Bài giảng toán cao cấp 2 (phần giải tích) bài 2 nguyễn phương

Tốn cao cấp - Phần Giải tích Bài Tích phân hàm biến số Nguyễn Phương Bộ mơn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 18 tháng 12 năm 2022 NỘI DUNG NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa Cơng thức tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Tính chất Các phương pháp tính tích phân 13 13 18 22 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại Tích phân suy rộng loại 27 30 46 Ứng dụng kinh tế Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên Tìm đại lượng kinh tế tích phân xác định 52 52 53 3 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) D F ′ (x) = f (x) Ví dụ 1.1 sin x nguyên hàm cos x x2 nguyên hàm 2x x2 + 2022 nguyên hàm 2x Định lý 1.1 Nếu hàm số F (x) nguyên hàm hàm số f (x) D Hàm số F (x) + C, với C số bất kỳ, nguyên hàm hàm số f (x) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f (x) biểu diễn dạng số F (x) + C, với C số NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho hàm số F (x) nguyên hàm f (x) (a, b) Khi biểu thức F (x) + C với C số gọi tích phân bất định hàm f (x) khoảng (a, b) ký hiệu Z f (x)dx Ví dụ 1.2 R cos xdx = sin x + C R 2xdx = x2 + C Tính chất
′ R R f (x)dx = f (x); 2) F ′ (x)dx = F (x) + C; R R R R R 3) af (x)dx = a f (x)dx; 4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx R R 5) Nếu f (x)dx = F (x) + C f (u)du = F (u) + C, ∀u = u(x) 1) NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Cơng thức tích phân bất định Các cơng thức tính tích phân 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) R xα dx = xα+1 +C α+1 (α ̸= −1) R dx = ln |x| + C x R x ax a dx = +C ln a R x e dx = ex + C R sin xdx = − cos x + C R cos xdx = sin x + C R dx = tan x + C cos2 x Ví dụ 1.3 Tính tích phân sau: 1) R 2) R x3 − dx x2 (x2 + 2x)dx 8) R 9) R 10) R 11) R 12) R dx = − cot x + C sin2 x dx x = arctan + C 2 x +a a a a + x dx +C = ln NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tính tích phân hàm lượng giác Z R(cosx, sinx)dx Đặt t = tan x =⇒ x = arctan t; cos x = dx = 2dt + t2 − t2 2t ; sin x = 1+t + t2 từ ta đưa tích phân tích phân hàm hữu tỉ Trong số trường hợp riêng, ta tìm nột phép thích hợp Nếu R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = sin x Nếu R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = cos x Nếu R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = tan x R Nếu sinq x cosp xdx, đặt t = sin x t = cos x 12 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Ví dụ 2.1 Tìm diện tích miền phẳng S giới hạn đường cong y = f (x) = x2 , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Hình 2.1 13 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Chia S thành miền Hình 2.2 14 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Hình 2.5 Hình 2.6 15 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Cho hàm số f xác định [a, b] phân hoạch đoạn [a, b] với điểm x0 = a < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b Trên miền S1 , S2 , S3 , , Sn lấy tùy ý điểm (tương ứng x∗1 , x∗2 , x∗3 , , x∗n ) 16 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa ∆xi = xi − xi−1  Nếu I = lim ∆xi →0 n P i=1 f (x∗i )∆xi với i = 0, n  tồn không phụ thuộc vào cách chia cách lấy điểm x∗i , I gọi tích phân xác định hàm y = f (x) đoạn [a; b] Ký hiệu: ! Z n b X lim f (x∗i )∆xi = f (x)dx ∆xi →0 a i=1 R : dấu tích phân , a : cận dưới, b : cận trên, f (x) : biểu thức dấu tích phân 17 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất Tính chất 2.1 Với f, g hàm số liên tục 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Rb cdx = c(b − a) với c số Rb cf (x)dx = c a f (x)dx với c số a Rb Rb Rb [f (x) + g(x)]dx = a f (x)dx + a g(x)dx a Rb Rb Rb [f (x) − g(x)]dx = a f (x)dx − a g(x)dx a Rb Rc Rb ∀c ∈ [a; b], a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx Rb Nếu f (x) ≥ a ≤ x ≤ b a f (x)dx ≥ Rb Rb Nếu f (x) ≥ g(x) a ≤ x ≤ b a f (x)dx ≥ a g(x)dx a Rb 18 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất Tính chất 2.2 Với f, g hàm số liên tục 8) Nếu m ≤ f (x) ≤ M với a ≤ x ≤ b b Z m(b − a) ≤ f (x) ≤ M (b − a) a 9) Nếu f (x) lẻ (tức f (−x) = −f (x)) 10) Nếu f (x) chẳn (tức f (−x) = f (x)) Ra f (x)dx = −a Ra −a f (x)dx = Ra 11) Nếu f (x) tuần hoàn chu kỳ T (tức f (x + T ) = f (x)) Z a+T Z f (x)dx = a f (x)dx 19 T f (x)dx TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất Định nghĩa 2.1 (Công thức Newton - Leibnitz) Nếu f (x) liên tục [a; b] Z b f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) a với F (x) nguyên hàm f (x) hay F ′ (x) = f (x) Định lý 2.1 (Công thức đạo hàm theo cận trên) Nếu f (x) liên tục [a; b] với nguyên hàm F (x) Z a x ′ f (t)dt = f (x); φ(x) Z !′ f (t)dt a 20 = f (φ(x))φ′ (x) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Ví dụ 2.2 Tính R3 −1 Tính chất (3x2 − x + 6)dx Ví dụ 2.3 Tính diện tích miền phẳng (R) bị giới hạn đường thằng x = 1, x = 2, trục Ox y = f (x) = x 21 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất Ví dụ 2.4 Tính giới hạn sau R x2 lim x→0+ Giải: Ta thấy, tích phân dạng Z √ sin tdt x3 x → 0+ x3 → 0 x2 sin √ tdt → 0 Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta có R x2 lim x→0+ √ sin tdt = lim+ x→0 x3 R x2 sin √ (x3 )′ sin x = lim+ = x→0 3x 22 tdt ′ √ 2x sin x2 = lim+ x→0 (3x2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tính tích phân đổi biến Nếu Z a Z a b b b f (x)dx = F (x) + C a