SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2014-2015 Khóa ngày 17 tháng năm 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang Câu 1:(2.0 điểm) a) Rút gọn P = x x − x + 28 x −4 x +8 − + x−3 x −4 x +1 − x (x ≥ 0, x ≠ 16) b) Không sử dụng máy tính, chứng minh Q = 20142 + 20142.20152 + 20152 số nguyên Câu 2:(2.0 điểm) a) Giải phương trình: x + + x − + x − − x − = 2 b) Cho phương trình x + ax + b = có hai nghiệm nguyên dương biết a, b hai số thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm Câu 3:(3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) cố định có đường kính AB cố định CD đường kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt AC AD E,F a) Chứng minh CA.CE + DA.DF = R b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh điểm I nằm đường thẳng cố định Câu 4:(1,5 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =2015 Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a + 2015a + bc b + 2015b + ca c + 2015c + ab Dấu xảy nào? Câu 5:(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh số nguyên bình phương độ dài đường chéo chia hết cho diện tích Chứng minh ABCD hình vuông HẾT SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: Toán (Khóa ngày 17 tháng năm 2015) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) Yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh không vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm toàn tổng (không làm tròn số) điểm tất Câu a) Nội dung x x − x + 28 − ( x − 4) − ( x + 1)( x + 8) Ta có: P = ( x + 1)( x − 4) x x − x + 28 − x + x − 16 − x − x − x − = ( x + 1)( x − 4) = x x − 4x − x + ( x − 1)( x − 4) = = x −1 ( x + 1)( x − 4) ( x + 1)( x − 4) b) Điểm 1,0 điểm 0,25 0,25 0,5 1,0 điểm Q = 20142 + 2014 2.20152 + 20152 = 20142 + 20152 − 2.2014.2015 + 20142.20152 + 2.2014.2015 = (2014 − 2015) + 20142.20152 + 2.2014.2015 = 20142.20152 + 2.2014.2015 + = (1 + 2014.2015) = + 2014.2015 Vậy Q số nguyên Trang: - Đáp án Toán 0,5 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 a) ĐK: x ≥ x + + 2x − + x − − 2x − = 2 ⇔ 2x + + 2x − + 2x − − 2x − = ⇔ 2x − + 2x − + + 2x − − 2x − +1 = ⇔ ( x − + 3) + (1 − x − 5) = ⇔| x − + | + |1 − x − |= ⇔ x − + 3+ |1 − x − |= ⇔|1 − x − |= − x − ⇔ − x − ≥ 2x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ 0,25 0,25 a) Gọi x1 , x2 (x1 ≤ x2 ) hai nghiệm nguyên dương phương trình Ta có: x1 + x2 = −a; x1 x2 = b Khi : 5(− x1 − x2 ) + x1 x2 = 22 ⇔ x1 x2 − 5x1 − x2 + 25 = 47 x1 x2 ⇔ ( x1 − 5)( x2 − 5) = 47 ⇔ x1 x 0,25 1,0 điểm 0,25 − =1 − = 47 x1 = ⇔ − = −47 x2 = 52 − = −1 0,5 Khi đó: a = – 58 b = 312 thoả 5a + b = 22 Và phương trình có nghiệm x1 = 6; x2 = 52 0,25 F 3,5 điểm D O A C B M I Trang: - Đáp án Toán E 0,5 Hình vẽ cần dùng để giải câu a cho điểm tối đa a) Trong tam giác vuông ABE có: CA.CE = CB Trong tam giác vuông ABF có: DA.DF = DB Ta có: CA.CE + DA.DF = CB + DB = CD = R b) Ta có: ·ACD = ·ABD · · · · = 900 ; DFB + DBF = 900 ⇒ ·ABD = DFB Mặt khác: ·ABD + DBF · · · Suy ra: ·ACD = DFB ⇒ ECD + DFE = 1800 Vậy tứ giác CDFE nội tiếp c) I giao điểm trung trực CD trung trực EF, I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Gọi M trung điểm EF MI vuông góc với EF nên MI song song với AB · Ta có CAM + ·ACD = ·AEM + ·AFM = 900 Suy ra: AM vuông góc với CD nên AM song song với OI Do AOIM hình bình hành nên IM=AO=R (không đổi) Vậy I thuộc đường thẳng d cố định đường thẳng song song với tiếp tuyến B cách tiếp tuyến khoảng R Ta có: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm 2015a + bc = (a + b + c )a + bc = a(b + c ) + a + bc 0,5 ≥ a(b+c)+2a bc = a ( b + c ) = a ( b + c ) Suy ra: a + a ≤ 2015a + bc a + a a a = = a( b + c) a( a + b + c) a+ b+ c Tương tự: b b c c ≤ ; ≤ b + 2015b + ca a + b + c c + 2015c + ab a+ b+ c Do đó: a b c + + ≤1 a + 2015a + bc b + 2015 + ca c + 2015c + ab 2015 Trang: - Đáp án Toán Dấu xảy a = b = c = 0,5 0,25 0,25 1,0 điểm Gọi a, b hai cạnh hình chử nhật ⇒ a, b ∈ N ( * ) 2 Theo giả thiết ta có: a + b Mab 0,25 Đặt d=(a,b), ta có: a = xd ; b = yd với (x,y)=1, x, y ∈ N * ( ) ( ) 2 2 2 2 * Suy ra: d x + d y Md xy ⇒ x + y Mxy ⇒ x + y = kxy , k ∈ N Ta có: x Mx, kxy Mx ⇒ y Mx ⇒ y Mx (do ( x, y ) = 1) ⇒ y ≥ x Tương tự: x ≥ y , suy x=y nên a=b Vậy ABCD hình vuông Trang: - Đáp án Toán 0,25 0,25 0,25 ... = 20142 + 2014 2 .20152 + 20152 = 20142 + 20152 − 2 .2014. 2015 + 20142 .20152 + 2 .2014. 2015 = (2014 − 2015) + 20142 .20152 + 2 .2014. 2015 = 20142 .20152 + 2 .2014. 2015 + = (1 + 2014. 2015) = + 2014. 2015. .. b+ c Tương tự: b b c c ≤ ; ≤ b + 2015b + ca a + b + c c + 2015c + ab a+ b+ c Do đó: a b c + + ≤1 a + 2015a + bc b + 2015 + ca c + 2015c + ab 2015 Trang: - Đáp án Toán Dấu xảy a = b = c = 0,5 0,25...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: Toán (Khóa ngày 17 tháng năm 2015) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) Yêu cầu