PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS CAO VIÊN ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Bài (5,0 điểm) 2 3 1) Cho a, b, c, d số khác 0, thỏa mãn điều kiện: b ac; c bd ; b c d 0 a b3 c3 a 3 d Chứng minh rằng: b c d 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với : : sau chia theo tỉ lệ : : nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà lớp mua Bài (6,0 điểm) 1) Cho hai đa thức : A 5 xy x 3x y y B 5 x 13 xy y x y Tính A B; A B 2) Cho đa thức f ( x) m x 2m a) Tìm nghiệm f x m 1 b) Tìm giá trị m f x có nghiệm c) Tìm giá trị m f x có nghiệm ngun, tìm nghiệm ngun Bài (2,0 điểm) Tìm GTNN biểu thức A x 2013 x 2014 x 2015 Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MA Chứng minh rằng: a) AC EB AC / / BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE 50 ; MEB 25 Tính HEM BME d) Từ H kẻ HF BE F BE CMR: HF BE BH HE ĐÁP ÁN Câu b ac; c bd 1) Từ giả thiết: a b3 c3 a b3 c3 3 3 3 (1) 3 b c d b c d Ta có: a b c b c d a3 a a a a b c a (2) b b b b b c d d Lại có: a b3 c a 3 b c d d Từ (1) (2) : 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x x * Số gói tăm dự định chia cho lớp A,7 B,7C lúc đầu a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x a ; b ; c (1) 18 18 18 Ta có: 18 Số gói tăm sau chia cho lớp a ', b ', c ' ta có: a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 4x 5x x 6x a ' ;b ' ;c ' (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có: a a ', b b ', c c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu 6x 7x x 4 4 x 360 90 Vậy c ' c 4 hay 15 18 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu 2 2 1) A B 18 xy x y 10 y 11x A B xy 3x y y x 2) a) m 1 f x x 2.1 x f x 0 x 0 x Vậy nghiệm f x m 1 b) Khi f x có nghiệm 4, ta có: m 2m 0 2m 0 m Vậy m 5 c) f x có nghiệm f x 0 m x 2m 0 m x 2m 0 m x 2m Nếu m 0 m 2 , ta x 0( ktm) Nếu m 0 m 2 x 2m m m x nguyên m U (1) 1;1 *) m m 1 x *) m 1 m 3 x Vậy m 1 x 1; m 3 x Câu A x 2013 x 2015 x 2014 A x 2013 x 2015 x 2014 2 x 2014 2 A 2 x 2013 x 2015 0 x 2014 0 2013 x 2015; x 2014 x 2014 Vậy MinA 2 x 2014 Câu A I M B H K C Q F E a) Xét AMC EMB có: AM ME ( gt ); AMC EMB (đối đỉnh); BM MC ( gt ) AMC EMB c.g.c AC EB MAC MEB góc vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE Suy AC / / BE b) Xét AMI EMK có: AM EM ( gt ); MAI MEK AMC EMB ; AI EK ( gt ) Nên AMI EMK (c.g.c) , mà AMI IME 180 (tính chất kề bù) EMK IME 1800 Ba điểm I , M , K thẳng hàng 900 BHE H c) Trong tam giác vuông HEB 900 HBE 900 500 400 HEM HEB MEB 400 250 150 có HBE 50 BME góc ngồi đỉnh M HEM 0 Nên BME HEM MHE 15 90 105 (định lý góc ngồi tam giác) d) Tam giác BHE vuông H nên BE HE; EF HE , BE tồn điểm Q nằm B F cho QE HE Ta có QHE cân E nên HQE QHE BHQ QHE 900 BHQ QHF Mà HQE QHF 90 Kẻ QJ BH Ta có: QJH QFH (ch gn) HF JH , BQ BJ Do đó: FH BE FH BQ QE JH BJ HE HB HE Vậy FH BE HB HE