127 hsg 10 cap huyen nguyen vinh

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:  a 1  a1  P    a a      a1  a 1 a   a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại  a  2   3 2 Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x x 1 x  1 Câu 3: (2,5 điểm) Cho x, y là các số dương x y  2 a) Chứng minh: y x x y xy M   y x x  y2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 4: (3,0 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2 R ( M khơng trùng với A và B ) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại  I ; tia phân giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại E , cắt IB tại F ; đường thẳng BE cắt AI tại H , cắt AM tại K a) Chứng minh điểm F , E , K , M cùng nằm một đường tròn b) Chứng minh HF  BI c) Xác định vị trí của M nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R ? Câu 5: (1,0 điểm)  2x 1  x    x  3  2x    y 11879 Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Sớ báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:  a 1  a1  P    a a      a1  a 1 a   a) Rút gọn P   a  2 b) Tính giá trị của P tại  3 2 Lời giải  a 0   a 1   a 0 a) Điều kiện   P     a 1  a Vậy P 4a   a a   a  a  1 a  a a a  a  a  1 b) a   a 1  a (1  a  1) 4a a                1      2  3   3   3  31    3   3 Vậy a  đó P 4a 4 Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x x 1 x  1 Lời giải Điều kiện x 1 x x 1  x  1  x 1  Khi (1)  x  1   x 1  x  1 (1) x  1  x  1  x 2 : Ta có x   1 x  1 Phương trình vô nghiệm Khi  x     x     x  : Ta có  1  (1)   x 1 x  1   x  0  x 1 Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 3: (2,5 điểm) Cho x, y là các số dương x y  2 a) Chứng minh: y x x y xy M   y x x  y2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải x y 0 0 a) Vì x > 0, y > nên y và x Áp dụng bất đẳng thức a  b 2 ab dấu "=" xảy  a b x y x y  2 2 y x ta có y x x y  2 y x Vậy x y   x2  y  x  y y x (vì x > 0, y > 0) 3a a M a     a 4 a ta có  Dấu "=" xảy x y a  y x, b) Đặt x y 3a a   2  y x Vì nên ; a a 1  2 2 1 a Ta có a 3a a 5 M a        M   a 2  x  y a 4 a 2; Do đó Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng và chỉ x  y Câu 4: (3,0 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2 R ( M khơng trùng với A và B ) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại  I ; tia phân giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại E , cắt IB tại F ; đường thẳng BE cắt AI tại H , cắt AM tại K a) Chứng minh điểm F , E , K , M cùng nằm một đường tròn b) Chứng minh HF  BI c) Xác định vị trí của M nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R ? x I F M Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: H E TÀI LIỆU TỐN HỌC K A O B Website:tailieumontoan.com  a) Ta có M , E nằm nửa đường tròn đường kính AB nên FMK 90  và FEK 90 Vậy điểm F , E , K , M cùng nằm đường tròn đường kính FK b) Ta có HAK cân tại A nên AH  AK (1) K là trực tâm của AFB nên ta có FK  AB Suy FK // AH (2)       Do đó FAH  AFK mà FAH FAK (gt) AFK FAK Suy AK KF , kết hợp với (1) ta được AH KF (3) Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà AK  IB suy HF  IB c) Chu vi của AMB CAMB MA  MB  AB lớn nhất chỉ MA  MB lớn nhất (vì AB không đổi) Áp dụng bất đẳng thức  MA  MB   a  b 2  a  b  dấu "=" xảy  a b , ta có 2( MA2  MB ) 2 AB Nên MA  MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB và chỉ MA MB hay M nằm giữa cung AB Vậy M nằm giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất Khi đó CAMB MA  MB  AB  AB  AB (1  2) AB 2 R(1  2) Câu 5: (1,0 điểm) x  1  x    x    x    y 11879  x , y Tìm các số tự nhiên biết rằng: Lời giải A   1      3    x Đặt x x x x , ta có A là tích của số tự nhiên x x liên tiếp nên A chia hết cho Nhưng không chia hết cho 5, đó A chia hết cho x  1  x    x  3  x    y  y  Nếu , ta có chia hết cho mà 11879 y  không chia hết không thỏa mãn, suy y 0 Khi đó, ta có 2 x  1  x    x    x    y 11879   x  1  x    x    x    11879   x  1  x    x  3  x   11880   x  1  x    x  3  x   9.10.11.12  x 3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x 3; y 0 là hai giá trị cần tìm …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC