Bài giảng toán cao cấp 2 (phần giải tích) bài 1 nguyễn phương

Tốn cao cấp - Phần Giải tích Bài Hàm biến số Nguyễn Phương Bộ mơn Tốn kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày tháng năm 2023 NỘI DUNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 11 HÀM SỐ LIÊN TỤC 30 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 36 ĐẠO HÀM CẤP CAO 50 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 52 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tìm giới hạn hàm có dang vơ định Cơng thức Taylor - Maclaurin Sự biến thiên hàm số Cực trị hàm số 59 59 64 74 75 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Giá trị biên tế (Marginal quantity) Độ co dãn (Elasticity) Tối ưu kinh tế 83 83 89 92 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Từ hàm thường sử dụng đàm luận tác động liên đới, thấy câu phản hồi sau tìm kiếm Google cụm từ "là hàm của": "Hiểu biết hàm kinh nghiệm." "Dân số loài người hàm lượng cung thực phẩm." "Tự hàm trạng thái kinh tế quốc gia." Điểm chung phát biểu đại lượng hay đặc tính (hiểu biết, dân số, tự do) phụ thuộc vào đại lượng khác (kinh nghiệm, lượng cung thực phẩm, trạng thái kinh tế quốc gia) Đây chất khái niệm hàm tốn học Nói cách đơn giản, hàm gồm có hai tập hợp quy tắc liên kết phần tử tập hợp với phần tử tập hợp C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y (ký hiệu f : X → Y ) phép tương ứng liên kết với phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y , phần tử y gọi ảnh phần tử x, ký hiệu y = f (x) f: X x → → Y y = f (x) f x X gọi tập hợp nguồn Y gọi tập hợp đích y gọi ảnh x qua f f (x) C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Với y ∈ Y , tập X gồm phần tử có ảnh qua ánh xạ f y, gọi ảnh ngược (tạo ảnh) phần tử y qua f , ký hiệu f −1 (y) f −1 (y) = {x ∈ X|f (x) = y} Với tập A ⊂ X, tập Y gồm phần tử ảnh x ∈ A qua ánh xạ f gọi ảnh tập A ký hiệu f (A) f (A) = {f (x)|x ∈ A} Với tập B ⊂ Y , tập X gồm phần tử x có ảnh f (x) ∈ B gọi ảnh ngược (tạo ảnh) tập B ký hiệu f −1 (B) f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Định nghĩa 1.2 Cho D ⊆ R Ánh xạ f : D −→ R x 7−→ y = f (x) gọi hàm số biến - Miền xác định: ? - Miền giá trị: ? C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Ví dụ 1.1 Cho hàm số f (x) = x3 + x2 Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1) Ví dụ 1.2 - Hàm cung: QS = f (P ) = cP + d - Hàm cầu: QD = f (P ) = aP + b C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Hình: Các cách hiểu hàm số 10 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Định lý 7.7 Cho hàm số y = f (x) khả vi cấp n điểm gần x0 thoả mãn f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = = f (n−1) (x0 ) = f (n) (x0 ) ̸= Khi đó, Nếu n chẵn f (n) (x0 ) > f (x) đạt cực tiểu địa phương x0 Nếu n chẵn f (n) (x0 ) < f (x) đạt cực đại địa phương x0 Nếu n lẻ f (x) khơng đạt cực trị địa phương x0 Ví dụ 7.11 Tìm cực trị hàm số f (x) = x3 − 3x2 + (nếu có) 79 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Lời giải Ta có Hàm số f (x) liên tục R f ′ (x) = 3x(x − 2) f ′ (x) = ⇐⇒ 3x(x − 2) = ⇐⇒  x=0 x=2 f ′′ (x) = 6x − Với x = : f ′′ (0) = −6 < Với x = : f ′′ (2) = > Hàm số f (x) đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = 81 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Giá trị lớn nhỏ hàm số y = f (x) miền [a, b] Kiểm tra tính liên tục hàm f (x) [a, b] Giả sử x1 , , xn ∈ [a, b] nghiệm f ′ (x) = Tính f (a), f (x1 ), , f (xn ), f (b) Kết luận:  f (x) = f (a), f (x1 ), , f (xn ), f (b) [a,b]  max f (x) = max f (a), f (x1 ), , f (xn ), f (b) [a,b] Ví dụ 7.13 Tìm GTLN GTNN hàm số sau: f (x) = 2x3 + 3x2 − đoạn [−1/2, 1] √ f (x) = − x2 81 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Ví dụ 7.14 Tìm GTLN GTNN hàm số sau: f (x) = x3 − 3x2 + 1, −1 ⩽ x ⩽ Lời giải Ta có Hàm số f (x) liên tục −1 ⩽ x ⩽  x = ∈ [−1, 2] ′ f (x) = ⇐⇒ 3x(x − 2) = ⇐⇒ x=2∈ / [−1, 2] f (−1) = −3, f (0) = f (1) = −1 Suy fmin = min{f (−1), f (0), f (1)} = −3 fmax = max{f (−1), f (0), f (1)} = 82 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Đạo hàm đại lượng đo tốc độ thay đổi Tốc độ thay đổi trung bình y theo x (trong khoảng từ x0 đến x0 + ∆x) ∆y ∆x Tốc độ thay đổi tức thời (tốc độ thay đổi) y theo x x0 y ′ (x0 ) = lim ∆x→0 Khi ∆x nhỏ ∆y ∆x ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim ∆x ∆x→0 ∆x ≈ y ′ (x0 ) Do đó, ∆y ≈ y ′ (x0 ).∆x Nếu x thay đổi lượng ∆x y thay đổi lượng xấp xỉ y ′ (x0 ) lần lượng thay đổi x Đặc biệt, x thay đổi lượng ∆x = x0 y thay đổi lượng xấp xỉ y ′ (x0 ) 83 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Ví dụ 8.1 Tìm tốc độ thay đổi hàm y = x2 theo x ước lượng x = x = −1 Hãy giải thích kết nhận Ví dụ 8.2 Hàm cầu loại sản phẩm P = 50 − Q2 Tìm tốc độ thay đổi giá với đơn vị sản phẩm Q Giá tăng Q = Giả sử P tính la ($) 84 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Độ thay đổi tuyệt đối, độ thay đổi tương đối Độ thay đổi tuyệt đối: Khi đại lượng x tăng lên ∆x đơn vị ∆x gọi độ thay đổi tuyệt đối x Đô thay đổi tuyệt đối x phụ thuộc vào đơn vị đo x mang ý nghĩa khác tùy theo biến x ∆x Độ thay đổi tương đối: Tỉ số tính % gọi độ thay đổi x tương đối đại lượng x Độ thay đổi tương đối khơng phụ thuộc vào đơn vị đo Ví dụ 8.3 Giá nhà 500 triệu đồng, giá nhà tăng lên 600 triệu đồng ∆x = 600 − 500 = 100 triệu đồng ←− độ thay đổi tuyệt đối ∆x 100 100% = = 20% ←− độ thay đổi tương đối x 500 85 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.1 Cho hàm số y = f (x) Giá trị biên tế y theo x x0 , kí hiệu Mx y(x0 ), lượng thay đổi tuyệt đối biến phụ thuộc y biến độc lập x thay đổi đơn vị ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f ′ (x0 )∆x ∆x nhỏ, ∆y lượng thay đổi tuyệt đối y, ∆x lượng thay đổi tuyệt đối x Khi ∆ = 1, giá trị biên tế tính xấp xĩ đạo hàm y theo x, tức Mx y(x0 ) ≈ f ′ (x0 ) 86 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.2 Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu M Q, đại lượng đo thay đổi sản lượng lao động hay vốn tăng thêm đơn vị √ Ví dụ 8.4 Hàm sản xuất doanh nghiệp Q = f (L) = L Tìm M Q L = 100 5 ′ M Q = (Q)L = √ ⇒ M Q(100) = √ = 0, 25 100 L Định nghĩa 8.3 Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu M C(Q), đại lượng đo thay đổi chi phí C Q tăng thêm đơn vị Ví dụ 8.5 Hàm chi phí sản xuất sản phẩm T C = 0, 0001Q3 − 0, 02Q2 + 5Q + 100 Tìm M C Q = 50 ′ M C = (T C)Q = 0, 0003Q − 0, 04Q + M C = 3, 75 87 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.4 Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu M R, đại lượng đo thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị Ví dụ 8.6 Một sản phẩm thị trường có hàm cầu Q = 1000 − 14P Tìm M R P = 30 P = 40 Hàm doanh thu: T R = P Q = P (1000 − 14P ) = 1000P − 14P , M R = (T R)P = 1000 − 28P ⇒ M R(30) = 160; M R(40) = −120 Hàm lợi nhuận: π = T R − T C = P Q − (F C + V C) Định nghĩa 8.5 Lợi nhuận biên đại lượng đo thay đổi lợi nhuận giá tăng thêm đơn vị hay sản lượng tăng thêm đơn vị Ví dụ 8.7 Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thơng tin có sau: - Hàm cầu P = 600 − 2Q - Hàm chi phí T C = 0, 2Q2 + 28Q + 200 Tìm M π sản lượng Q = 150 88 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.6 Cho hàm số y = f (x) Hệ số co dãn y theo x, kí hiệu εyx , ∆y/y εyx = ∆x/x ∆y/y lượng thay đổi tương đối y, ∆x/x lượng thay đổi tương đối x Ý nghĩa: Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) y x thay đổi 1% Khi ∆x nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế tính xấp xĩ đạo hàm y theo x, tức dy/y x εyx ≈ = f ′ (x) dx/x y 89 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.7 Độ co dãn cầu theo giá, kí hiệu ED , đại lượng đo thay đổi tương đối (%) lượng cầu giá tăng 1% ED = ∆QD /QD % lượng thay đổi lượng cầu ∆QD P = = ∆P/P ∆P QD % lượng thay đổi giá ED ≈ f ′ (P ) P với QD = f (P ) QD Trong trường hợp hàm cầu, QD = f (P ) = aP + b với a < 0, b > 0, ED = a P QD Ví dụ 8.8 Hàm cầu sản phẩm QD = f (P ) = 30 − 4P − P Hệ số co dãn cầu theo giá ED = f ′ (P ) QPD = (−4 − 2P ) QPD Tại mức giá P = 3, ta có: ED = (−4 − 6) 39 = −3, 33 Điều có nghĩa là: mức giá P = 3, tăng giá lên 1% lượng cầu 90 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.8 Độ co dãn cung theo giá, kí hiệu ES , đại lượng đo thay đổi tương đối (%) lượng cung giá tăng 1% ES = ∆QS /QS % lượng thay đổi lượng cung ∆QS P = = ∆P/P ∆P QS % lượng thay đổi giá ES ≈ f ′ (P ) P với QS = f (P ) QS Trong trường hợp hàm cầu, QS = f (P ) = cP + d với c > 0, d > 0, ES = c P QS Ví dụ 8.9 Hàm cung sản phẩm QS = f (P ) = 100P − 100P Hệ số co dãn cầu theo giá ED = f ′ (P ) QPS = 100P −5 100.0,9 Tại mức giá P = 0, 9, ta có: ED = 100.0,9−5 = 1, 06 Điều có nghĩa là: mức giá P = 0, 9, tăng giá lên 1% lượng 91 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Các toán kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa hàm mục tiêu y = f (x), tức chọn x để y đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ Lợi nhuận tối đa Lợi nhuận π = T R − T C đạt giá trị cực đại Ví dụ 8.10 Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thơng tin có sau: - Hàm cầu P = 600 − 2Q - Hàm chi phí T C = 0, 2Q2 + 28Q + 200 a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, giá bán lợi nhuận đạt bao nhiêu? b) Nếu đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ sản lượng giá bán để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi lợi nhuận bao nhiêu? 92 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Bài tốn tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao Giá sử doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại hàng hóa, biết hàm cầu doanh nghiệp mặt hàng QD = D(P ), hàm tổng chi phí C = C(Q) Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Ví dụ 8.11 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại hàng hóa với QD = 656 − P hàm chi phí C(Q) = Q3 − 77Q2 + 1000Q + 100 Tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao 92