 Tính wn = P rC∩Hn (xn ), z n = xn − γ mn r(xn ) Hn = {x ∈ Rs | ⟨F (z n ), x − z n ⟩ ≤ 0}, sang Bước Bước Tính x n+1 n = αn w + (1 − αn ) p X i=1 Gán n := n + quay Bước 36 λn,i Si (wn ) (3.5.1) Sử dụng Định lý (3.4.2), ta có định lý hội tụ cho Thuật toán 5.2 sau: Định lý 3.5.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng Rs , F : C → Rs liên tục giả đơn điệu Si : C → C Lipschitz giả co chặt với số Li với i = 1, , p cho ∩pi=1 Fix(Si ) ∩ Sol(C, f ) ̸= ∅ Khi đó, dãy {xn }, {y n } {wn } sinh Thuật toán 5.2 hội tụ đến x∗ , x∗ = lim P r∩pi=1 Fix(Si )∩SolV(F,C) (xn ) n→∞ Trong chương này, phương pháp đạo hàm tăng cường, chúng tơi trình bày phương pháp để tìm phần tử chung tập nghiệm toán cân với song hàm giả đơn điệu không liên tục kiểu Lipschitz tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt C ⊆ Rs Đồng thời, kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường kỹ thuật tìm kiếm Armijo để chứng minh dãy lặp {xn }, {y n } {wn } sinh Thuật toán 5.1 hội tụ đến x∗ , x∗ = lim P r∩pi=1 n→∞ Fix(Si )∩Sol(C,f ) (x n ) Ngoài ra, chương chúng tơi vận dụng Thuật tốn 5.1 để thu phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân thể qua Thuật toán 5.2 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2015), "Nhập mơn giải tích ứng dụng", Nhà xuất Khoa học tự nhiên cơng nghệ [2] Hồng Tụy (2006), "Lý thuyết tối ưu", Viện toán học [3] Nguyễn Thị Bạch Kim(2008), "Giáo trình Các phương pháp tối ưu, lý thuyết thuật toán", Nhà xuất Bách Khoa- Hà Nội [4] Phạm Ngọc Anh (2015), "Các phương pháp tối ưu ứng dụng", Nhà xuất Thông tin Truyền thông Tiếng Anh [5] Acedo, GL, Xu, HK, "Iterative methods for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces" Nonlinear Anal 67, 2258–2271 (2007) doi:10.1016/j.na.2006.08.036 [6] H.K Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 298, pp 279-291 [7] Jong Kyu Kim*, Pham Ngoc Anh, T T H Anh, and Nguyen Đuc Hien (2020), "Projection methods for solving the variational Inequalities involving unrelated nonexpansive Mappings", Journal of Nonlinear and Convex Analysis Volume 21, Number 11, 2517-2537 [8] L.C Ceng, A Petrusel, C Lee, M.N Wong (2009), "Two extragradient approximation methods for variational inequalities and fixed point problems of strict pseudo-contractions", Taiwanese J Math., 13, pp 607-632 [9] Pham Ngoc Anh, Nguyen Duc Hien, "The extragradient-Armijo method for pseudomonotone equilibrium problems and strict pseudocontractions, Fixed Point Theory and Applications", DOI:10.1186/1687-1812-2012-82 [10] Pham Ngoc Anh , D.X Son (2011), "A new iterative scheme for pseudomonotone equilibrium problems and a finite family of pseudocontractions", Appl Math Inform, 29, pp 1179-1191 [11] Pham Van Huy , Le Huynh My Van , Nguyen Duc Hien Tran Viet Anh (2020), "Modified Tseng’s extragradient methods with self-adaptive step size for solving bilevel split variational inequality problems", Optimization, DOI: 10.1080/02331934.2020.1834557 38 [12] Takahashi S, Takahashi W (2007), "Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point in Hilbert space" J Math Anal Appl 2007;331(1):506–515 39 CONG HoA xA HOI CUU NGHIA ~T NAM -Dc)c l~p - Tty - H~llh phllC DAI HOC DA NANG TRU'ONG D~I HQC su PH~M s6: c&lS IQB-DHSP [)ClN6ng, ngcly1t)thang3 nd m 2022 QUYET -DINH vs vi~c giao d~ tai va tnich Ilhi~m htn)'ng drill hl~n van thac si HLE=UTRUONG TRUONG D~I HQC SU PH~M - DHDN Can CIl'Nghi dinh h9CDti Niing: s6 321CP 041411994cua Chinh phu v~viec ldp Dai Can ctr Nghf quyet s6 08INQ-H[)DH 121712021 cua H(Ji dong [)qi h9C [)a N6ng v~ viec ban hanh Quy chi t6 chirc va hoat dong cua Dai hoc [)it Nang VCtNghi quyet s613INQ-H[)[)H 071912021ala H(Jia6ng Dai hoc Di: Nang v~ viec sua a61, b6 sung l11(Jts6 ai~u cua Quy chi t6 chicc VCthoat dong ala Dai h9C Ei« Niing; Can CIl'Nghi quyet s6 12INQ-H[)T 081612021 cua H(Ji dong truong Truong Dai hoc Sir phC;Z111 v~ viec ban hanh Quy chi t6 chuc vit hoat dong cua Truong [)C;Zi hoc Su pham - Dai h9C[)it Nang; Can CII'Thong tu s6 1512014ITT-BGD[)T 151512014c~laB(J GiGOd1;lCva [)ao tgo v~ vi¢c ban hanh Quy chi aCtotgo trinh ac)thgc sf; Can Cil'Quyit ajnh s6 1060IQ[)-DHSP 0111112016cLlaHi¢u trwyng Truong D(li h9CSu phc;zm- [)gi h9CDa Nang v~ vi¢c ban hanh Quy ainh aito tgo trinh ac}thgc sf; Can CLf: To trin17I1gity111312022cua Khoa TOGnh9C v~ vi¢c a~ nghf giao a~ tid lu¢n van thqc sf cho h9C Vie,l cao h9Cngitnh Toan giai tfch khoa 41; Xet a~ nghi cila Truong pi10ng Phong [)ao tgo QUYET -DINH: -Di~u Giao cho 17 hQc vien cao hQc nganh TO