Đang tải... (xem toàn văn)
1 ∫ ∈ ∫ ∫ α MÐĐAU 1 Tongquanvehưîngnghiêncfíuvà lídochonđetài Phépb i e n đ o i t í c h p h â n Phép bien đői tích phân ra đời rat sớm và có vai trò quan trong trong lýthuyet cũng như trong áng dụng đ[.]
1 MÐĐ A U Tongq u a n v e h ỵ n g n g h i ê n c f í u v l í d o c h o n đ e t i Phépb i e n đ o i t í c h p h â n Phép bien đői tích phân đời rat sớm có vai trị quan trong lýthuyet dụng đoi với nhieu ngành khoa hoc, đ°c bi»t cácngànhVªtlý như: quang hoc, đi»n, hoc lượng tả, xả lý âm thanh, xả lýảnh, Phép bien đői tích phân đau tiên nghiên cáu xuat phát tà toánthực te, Fourier J nghiên cáu ve trình truyen nhi»t, phép bien đői nàycódạng ∫∞ √ (1) (Ff) e−ix f(y)dy,y ∈R,f ∈ L1(R) 2π y (x)= −∞ Năm 1942, phép bien đői tích phân Hartley đe xuat m®t thaythe cho phép bien đői Fourier tác giả Hartley R.V.L., nham giải quyet cácbài toán thực te với nhǎng ưu điem m®t so lĩnh vực như: xả lý tín hi»u,xả lý ảnh, xả lý âm thanh, Phép bien đői Hartley hàmfL1(R)đượcchobởicáccôngthácsau ∈ ∫∞ f(x)cas(xy)dx, (2) (H1f)(y)= √ 2π −∞ (H2f)(y) = √ 2π ∫∞ f(x)cas(−xy)dx, (3) −∞ trongđ ó c a s u=cosu+sinulàn h â n c ủ a p h é p b i e n đ ő i t í c h p h â n H a r t l e y Trong thời gian gan đây, có nhieu nghiên cáu ve phép bien đői tíchphân Hartley dụng Năm 2014 tác giả Bouzeffour F nghiên cáu ve phépbienđ ő i H a r t l e y s u y r ® n g αt r ê n L 1(R)v c c n g d ụ n g l i ê n q u a n C ũ n g t r o n g năm2014,nhà toán hoc Yakubovich S.B nghiên cáu ve phép bien đői tích phânHartleyv b i e n đ ő i n g ợ c c ủ a n ó t r ê n n ả a t r ụ c t r o n g k h ô n g g i a n L 2(R+) Đe nghiên cáu khơng gian tuyen tính, ngi ta thng a vo phộp nhõnchêphaycũngoiltớchchêp,khiconhmđthmtacúmđtlpbienitớchphõngoi lphộpbienitớchphõnkieutớchchắp Viằc nghiờn cỏuphộp bien i tớch phõn kieu tớch chắp suy rđng, có the giảiquyetn h ǎ n g b i t o n n g d ụ n g t h ự c t e c ó n h i e u ý n g h ĩ a k h o a h o c h n , c h ȁ n g hạnđ o i v i n h ǎ n g b i t o n c ó n g u o n t h ô n g t i n d ǎ l i » u đ a d n g h n ( v ì t r o n g đȁngt h c n h â n t ả h ó a c ủ a t í c h c h ª p s u y r ® n g đ ợ c k e t h ợ p b i n h i e u p h é p bienđ ő i t í c h p h â n h n ) T u y v ª y , c h o đ e n n a y v a n c h a c ó n h i e u n g h i ê n c u vep h é p b i e n đ ő i t í c h p h â n k i e u t í c h c h ª p s u y r ® n g , c ó t h e k e t ê n n h ǎ n g c n g trìnhnghiêncáuganđây,chȁnghạn • Đoi với phép bien đői tích phân kieu tích chªp suy r®ngkhơng có hàmtrong:Năm 2000, phép bien đői tích phõn kieu tớch chêp suy rđngFourier cosine,Fouriersinetrong khụnggian hmLp(R+),(1< p 1với hàm trongρ(x)và đưa mđt so ỏng dng Hnna,nhúmnghiờncỏuTuanV.K.,DucD.T.vNhanN.D.V.ómrđngbat ng thỏckieutớchchêpoivitớchchêpFouriersangnhieuchieu.Nhên c cỏc bat ng thỏc Saitoh ngc khụng gianR2,Rnvmđtsoỏngdng Ngoira,batngthỏcoivitớchchêpLaplacecngctỏcgiTuan V.K v cỏc cđng s nghiờn cỏu, nhên c bat ng thỏc ngc oi vitớchchêpnyvchoỏngdngtronggiibitoỏntruyennhiằtngc ã Gan õy, nghiờn cỏu ve bat đȁng thác đoi với tích chªp Fourier cosinecủa tác giả Hong N.T cơng bo năm 2010, nhªn bat đȁngthác kieu Young, kieu Saitoh dng õy l ket qu mi mrđng sang tớch chêp khác, đoi với bat đȁng thác ngược dạng nàyvanchưađượcnghiêncáu oi vibat ng thỳc tớch chắp suy rđngliờn quan en phép bien đői Hartleynhư:b a t đ ȁ n g t h c k i e u Y o u n g , k i e u S a i t o h , k i e u S a i t o h n g ợ c , c h o đ e n n a y chưac ó c n g t r ì n h n o c ô n g b o , m ° c d ù c c n g d ụ n g c ủ a n ó c ó v a i t r ò q u a n trongk h i n g h i ê n c u n h ǎ n g v a n đ e n ả y s i n h t m ® t s o b i t o n t h ự c t i e n D o đó, mục tiêu quan tâm nghiên cáu làcác bat đȁng thúc tích chắp suy rđngHartley v mđt so ỳng dng,õy cng l mđt phan quan trong mc ớchnghiờncỏucaluênỏn Mđtỏ n g d ụ n g c ó ý n g h ĩ a k h o a h o c đ o i v i h n g n g h i ê n c u n y l v i » c giảiphươngtrìnhToeplitz-Hankel tőngqtcódạng ∫ f(x)+ ∞ [k1(x+y)+k2(x−y)]f(y)dy=g(x),x>0, (4) trongđóg,k 1,k 2lànhǎnghàmđãbiet,vàflàȁnhàm Gan õy, s dng cụng c tớch chêp, mđt so lp phương trình tích phânToeplitz-Hankel (4) trường hợp đ°c bi»t có the giải cho nghi»mdướid n g đ ó n g C h o đ e n n a y , n g o i t r m ® t s o t r n g h ợ p đ ° c b i » t , b i t o n tìmnghi»mđóngchophươngtrình(4)trongtrườnghợptőngqtva nđanglàbài tốn mở Do đó, dụng theo hướng m®t van đe can đượctieptục quantâmnghiên cáu đâycũng m®t mục tiêu đ°t nghiêncáucácángdụngcủaLuªnán Vìcáclí dotrênvàđetiepnoi,pháttrien hướngnghiêncáunày, chúngtơiđ ãđ ị n h h n g v a n đ e , m ụ c t i ê u c a n n g h i ê n c u v l ự a c h o n đ e t i c h o L uªn án với tên goi "Phép bien đői tích phân kieu tớch chắp suy rđng Hartley v ỳngdng" Mnc c h , đ o i t ñ n g v p h m v i n g h i ê n c f í u • Mcớch: - Xõy dng mđt so tớch chêp suy rđng Hartley Nghiên cáu tính chatcủa tích chªp suy r®ng dụng giải phương trình tíchphânnhânToeplitz-Hankel - Nghiên cáu m®t so bat đȁng thác đoi với tớch chêp suy rđng Hartley,chngh n n h b a t t h c k i e u H a u s d o r f f Y o u n g , k i e u Y o u n g , k i e u S a i t o h vàcácángdụngliênquan - Xây dựng mđt so phộp bien i tớch phõn kieu tớch chêp suy r®ngHartley,nghiêncáucáctínhchattốntảcủacácphépbienđőitíchphân khơng gian hàmL2(R), Lp(R),với1≤p≤2và m®t so ỏngdng ã oitng:XõydngcỏctớchchêpsuyrđngHartley-Fouriercosine,HartleyFouriersine.Nghiờncỏucỏcvaneliờnquanenphộpbienitớchphõnkieutớchchêpsuyr đng,cỏcbatngthỏckieutớchchêpsuyrđngvmđtsoỏngdng ã Phmv i n g h i ê n c u : L c c p h é p b i e n đ ő i t í c h p h â n , c c t í c h c h ê p v cỏctớchchêpsuyrđngliờnquanencỏcphộpbienitớchphõnHartley,Fourier cosine, Fourier sine, cỏc bat ng thỏc tớch chêp v tớch chêp suyrđng,phộpbienitớchphõnkieutớchchêp,kieutớchchêpsuyrđng Phươngp h p n g h i ê n c f í u Trong Luªn án này, sả dụng phương pháp liên quan đen lý thuyet giảitích hàm, phương pháp tích chªp tích chªp suy r®ng đe xây dựng, nghiên cáucáct í c h c h ê p s u y r đ n g m i , c h n g m i n h s ự t o n t i c ủ a c c t í c h c h ê p s u y r đ n g nàycũngnhưtínhbịch°ncủachúng.Ngồira,cịnsảdụngphươngphápbi enđőit í c h p h â n đ e đ n h g i v đ a r a c c t í n h c h a t t o n t ả c ủ a n h ǎ n g k e t q u ả nghiên cáu mới, nham mục đích giải m®t so phương trình tích phân với nhânToeplitzHankel,p h n g t r ì n h v h » p h n g t r ì n h t í c h p h â n , p h n g t r ì n h v h» phươngtrìnhvit í c h p h â n S ả d ụ n g p h n g p h p đ n h g i b a t đ ȁ n g t h c tíchph ân t r o n g k h ô n g g i a nđ e c h n g m in h c c b at đ ȁ n g t h c tí c h p h â n đ o i v i tớchchêpsu yrđngvxõydngcỏcỏnhgiỏnghiằm Caut r ú c v c c k e t q u ả c ủ a L u ª n n Luªn án trình bày 125 trang Ngồi phan mở đau tài li»uthamkhảo,luªngombonchương: Chương1 :N c lại n hǎ n gk i e n thá c liê nq u an đ en h ớn g nghi ên cá u Chương 2: Xây dựng cỏc tớch chêp suy rđng Hartley mi l tớch chêp suyr®ngHartley-Fouriercosine,Hartley-Fouriersine,HartleyFourier,HartleyH1vàH 2.Chángm i n h c c đ ȁ n g t h c n h â n t ả h ó a , đ ȁ n g t h cParseval,địnhlý kieu Titchmarch Áp dụng giải m®t lớp phương trình h» phương trình tíchphân,p h n g t r ì n h v h » p h n g t r ì n h t í c h p h â n v i n h â n T o e p l i t z Hankel Chng3:NghiờncỏumđtsobatngthỏctớchchêpsuyrđngHartleynhbat n g tháckieuHausdorffYoung,kieuYoung,kieuSaitohvàkieuSaitoh ngược.Ápdụngnhǎngketquảđạtđượcđánhgiánghi»mcủaphươngtrìnhtíchphânk ieuTo epl itz -Hankel,phương trìnhv iphânvàm®tsob itoỏnToỏnLý.Chng4 :Xõ ydngc ỏcph ộpbieni tớchph õnkie utớchchêp suy rđng Hartl ey.ChángminhđịnhlýkieuWatson,thietlªpđieuki»ncanvàđủchotínhunitac ủ a c c p h é p b i e n đ ő i t í c h p h â n m i x â y d ự n g t r o n g k h ô n g g i a n L 2(R).Nhªnđư ợc đ ịn h lý P l an ch er el , đ ịn h lý v et í nh b ịc h° n c ủ a to n t ảv i t í ch p h ân , chom i n h h o v e s ự t o n t i c ủ a c c p h é p b i e n đ ő i t í c h p h â n t r ê n b a n g m ® t s o víd ụ c ụ t h e V ª n d ụ n g k e t q u ả m i n h ª n đ ợ c c h o v i » c t ì m n g h i » m đ ó n g c ủ a lớpphươngtrìn hvà h»p hươ ng trìnhv ití chp h ân ,ph ươn gtrình p arabo li cm® t chieu Ýng hĩ a c c k et q u ả đ t đ ñ c t r o n g Lu ªn n Cáck e t q u ả n g h i ê n c u n h ª n đ ợ c l m i , c ó ý n g h ĩ a k h o a h o c t r o n g l ĩ n h vcphộpbienitớchphõnkieutớchchêpsuyrđng,gúpphanlmphongphỳthờm lý thuyet tớch chêp suy rđng oi với phép bien đői tích phân, bat đȁngthác tích chêp suy rđng oi vi cỏc phộp bien i tớch phân Hartley, Fouriercosine, Fourier sine Các ket cho dụng vi»c tìm nghi»m đóngcủa m®t lớp phương trình h» phương trình tích phân Toeplitz-Hankel,phương trình h» phương trình vitích phân, nhªn bieu dien v ỏnhgiỏnghiằmtrongmđtsobitoỏnToỏnLý.Cỏcketquvýtngcaluênỏncút h e s d n g t r o n g n g h i ê n c u c c t í c h c h ª p s u y r ® n g đ o i v i c c p h é p b i e n đőitíchphânkh ác,v ànghi ên cáu b ài tốn qu angphő,xảlýảnh N®id u n g c h í n h c ủ a L u ª n n d ự a t r ê n b o n c ô n g t r ì n h n g h i ê n c u đ ợ c l i » t kê "Danh mực công trình cơng bo Lu¾n án" Trong có 03 cơngtrìnht r o n g d a n h m ụ c c c t p c h í q u o c t e u y t í n I S I , c ô n g t r ì n h t r o n g k yeu H®i nghị Tốn hoc Quoc te Các ket báo cáo toàn bđ haytngphanticỏcHđinghkhoahocvcỏcSeminarsau: ã Cỏch đ i n g h k h o a h o c : - H®inghịQuocteGiảitíchpháchǎuhạnvàvơhạnchieuvàángdụng(ICFIDCA A),thỏng7nm2012tiHNđi - HđinghtoỏnhocViằtPhỏplanthỏ8,thỏng8nm2012tiHue - ihđiToỏnhocTonquoclanthỏ8,thỏng8nm2013tiNhatrang - HđinghToỏnhocQuoctelanthỏIII,thỏng12nm2013tiThnhphoH oChớMinh ã Cỏcs e m i n a r : - SeminarG i ả i t í c h v Đ i s o , T r n g Đ i h o c K h o a h o c T ự n h i ê n Đ i hocQuocgiaHàN®i - SeminarGiảitích,trườngĐạihocBáchkhoaHàN®i CHương1 KIENT H Ứ C C H U A N B ± Trong chương này, nhac lại nhǎng kien thác biet s dng cho nghiờncỏucaluênỏnnh: ã Trỡnh by cỏc khỏi niằm tính chat ve tích chªp tích chêp suyrđng liờn quan en cỏc phộp bien i tớch phõn, cng nh quỏ trỡnh phỏttriencahngnghiờncỏu ã Nhacl i mđ ts ođ ị nh l ý l i ê n q ua nđ en c c k e tq u ả n g h i ên c áu tro n g lu ên ỏn,chnghnlnhlýWiener-Lộvy,nhlýnđisuyRiesz ã Nhac li mđt so bat đȁng thác tích phân biet, định lý ve bat ngthỏcoivitớchchêpliờnquanenhngnghiờncỏucaluênỏn Cỏcbatngthỏcquantrongcsdngtrongch ỏngminhmđtso ketqunghiờncỏuvỏngdngcaluênỏnlbatngthỏcHăoldervbatngt hỏcHăolderngcsauõy nhl ý ( B a t đ a n g t h f í c H o l d e r ) Giảs ủ p , q>1s a o c h o + p 1.Khiđ ó v i m o i f ∈ Lp(X),g∈Lq(X),tac ó q= ∫ |f(x)g(x)|dµ≤ ! p1 ∫ X |f|dp µ ! 1q ∫ · q |g|dµ (1.1) X X Hayt a c ú : fgL1(X) fLp(X)ÃgLq(X) nhlý1.0.2(BatangthfớcHăolderngủc).Chohaihmdng fvgthúamón 00 (2.37) Ketluênchng2 Chngnyótcmđtsoketqusau: ã XõydngcỏctớchchêpsuyrđngmiHartley-Fouriersine(f ),Hartley1g Fouriercosine(f ),Hartley-Fourier(f )vcỏctớchchêpsuyrđng H Fg 2g Hartley(f g),(f g) H 11 H 12 • Cháng minh đȁng thác nhân tả hóa, đȁng thác Parseval, tính khơngcó ước khơng định lý kieu Titchmarch, tích chêp suyrđngHartley-Fouriersine,Hartley-Fouriercosine ã Nhên c nh lý kieu Wiener-Lộvy oi với phép bien đői tích phânHartley • Trong phan dụng, xây dựng giải m®t so lớp phương trình h»phương trình tích phân, phương trình h» phương trình tích phân nhânToeplitz-Hankel CHương3 BATĐANGTHỨCTÍCHCHŠPSUYRËNGVÀ ỨNGD Ụ N G Mục đích chương3là xây dựng m®t so bat ng thỏc oi vi cỏc tớchchêpsuyrđngf vf ,chỏngminhbatngthỏcngcoivitớch 1g 2g chêpsuyrđngHartleyFouriercosine.pdngketqunhênceỏnhgiỏnghiằmcamđtsobitoỏnToỏn -Lý Nđi dung ca chng ny da vo cỏc ket nghiên cáu [3, 4], trong"Danhmực cơng trình ó cụng bo ca Luắn ỏn", ú cú mđt ket đượccơngbotrongtạpchíquocteuytínISI 3.1 Bat thfíc Hausdorff - Young Tas ě c h n g m i n h b a t đ ȁ n g t h c H a u s d o r f f Y o u n g đ o i v i p h é p b i e n đ ő i tíchphânHartley Địnhlj3.1.1(Batđangthfíckieu Hausdorff -Young).G i ả sủf∈Lp(R), với1 ,t h o ả m ã n đ i e u 1