Bài giảng toán cao cấp 2 (phần giải tích) bài 3 nguyễn phương

Tốn cao cấp - Phần Giải tích Bài Hàm nhiều biến Nguyễn Phương Bộ mơn Tốn kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 12 tháng 12 năm 2022 NỘI DUNG HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Giới hạn Liên tục ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Định nghĩa Đạo hàm riêng cấp cao Hàm khả vi vi phân toàn phần Đạo hàm hàm hợp Đạo hàm hàm ẩn CỰC TRỊ Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc Cực trị có điều kiện ràng buộc 3 15 17 17 19 21 25 29 31 31 39 Ứng dụng kinh tế Ý nghĩa biên tế Hệ số co dãn Tối ưu kinh tế 46 46 47 48 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho D ⊆ Rn Ánh xạ f: D −→ Rn (x1 , , xn ) 7−→ z = f (x1 , , xn ) gọi hàm số n biến Hình 1.1: Hàm n biến Ví dụ 1.1 f (x1 , x2 ) = x1 + x1 x2 + ←− hàm biến p f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 ←− hàm biến x1 + x3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ←− hàm biến HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa y z z = f (x, y) (x, y) x O D (a, b) f (a, b) HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Đồ thị hàm hai biến tập hợp điểm không gian 3–chiều xác định sau: Gf = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D} Ví dụ 1.2 Đồ thị hàm số z = f (x, y) = sin(x + y) 1 −1 0.2 0.5 0.4 0.6 0.8 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Ví dụ 1.3 Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 20 −4 −2 0 −5 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Ví dụ 1.4 Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 − y2 20 −20 −4 −2 0 −5 HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn Định nghĩa 1.3 Cho z = f (x, y) hàm hai biến M0 (x0 , y0 ) thuộc miền xác định f Giới hạn f (x, y) (x, y) tiến (x0 , y0 ) L, ký hiệu lim f (x, y) = L, (x,y)→(x0 ,y0 ) với ϵ > 0, tồn δ > cho điểm M (x, y) thuộc đĩa mở có tâm (x0 , y0 ), bán kính δ (x, y) ̸= (x0 , y0 ), |f (x, y) − L| < ϵ Hàm số z = f (x, y) có giới hạn L (x, y) dần đến (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) giá trị hàm số M (x, y) dần đến L HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ Giới hạn
sin x2 + y 1.5 Xét giá trị hàm số f (x, y) = (x, y) → (0, 0) x2 + y y x −1, −0, −0, 0, 0, 1, −1, −0, −0, 0, 0, 1, 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829 0, 841 0, 990 1, 000 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455 1, 000 0, 990 0, 841 Bảng 1: Bảng giá trị hàm số f (x, y) =
sin x2 + y Vậy lim = x2 + y (x,y)→(0,0) 10 sin x2 + y x2 + y
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi vi phân toàn phần Định nghĩa 2.3 Cho hàm z = f (x, y) (x0 , y0 ) điểm miền xác định Hàm f gọi khả vi (x0 , y0 ) số gia toàn phần ∆f (x0 , y0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) biễu diễn dạng ∆f (x0 , y0 ) = A∆x + B∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y A, B số, ε1 ε2 → (∆x, ∆y) → (0, 0) ∂f ∂f ∂x , ∂y liên tục A, ∂f (x∂y0 ,y0 ) = B Định lý 2.2 Nếu hàm số z = f (x, y) có đạo hàm riêng (x0 , y0 ) z = f (x, y) khả vi (x0 , y0 ) ∂f (x0 ,y0 ) ∂x = Định nghĩa 2.4 Đại lượng df (x0 , y0 ) = fx′ (x0 , y0 )∆x + fy′ (x0 , y0 )∆y gọi vi phân hàm z = f (x, y) (x0 , y0 ) Vì dx = ∆x, dy = ∆y nên df (x0 , y0 ) = fx′ (x0 , y210 )dx + fy′ (x0 , y0 )dy ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi vi phân tồn phần Cơng thức vi phân cần nhớ df = fx′ dx + fy′ dy ←− Vi phân cấp hàm biến df = fx′ dx + fy′ dy + fz′ dz ←− Vi phân cấp hàm biến Ví dụ 2.3 Tính vi phân hàm số sau: f (x, y) = x4 − 5x3 y + 2y y x f (x, y) = + + x y f (x, y) = e−xy f (x, y, z) = p z x2 + y2 22 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi vi phân toàn phần ∆z ≈ fx′ (x0 , y0 )dx + fy′ (x0 , y0 )dy Cơng thức tính gần giá trị hàm hai biến vi phân toàn phần f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 ) Ví dụ 2.4 Tính gần 1, 023,01 Giải: Chọn hàm z = xy ta có dz = yxy−1 ∆x + xy lnx∆y Với x = 1, ∆x = 0, 02, y = 3, ∆y = 0, 01 ta có dz = × × 0, 02 + × ln × 0, 01 = 0, 006 Do đó, 1, 023,01 = z(1 + ∆x, + ∆y) = z(1, 1) + dz ≈ 11 + 0, 06 = 1, 06 23 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi vi phân toàn phần Định nghĩa 2.5 Vi phân toàn phần vi phân toàn phần dz hàm số z = f (x, y) gọi vi phân toàn phần cấp hàm số z = f (x, y) ký hiệu d2 z d2 f Kí hiệu dx2 = (dx)2 , dy = (dy)2 , ta có: ′′ ′′ ′′ d2 z = zxx dx2 + 2zxy dxdy + zyy dy Ví dụ 2.5 Tìm vi phân tồn phần cấp hàm số sau: z = f (x, y) = 2x2 − 3xy − y 24 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm hợp Định nghĩa 2.6 Hình 2.2: Hàm hợp 25 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm hợp Trường hợp (Đạo hàm hàm hợp)   f = f (u, v), ∂f du ∂f dv df u = u(x), = + ⇒ fx′ = fu′ u′x + fv′ vx′  dx ∂u dx ∂v dx v = v(x), Ví dụ 2.6 Cho f = f (u, v) = u3 v + ln(uv), u = ex , v = sin2 x Tính fx′ 26 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm hợp Trường hợp (Đạo hàm hàm hợp)  "  f = f (u, v), fx′ = fu′ u′x + fv′ vx′ u = u(x, y) ⇒ fy′ = fu′ u′y + fv′ vy′  v = v(x, y), ∂f ∂x ∂f ∂y = = ∂f ∂u ∂u ∂x ∂f ∂u ∂u ∂y ∂v + ∂f ∂v ∂x ∂f ∂v + ∂v ∂y Ví dụ 2.7 Cho f = f (u, v) = euv , u(x, y) = x2 + y2 , v(x, y) = xy Tính fx′ , fy′ 27 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm hợp Trường hợp (Đạo hàm hàm hợp)  ∂f ∂f dy df f = f (x, y) = + ⇒ y = y(x) dx ∂x ∂y dx √ Ví dụ 2.8 Cho f = f (x, y) = exy + x2 y, y = y(x) = ln x + + x2 Tính ∂f df , ∂x dx 28
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm ẩn Định nghĩa 2.7 Cho phương trình F (x, y) = Nếu tồn ánh xạ y = y(x) cho F (x, y(x)) = ta nói y = y(x) hàm ẩn xác định F Đạo hàm hàm ẩn yx′ = − Fx′ Fy′ Ví dụ 2.9 Tìm yx′ biết y = y(x) hàm ẩn xác định từ phương trình ey = x + y Giải: Ta có: ey = x + y hay F (x, y) = ey − x − y = suy Fx′ = −1,Fy′ = ey − nên yx′ = − Fx′ 1 = y = ′ Fy e −1 x+y−1 29 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm ẩn Định nghĩa 2.8 Cho phương trình F (x, y, z) = Nếu tồn ánh xạ z = z(x, y) cho F (x, y, z(x, y)) = ta nói z = z(x, y) hàm ẩn xác định F Đạo hàm hàm ẩn zx′ = − Fx′ , Fz′ zy′ = − Fy′ Fz′ Ví dụ 2.10 Cho z = z(x, y) xác định xyz = x + y + z Tìm Giải: Ta có: xyz = x + y + z hay F (x, y, z) = xyz − x − y − z = ∂F ∂F ∂F Do = yz − 1, = xz − 1, = xy − ta ∂x ∂y ∂z ∂F ∂z yz − ∂x = − ∂F =− ∂x xy − ∂z ∂y ∂z xz − = − ∂F =− ∂z ∂y xy − ∂ 30 ∂z ∂z , , dz ∂x ∂y CỰC TRỊ Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc Định nghĩa 3.1 Cho (x0 , y0 ) thuộc miền xác định D ⊆ R2 z = f (x, y) f (x, y) đạt cực tiểu (địa phương) (x0 , y0 ) tồn lân cận V ⊆ D cho f (x, y) > f (x0 , y0 ) ∀(x, y) ∈ V \{(x0 , y0 )} f (x, y) đạt cực đại (địa phương) (x0 , y0 ) tồn lân cận V ⊆ D cho f (x, y) < f (x0 , y0 ) ∀(x, y) ∈ V \{(x0 , y0 )} Hàm f (x, y) đạt cực đại cực tiểu điểm (x0 , y0 ) ta nói hàm đạt cực trị điểm (x0 , y0 ) Định nghĩa 3.2 Cho (x0 , y0 ) thuộc miền xác định D ⊆ R2 z = f (x, y) f (x, y) đạt cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) (x0 , y0 ) f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ) ∀(x, y) ∈ D f (x, y) đạt cực đại toàn cục (giá trị lớn nhất) (x0 , y0 ) f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) ∀(x, y) ∈ D 31 CỰC TRỊ Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc Định nghĩa 3.3 (Điểm dừng) Điểm (x0 , y0 ) ∈ R2 gọi điểm dừng hàm số z = f (x, y) z = f (x, y) có tất đạo hàm riêng cấp (x0 , y0 ) Định lý 3.1 (Điều kiện cần cực trị) Nếu hàm số z = f (x, y) đại cực trị (x0 , y0 ) có đạo hàm riêng (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) điểm dừng hàm số z = f (x, y) Định lý 3.2 (Điều kiện đủ cực trị) Nếu hàm số z = f (x, y) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm dừng (x0 , y0 ) Đặt ′′ ′′ ′′ A = fxx (x0 , y0 ) , B = fxy (x0 , y0 ) , C = fyy (x0 , y0 ) , đó: Nếu ∆ = AC − B > A < (x0 , y0 ) điểm cực đại hàm số z = f (x, y) Nếu ∆ = AC − B > A > (x0 , y0 ) điểm cực tiểu hàm số z = f (x, y) Nếu ∆ = AC − B < (x0 , y0 ) không điểm cực trị hàm số z = f (x, y) 32 CỰC TRỊ Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc Các bước tìm cực trị tự z = f (x, y) Xác định điểm dừng f (x, y):  ′ fx (x0 , y0 ) = ⇔ Q(x0 , y0 ) fy′ (x0 , y0 ) = Tính , với ′′ ′′ ′′ A = fxx (x0 , y0 ) , B = fxy (x0 , y0 ) , C = fyy (x0 , y0 ) Kết luận  ∆>0 : Hàm số đạt cực tiểu Q(x0 , y0 ) A>0  ∆>0 : Hàm số đạt cực đại Q(x0 , y0 ) A