Tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ giả co chặt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LÂM THÙY DƯƠNG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ CÁC ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LÂM THÙY DƯƠNG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ CÁC ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho THÁI NGUYÊN - 2013 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho Các kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình người khác Nghiên cứu sinh Lâm Thùy Dương ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy, Cơ: GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Nguyễn Công Điều, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy bảo tận tình cho ý kiến đóng góp q báu suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Sau đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Giáo dục Tiểu học Ban Chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, anh chị em nghiên cứu sinh trao đổi, giúp đỡ, động viên khích lệ tác giả q trình học tập, nghiên cứu làm luận án Tác giả xin kính tặng người thân u gia đình niềm vinh hạnh to lớn Nghiên cứu sinh Lâm Thùy Dương Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.2 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động cho họ ánh xạ giả co chặt 1.2.1 Một số phương pháp lặp 1.2.2 Một số phương pháp lặp khác 10 10 11 14 22 25 30 Chương Nguyên lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt 37 2.1 Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh dựa tổng vô hạn 37 2.2 Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh dựa ánh xạ Wn 56 Chương Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 3.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert 3.2 Phương pháp KM-HSD cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Kết luận Tài liệu tham khảo iii 71 71 80 92 94 iv MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R tập hợp số thực N tập hợp số tự nhiên H không gian Hilbert H E không gian Banach E E∗ không gian liên hợp E I ánh xạ đơn vị D(T ) miền xác định ánh xạ T x, y tích vơ hướng x y x chuẩn x không gian X X inf F (X) cận lớn tập {F (x) : x ∈ X} sup F (X) cận nhỏ tập {F (x) : x ∈ X} x∈X x∈X c0 không gian dãy số hội tụ tới với chuẩn sup X ∩Y X giao với Y xn dãy xn hội tụ yếu tới x x xn → x dãy xn hội mạnh tới x θ phần tử không PC phép chiếu mêtric lên C F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Mở đầu Trong toán học người ta thường gặp tốn tìm phần tử thuộc vào giao họ tập lồi đóng Ci không gian Hilbert hay Banach, với i = 1, 2, , tập Ci cho dạng như: hình cầu, khơng gian nửa không gian dạng ẩn như: tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu Ai , hay tập nghiệm toán cân với song hàm Gi (u, v) Bài toán thường gọi toán Chấp nhận lồi có ứng dụng rộng rãi lĩnh vực xử lý ảnh phục chế lại tạo ảnh dựa vào liệu liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến vật thể cần xây dựng ảnh (xem [6], [26], [35], [63]) Lĩnh vực cịn có nhiều ứng dụng y học, qn đội, công nghiệp đặc biệt thiên văn hay công nghệ sinh học Trong trường hợp cardG = C1 , C2 không gian H, toán Neumann J V [53] nghiên cứu vào năm 1949 Xuất ∞ phát từ điểm x bất kỳ, ông xây dựng hai dãy {xk }∞ k=1 {yk }k=1 sau: y0 = x, xk = PC1 (yk−1 ), yk = PC2 (xk ), k = 1, 2, , (0.1) chứng minh hai dãy hội tụ mạnh đến PC (x) k → ∞, C = C1 ∩ C2 PC (x) phép chiếu mêtric lên C Khi C1 , C2 tập lồi đóng H, năm 1965, Bregman L M [13] chứng minh hội tụ yếu dãy lặp xác định đến PC (x) Trong trường hợp cardG ≥ tập Ci cho dạng tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Ti , tốn tốn tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ không giãn {Ti }i≥2 nhà toán học Ceng L C [19]−[20], Maingé P E [43], Marino G., Takahashi W [64] − [66], Xu H K [47], [48], nghiên cứu Mục đích đề tài luận án nghiên cứu phương pháp giải để tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ giả co chặt, chứa trường hợp riêng họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Đối với ánh xạ λ-giả co chặt T không gian Hilbert xác định T (x) − T (y) ≤ x−y +λ (I − T )(x) − (I − T )(y) , (0.4) với ≤ λ < 1, Browder F E Petryshyn W.V [14], năm 1967, chứng minh hội tụ yếu phương pháp lặp Mann xn+1 = αxn + (1 − α)T (xn ) (0.5) tới điểm bất động T , λ < α < Năm 1979, Reich S [59] cải tiến kết cho lớp ánh xạ không giãn không gian Banach lồi dãy lặp {xn } xác định theo công thức: xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ) Với điều kiện dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn < αn < (0.6) ∞ n=0 αn (1−αn ) = ∞, tác giả chứng minh hội tụ yếu dãy lặp (0.6) tới điểm bất động ánh xạ không giãn T Ta thấy kết cho hội tụ yếu, chí với ánh xạ không giãn Để nhận hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ không giãn T không gian Hilbert, Nakajo K Takahashi W [52] đề xuất phương pháp lai ghép sau: x0 ∈ C, yn = αxn + (1 − α)T (xn ), (0.7) Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z , Qn = {z ∈ C : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), đây, dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn điều kiện supn≥0 αn < Năm 2007, Marino G Xu H K [48] mở rộng kết Nakajo K Takahashi W [52] cho ánh xạ giả co chặt thu kết hội tụ mạnh dãy lặp tới điểm bất động ánh xạ giả co chặt T không gian Hilbert Sau này, số tác giả khác mở rộng kết cho họ ánh xạ giả co chặt (xem [3], [68], [16], [21]) Năm 2010, Cho Y J [21] giới thiệu phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt không gian Banach sau: x0 ∈ C, xn = αn xn−1 + βn Tn (xn ) + γn un , ∀n ≥ 1, (0.8) C tập lồi đóng khơng gian Banach E, {Tn }∞ n=1 : C → C họ vô hạn ánh xạ giả co chặt, {αn }, {βn } {γn } dãy số thực đoạn [0, 1] cho αn + βn + γn = 1, {un } dãy bị chặn C Với điều kiện thích hợp cho tham số tác giả chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp (0.8) tới điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ giả co chặt {Tn }∞ n=1 Gần đây, toán Song Y L [62], Xu W Wang Y [76] nghiên cứu Trong luận án này, vận dụng phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh để giải tốn tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Phương pháp kết hợp nguyên lý toán phụ, đề xuất Cohen vào năm 1980 phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Phương pháp nguyên lý toán phụ đề xuất để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển: tìm u∗ ∈ C cho F (u∗ ), v − u∗ ≥ v ∈ C, (0.9) F : C → H ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H Khi ánh xạ F khơng có tính đơn điệu mạnh, năm 2000, Baasansuren J Khan A A kết hợp nguyên lý toán phụ với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để phương pháp Nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh Cho họ vô hạn ánh xạ λi -giả co chặt {Ti }∞ i=1 từ tập lồi đóng C khơng gian Hilbert H vào H Giả sử F = ∞ i=1 F ix(Ti ) = ∅, F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ Ti Ta xét tốn: tìm phần tử u∗ ∈ F (0.10) Để vận dụng phương pháp cho toán (0.10), trước tiên xây dựng nghiệm hiệu chỉnh uα , nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: tìm uα ∈ C cho ∞ γi Ai (uα ) + αuα , v − uα ≥ ∀v ∈ C, (0.11) i=1 đây, Ai = I − Ti , α > tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần đến {γi } dãy số thực thỏa mãn điều kiện: ∞ γi > 0; i=1 γi λi = γ < ∞, λi = − λi Thuật toán nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh thiết lập sau: Cho ϕ : H → R phiếm hàm lồi thường khả vi Gâteaux, ∞ với ϕ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz Cho { n }∞ n=0 {αn }n=0 hai dãy số thực dương 90 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương trình bày phương pháp lặp HSD số cải biên phương pháp HSD, để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Phần cuối chương chúng tơi trình bày đề xuất Phương pháp chúng tơi trình bày kết hợp phương pháp HSD với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn mở rộng họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Với phép lặp đề xuất cho kết hội tụ mạnh dãy lặp tới nghiệm bất đẳng thức biến phân với số điều kiện giảm nhẹ so với số phương pháp tác giả khác đề xuất trước Chúng tơi đưa ví dụ đơn giản để làm sáng tỏ phương pháp đề xuất Kết luận chung Luận án đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ không giãn họ ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert • Nghiên cứu kết hợp nguyên lý toán phụ với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để phương pháp ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh • Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp hybrid steepest descent với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann để phương pháp KM-HSD Các kết nhận luận án gồm: Thiết lập thuật toán nguyên lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Xây dựng phương pháp tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt chứng minh hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh Thiết lập thuật toán nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh để xác định phần tử nghiệm bất đẳng thức biến phân đồng thời điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn hay họ vô hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ 91 92 không giãn hay họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Xây dựng thuật toán nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt họ vô hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach Tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Trong luận án chúng tơi xây dựng thuật tốn ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Tại bước lặp sử dụng ánh xạ đơn điệu B = ∞ i=1 γi Ai xác định từ tổng vô hạn ánh xạ Ai , với Ai = I − Ti Vấn đề đặt liệu sử dụng ánh xạ Sn = B= ∞ i=1 γi Ai n i=1 γi Ai thay cho thay cho ánh xạ thuật tốn không? Khi ánh xạ Ti cho xấp xỉ Tih kết thu luận án có tương tự hay khơng? Có thể mở rộng kết Chương trường hợp họ vô hạn không đếm ánh xạ khơng giãn, hay nửa nhóm khơng giãn khơng? Danh mục cơng trình cơng bố có liên quan đến luận án Buong Ng., Thuy N T T., Duong L T (2009), "Regularization for common fixed points of a countably infinite family of non-self strictly pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, 49(1), pp 27-31 Buong Ng., Duong L T (2009), "Regularization auxiliary problem algorithm for common fixed points of a countably infinite family of non-self strictly pseudocontractive mappings", International Journal of Mathematical Analysis, 3(11), pp 535-547 Buong Ng., Duong L T (2011), "An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces", Journal of Optimization Theory and Applications, 3(151), pp 513-524 Buong Ng., Duong L T (2012), "Regularization auxiliary problem algorithm for a common element of the set of solutions for a variational inequality problem and the set of common fixed points for an infinite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Applied Mathematical Sciences, 6(63), pp 3119-3132 93 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kì Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phương pháp toán tử đơn điệu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Acedo G L., Xu H K (2007), "Iterative methods for strict pseudocontractions in Hilbert space", Nonlinear Analysis, 67, pp 2258-2271 [4] Alber Ya I (1975), "On solving nonlinear equation involving monotone operators in Banach spaces", Sibiriaan Mathematics Journal, 26, pp 3-11 [5] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer Verlag [6] Andrews H C., Hunt B R (1977), Digital Image Rrestoration, Englewood Clifs, N.J.: Prentice-Hall [7] Aoyama K., Iiduka H., Takahashi W (2006), "Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications , 2006, pp 1-13 [8] Baasansuren A J., Khan A A (2000), "Regularization auxiliary problem principle for variational inequalities", Computers and Mathematics with applications, 40, pp 995-1002 94 95 [9] Bauschke H H (1996), "The approximation of fixed points of compositions of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 202, pp 150-159 [10] Bauschke H H., Combettes P L., Reich S (2005), "The asymptotic behavior of the composition of two resolvents", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 60, pp 283-301 [11] Berinde V (2007), Iterrative Approximaton of Fixed Points, Springer Verlag Berlin Heidesberg [12] Bnouhachem A., Noor M A., Al-Said E., Khalfaoui M., Zhaohan S (2011), "Extragradient method for variational inequalities", Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp 839-854 [13] Bregman L M (1965), "The method of successive projection for finding a common point of convex sets" , Soviet Mathematics Doklady, 6, pp 688-692 [14] Browder F E., Petryshyn W V (1967), "Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 20, pp 197-228 [15] Buong Ng (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46, pp 354-360 [16] Buong Ng., Son P V (2007), "Regularization extragradient method for common fixed point of a finite family of strictly pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", International Journal of Mathematical Analysis , 1, pp 1217-1226 [17] Buong Ng (2007), "Iterative regularization method of zero order for Lipschitz continuous mappings and strictly pseudocontractive map- 96 pings in Hilbert spaces", International Mathematical Forum, 2, pp 3053-3061 [18] Buong Ng., Anh N T Q (2011), "An implicit iteration method for variational inequalities over the set of common fixed points for a finite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Fixed Point Theory and Applications, 3, pp 535-547 [19] Ceng L C., Yao J C (2008), "Hybrid viscosity approximation schemes for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Applied Mathematics and Computation, 198, pp 729-741 [20] Ceng L C., Yao J C., Ansari Q H (2010), "Hybrid pseudoviscosity approximation schemes for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 4, pp 743-754 [21] Cho Y J., Kang S M., Qin X (2010), "Strong convergence of an implicit iterative process for an infinite family of strict pseudocontractions ", Bulletin of the Korean Mathematical Society, 47, pp 1259-1268 [22] Cohen G (1980), "Auxiliary problem principle and decomposition of optimization problems", Journal of Optimization Theory and Applications, 32, pp 277-305 [23] Cohen G., Zhu D L (1984), "Decomposition coordination methods in large scale optimization problem: The nondifferentiable case and the use of augmented lagrangians", In Advances in Large Scale Systems, (Edited by J.B Cruz, Jr.) , Jai Press Greenwich, CT, pp 203-266 [24] Cohen G (1988), "Auxiliary problem principle extended to variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 59 , pp 305-325 97 [25] Combettes P L., Hirstoaga S A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 6, pp 117-136 [26] Demoment G (1985) , "Image reconstraction and restoration: Overview of common estimation structures and problems", IEEE Transactions on Acoustics, Speech and signal Processing, 37 pp 243253 [27] Farouq N E (2011), "Psedomonotone variational inequalities: Convergence of the auxiliary problem method", Journal of Optimization Theory and Applications, 111, pp 305-326 [28] Goebel K., Kirk W A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge University Press, Cambridge [29] Hadamard J (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris [30] Halpern B (1967), "Fixed points of nonexpansive maps", Bulletin of the American Mathematical Society, 3, pp 957- 961 [31] Hartman P., Stampacchia G (1966), "On some non-linear elliptic differential-functional equations", Acta Mathematica, 115, pp 271310 [32] Iiduka H., Takahashi W (2004), "Strong convergence theorems for nonexpansive nonself mappings and inverse-strongly monotone mappings", Journal of Convex Analysis, 11, pp 69-79 [33] Ishikawa S (1974), "Fixed points by a new iteration method", Proceedings of the American Mathematical Society, 44, pp 147-150 98 [34] Jung J S (2011), "A general iterative scheme for k-strictly pseudocontractive mappings and optimization problems", Applied Mathematics and Computation, 217, pp 5581-5588 [35] Katsaggelos K (Ed.), (1991), Digital Image Restoration, New York: Springer-Verlage [36] Kim T H., Xu H K (2005), "Strong convegence of modified Mann iterations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 61, pp 51-60 [37] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [38] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York [39] Korpelevich G M (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematcheskie Metody, 12, pp 747-756 [40] Lions J L (1977), "Approximation de point fixed de contraction", Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 284, pp 1357-1359 [41] Lions J L., Stampacchia G (1967), "Variational inequalities", Communications on Pure and Applied Mathematics, 20, pp 493-512 [42] Liu X., Cui Y (2010), "The common minimal-norm fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 73, pp 76-83 [43] Maingé P E (2007), "Approximation methods for common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 325, pp 469-479 99 [44] Maingé P E (2008) , " Extension of the hybrid steepest descent method to a class of variational inequalities and fixed point problems with nonself-mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, 29, pp 820-834 [45] Mann W R (1953), " Mean value methods in iteration", Proceedings of the American Mathematical Society, 4, pp 506-510 [46] Miao Y., Li J (2008), "Weak and strong convergence of an iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Applicable Analysis and Discrete Mathematics, 2, pp 197-204 [47] Marino G., Xu H K (2006), "A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 318, pp 43-52 [48] Marino G., Xu H K (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 329, pp 336-346 [49] Mastroeni G (2000), "On auxiliary principle for equilibrium problems", Technical Report of the department of mathematics of Pisa University, Italy, 3, pp 1244-1258 [50] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 128, pp 191-201 [51] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz continuous monotone mappings", SIAS Journal on Optimization, 26, pp 12301241 100 [52] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 279, pp 372-379 [53] Neumann J V (1949), "On rings of operators Reduction theory" , Annals of Mathematics, 50, pp 401- 485 [54] Noor M A (2003), "Extragradient methods for pseudomonotone variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 117, pp 475-488 [55] Noor M A (2003), "New extragradient-type methods for general variational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 277, pp 379-394 [56] O’Hara J G., Pillay P., Xu H K (2003), "Iterative approaches to finding nearest common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications , 54, pp 1417-1426 [57] Osilike M O., Udomene A (2001), "Demiclosedness principle and convergence theorems for strictly pseudocontractive mappings", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 256, pp 431-445 [58] Rassias T M., Verma R U (2002), "General auxiliary problem principle and solvability of a class of nonlinear mixed variational inequalities involving partially relaxed monotone mappings", Mathematical inequalities and Applications, 5, pp 163-170 [59] Reich S (1979), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings in Banach spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 67, pp 274-276 101 [60] Rhoades B E (1974), "Comments on two fixed point iteration methods", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 196, pp 161-176 [61] Shimoji K., Takhashi W (2001) , "Strong convergence to common fixed points of infinite nonexpansive mappings and applications", Taiwanese Journal of Mathematics, 5, pp 387-404 [62] Song Y L., Hu H Y., Wang Y Q., Zeng L C., Hu C H (2012), "Strong convergence of a new general iterative method for variational inequality problems in Hilbert", Fixed Point Theory and Applications, 2012, doi:10.1186/1687-1812 [63] Stark H (Ed.), (1987), Image revovery: Theory and Application, San Diego, CA: Academic Press [64] Takahashi W (1997), "Weak and strong convergence theorems for families of nonexpansive mappings and their applications", Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska Sectio A, 51, pp 277-292 [65] Takahashi W., Tamura T., Toyoda M (2002), "Approximation of common fixed points of family of finite nonexpansive mappings in Banach spaces", Scientiae Mathematicae Japonicae, 56, pp 475-480 [66] Takahashi W., Toyoda M (2003), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings" , Journal of Optimization Theory and Applications, 118, pp 417-428 [67] Tan K K., Xu H K (1993), "Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration proces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 178, pp 301-308 [68] Wang F., Peng J., Lee H J (2007), "Implicit iteration proces with mean errors for common fixed point of a family of strictly pseudocon- 102 tractive maps", International Journal of Mathematical Analysis, 1, pp 89-99 [69] Wang L., Yao S S (2007) , "Hybrid iteration method for fixed points of nonexpansive mappings", Taiwanese Journal of Mathematics, 5, pp 183-190 [70] Wang F (2011), "Implicit and explicit iterative schemes for variational inequalities and fixed point problems of a countable family of strict pseudo-contractions", Mathematica Aeterna, 1, pp 563-576 [71] Wittmann R (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Archiv der Mathematik,58, pp 486-491 [72] Xu H K (2002), "Iterative algorithms for nonliner operators", Journal of the London Mathematical Society, 66, pp 240-256 [73] Xu H K., Kim T H (2003), "Convergence of Hybrid steepest-descent methods for variational Inequality", Journal of Optimization Theory and Applications, 119, pp 185-201 [74] Xu H K (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", Journal of Optimization Theory and Applications, 116, pp 659- 678 [75] Xu H K (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", Journal of Mathematical Analysis and Applications,298, pp 279-291 [76] Xu W., Wang Y (2012), "Strong convergence of the iterative methods for Hierarchical fixed point problems of an infinite family of strictly nonself pseudocontractions", Abstract and Applied Analysis, 2012, doi: 10.1155/2012/457024 [77] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of 103 nonexpansive mappings", Studies in Computational Mathematics, Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473-504 [78] Yao Y., Chen R., Yao J C (2008), "Strong convergence and certain control conditions for modified Mann iterations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 68, pp 1687-1693 [79] Yao Y., Chen R (2010), "Strong convergence theorems for strict pseudocontractions in Hilbert space", Journal of Applied Mathematics and Computing, 32, pp 69-82 [80] Zeng L C., Ansari Q H., Wu S Y (2006), "Strong convergence theorems of relaxed Hybrid Steepest-Descent methods for variational Inequalies", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 13-19 [81] Zeng L.C., Lin L J., Hao J C., Verma R U (2006), "Auxiliary problem method for mixed variational like inequalities", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 515-529 [82] Zeng L C., Yao J C (2006), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications, 64, pp 2507-2515 [83] Zeng L C., Yao J C (2006), "Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 1293-1303 [84] Zeng L.C., Wong N C., Yao J C (2007), "Convergence analysis of modified hybrid steepest-descent methods with variable parameters for variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 132, pp 51-69 104 [85] Zhou H (2008), "Convergence theorems of fixed points for k- strict pseudocontractions in Hilbert space", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 69, pp 456-462 [86] Zhu D L., Marcotte P (1995), "Coupling the auxiliary problem principle with descent methods of pseudoconvex programming", European Journal of Operational Research, 83, pp 670-685 ... 1.2 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động cho họ ánh xạ giả co chặt Trước trình bày số phương pháp lặp để tìm điểm bất động cho họ ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert, giới thiệu ánh xạ giả. .. lặp để tìm điểm bất động cho họ ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert Chương dành cho việc trình bày phương pháp ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt họ vô hạn ánh xạ khơng... Takahashi W [52] cho ánh xạ giả co chặt thu kết hội tụ mạnh dãy lặp tới điểm bất động ánh xạ giả co chặt T không gian Hilbert Sau này, số tác giả khác mở rộng kết cho họ ánh xạ giả co chặt (xem [3],