Phòng gd-Đt bình xuyên Trờng thcs lý tự trọng đề thi vô địch lần thứ nhất năm học 2007-2008 Môn thi: Toán 6 Thời gian làm bài 120 phút ,không kể thờ gian giao đề Câu 1. 1) Thực hiện phép tính: ( ) ( ) [ ] { } 83:2:7.6326.45.318.364215.3 ++++ 2) Tính nhanh: ( ) 55 2.172.15:1024 + . Câu 2. 1) Tìm số tự nhiên x biết: 2.77.57 2232 = x 2) Tìm hai số tự nhiên a và n sao cho ( ) 238:39 =+ n a . Câu 3. 1) Cho tập hợp { } .;16;14;13;12;11;9;8;7;6;4;3;2;1 = A . Hãy viết tập hợp A dới dạng chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử của tập hợp đó. 2) Cho tập hợp { } 299536;29463;22789;11570;2008;2007;11 = B . Hãy tìm các phần tử Ba và có dạng a=3b+7 (với b là số tự nhiên). Giải thích cách tìm. Câu 4. 1) Cho 200743210 2 .22222 ++++++= P và 2008 2 = Q . So sánh P và Q. 2) Cho 2007.2:2008 xy = . Nếu x và y đều là số tự nhiên thì y đạt giá trị bé nhất là bao nhiêu. Câu 5. 1) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Hãy vẽ 9 điểm A, B, C, M, N, P, Q, R, S trong cùng một hình và thoả mãn tất cả các điều kiện sau đây: a) A, P, Q thẳng hàng. f) A, B, S thẳng hàng. b) A, M, N thẳng hàng. g) B, C, Q thẳng hàng. c) R, M, C thẳng hàng. h) B, C, N thẳng hàng. d) A, P, R thẳng hàng. i) M, N, R không thẳng hàng. e) M, C, S thẳng hàng. k) B, P, Q không thẳng hàng. 2) Giả sử có một đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q trong hình vẽ 9 điểm trên. Hãy viết tất cả các cặp tia đối nhau có trên đờng thẳng đó (Các tia trùng nhau đợc coi là một tia). ----------------------------------------------------------------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Phòng gd-Đt bình xuyên Trờng thcs lý tự trọng Hớng dẫn chấm thi vô địch lần thứ nhất năm học 2007-2008 Môn thi: Toán 6 A- H ớng dẫn chung: - Hớng dẫn chấm chỉ trình bày vắn tắt một cách giải, nếu thí sinh làm cách khác đúng, các giám khảo thống nhất biểu điểm của hớng dẫn để cho điểm. - Với các ý đáp án cho từ 0,5 điểm trở lên, nếu cần thiết các giám khảo có thể thống nhất để chia nhỏ thang điểm. - Thí sinh làm bài đúng đến đâu, các giám khảo vận dụng thang điểm hớng dẫn cho điểm đến đó (nếu không có chú ý gì thêm). - Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần, không làm tròn. B- Đáp án và biểu điểm: Câu 1 (2 điểm): 1) Thực hiện đúng thứ tự và tính đợc kết quả bằng 3 1 điểm 2) ( ) 55 2.172.15:1024 + = ( ) [ ] 17152:1024 5 + = [ ] 32.2:1024 5 [ ] 12:22.2:2 10105510 === 1 điểm Câu 2 (2 điểm): 1) 2.77.57 2232 = x ; 2232 7.52.77 += x ; )52.(77 232 += x ; 332 77 = x . Suy ra 332 = x => x=3. 1 điểm 2) ( ) 238:39 =+ n a ; ( ) 58:39 =+ n a ; ( ) 4039 =+ n a ; 1 = n a (*) 0.5 điểm Vì a N nên ta xét 3 khả năng: + Nếu a=0 thì không có n thoả mãn (*) + Nếu a=1 thì (*) đúng với mọi n N + Nếu a>1 thì (*) đúng với n=0 (theo quy ớc luỹ thừa). 0,5 điểm Chú ý: Nếu làm theo cách này mà không xét đủ 3 khả năng thì không cho 0,5 điểm. Câu 3 (2 điểm): 1) Viết đợc { } NkkaNaA = ;5/ * 1 điểm 2) Ta có a=3(b+2)+1=3k+1 (với Nk ) tức là a là số tự nhiên chia cho 3 d 1. 0,5 điểm Do đó { } 299536;22789;2008 a 0,5 điểm Câu 4 (2 điểm): 1) Tính 200820074321 22 .22222 ++++++= P 0,25 điểm Ta có QPPP =<=== 2008200802008 212222 hay P<Q. 0,75 điểm 2) Vì y N nên 20082007.2: x và do đó 2 x 0,25 điểm Vì x N nên ta xét ba khả năng: + Nếu x=0 thì y=2008 + Nếu x=1 thì Ny + Nếu x=2 thì y=1. 0,5 điểm Vì 1< 2008 nên y đạt giá trị bé nhất là 1 khi x=2. 0,25 điểm Chú ý: Nếu làm theo cách này mà không xét đủ 3 khả năng thì không cho 0,5 điểm. Câu 5 (2 điểm): 1) Có nhiều hình vẽ đúng theo yêu cầu của đề bài, chẳng hạn: 1 điểm Chú ý: Đờng thẳng xy chỉ dùng cho ý 2 của câu 5. 2) Kí hiệu nh trên hình vẽ ta có 4 cặp tia đối nhau (với các tia trùng nhau đợc coi là một tia) là: Tia Ax và tia Ay; Tia Px và tia Py; Tia Qx và tia Qy; Tia Rx và tia Ry. 1 điểm (Mỗi cặp viết đúng cho 0,25 điểm) y B A q r c N s m x p THI HC SINH GII TRNG NM HC 2014-2015 MễN THI: TON (Thi gian lm bi 120 phỳt) Bài 1:(5 điểm) Tìm số tự nhiên a, b cho : (a + b)3 = aba Tìm tổng sau: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2014.2015 Bài 2:(5 điểm) Tìm x, biết: 2 2 202 + + + + = 40 88 154 x( x + 3) 1540 Chứng minh rằng: 405n + 2405 + m không chia hết cho 10 Bài 3: ( điểm) Chứng minh hai số 2n + 6n + nguyên tố ( n N ) Bài 4:( điểm) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết hai số 2n + 3n + đồng thời hai số phơng Bài 5: (2 điểm)Chứng minh rằng: 1 1 > + + + 1000 1001 2000 Bài 6: (2 điểm) Cho tia OB, OC nằm nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA Gọi OM tia phân giác góc BOC Tính góc AOM, biết AOB = 1000 , AOC = 600 Hớng dẫn chấm Câu Nội dung 100 aba 999 Ta có: 100 (a + b)3 999 a+b Xét trờng hơp a + b có a= 3, b = thoả mãn ta có 3A = 3.( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2014.2015) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 2008.2009.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 -1) + 3.4.(5 - 2) + + 2014.2015.(2016- 2013) Khai triển dùng khử liên tiếp, ta đợc: 3A = 2014.2015.2016 Suy A = 2014.2015.2016:3 = 2014.2015.672= 2 2 202 + + + + = 40 88 154 x( x + 3) 1540 1 1 101 + + + + ) = 2.( 5.8 8.11 11.14 x( x + 3) 1540 1 1 101 + + + + )= Suy ra: 5.8 8.11 11.14 x( x + 3) 1540 3 3 303 + + + + )= 5.8 8.11 11.14 x( x + 3) 1540 Ta có: Sử dụng phơng pháp khử liên tiếp ta đợc 1 303 x =305 = x + 1540 ta thấy 405n có tận 2405 = 2404.2 có chữ số tận Mà m2 chữ số tận 3( Vì m2 số phơng) Suy 405n + 2405 + m không chia hết cho 10 Giả sử d = ƯCLN( 2n + 1, 6n + 5) 2n + 1Md ;6n = 5Md 2n + 1Md 3.(2n + 1)Md 6n + 3Md (6n + 5) (6n + 3) Md 2Md Do d = d = Vì 2n + số lẻ nên 2n + không chia hết cho Vậy d = Suy 2n + 6n +5 nguyên tố Ta có 10 n < 100 nên 21 2n + < 201 Mặt khác 2n +1 số phơng lẻ , 2n + 25; 49; 81; 121; 169 từ n nhận giá trị tơng ứng 12; 24; 40; 60; 84 3n + nhận giá trị 37; 73; 121; 181; 253 Trong số có 121 = 112 số phơng Từ 3n + 1= 121 Suy n = 40 Ta có 1 1 + + + > 1000 = 100 1001 2000 2000 Lần lợt tính Suy BOC = 400 , COM = 200 AOM = AOC + COM = 600 + 200 = 800 1 1 + + + > 100 1001 2000 Kì thi học sinh giỏi cấp trường Môn: Toán 6. ( năm học 2007-2008) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề bài: Bài 1: Chứng tỏ rằng: a) 4 2008 + 4 2007 + 4 2006 chia hết cho 21. b) 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + . + 5 207 + 5 208 chia hết cho 6. Bài 2: Tìm x, biết: a) 360 : ( x – 7 ) = 10 . 3 2 b) x 2 1 3 − x = 7 20 − c) ( x + 5) - ( x - 9 ) = x + 2 d) 2 x + 3 + 2 x = 144 Bài 3: Hiện nay tuổi cha là 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi lúc nào thì tuổi cha gấp 7 lần tuổi con? Bài 4: Một bể có hai vòi nước, vòi thứ nhất chảy 7 giờ thì bể đầy, vòi thứ hai chảy 9 giờ thì bể đầy. Bể đang cạn, nếu mở hai vòi cùng một lúc thì sau 2 1 3 giờ lượng nước có được trong bể bao nhiêu? Bài 5 : Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không, nếu: a) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm. b) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Bài 6: Cho đoạn thẳng MN dài 6 cm. Trên tia MN lấy điểm D sao cho MD = 4 cm. Trên tia NM lấy hai điểm P, Q sao cho: NP = 1 cm, NQ = 4 cm. a) Đường tròn ( Q; 2cm ) có đi qua điểm D không? b) chứng tỏ rằng: Điểm P nằm ngoài đường tròn ( Q ; 2cm ) và nằm trong đường tròn đường kính MN. Đề thi chọn HSG môn toán lớp 6 Năm học 2007 - 2008 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: ( 4 điểm) 1/ Tính tổng các số nguyên x biết: 30x và 1x 2/ Tính tích: 2 2 2 2 A = 1 1 1 1 5 7 9 2009 ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ Bài 2: (5 điểm) 1/ Tìm các số tự nhiên n để phân số 3 5 4 8 n n là phân số tối giản. 2/ Tìm hai chữ số tận cùng của tổng . S = 1 2 3 4 7 7 7 . 7 k + + + + với k N , k 1 Bài 3: (5 điểm). 1/ Cho M = a b c a b b c c a + + + + + với a, b,c là các số nguyên dơng bất kì. Chứng minh rằng M không thể là số nguyên. 2/ Tổng sau có thể là số chính phơng hay không? giải thích? 4 44 444 4444 4 44 444 4444 2007+ + + + ( Trong đó: Số chính phong là bình phơng của một số nguyên) Bài 4: (6 điểm) 1/ Trên đờng thẳng xx lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx vẽ tia Oy sao cho góc xOy < 90 0 . Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOy, cung trên nửa mặt phẳng đó ta vẽ tia On tạo với tia Om một góc 90 0 a) Chứng tỏ tia On là tia phân giác của góc yOx. b) Cho ã ã , 2 3 mOy nOx= . Tính các góc nhọn có trong hình vẽ. 2/ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC . Chứng tỏ rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC Trờng THCS Nguyễn Hiền đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 6(vòng2) môn : toán (thời gian làm bài : 90 phút ) Câu1: Cho tập hợp A = }{ 8;5;1 a/ Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A b/ Hãy chỉ ra tập hợp B gồm các số chẵn có 2 chữ số mà các chữ số lấy trong tập A (mỗi chữ số lấy 1 lần) c/ Trong tập hợp B vừa nêu, hãy chỉ ra các số chia hết cho5, chia hết cho9 Câu 2: Tính bằng cách hợp lý : 1/ A = 262.656157 951 4.369.32.437.6194.12 ++++++ ++ 2/ B = 1.2+2.3 + 3.4 + .+ 99.100 Câu3 : Khi cộng 2 số tự nhiên, một học sinh đã vô ý đặt số nọ dới số kia lệch đi 1 hàng chữ số (đặt chữ số hàng đơn vị của số này dới chữ số hàng chục của số kia) nên đã cộng nhầm thành 5255. Biết rằng tổng đúng là số có 4 chữ số mà số tạo bởi 2 chữ số đầu hơn số tạo bởi 2 chữ số cuối là 7 đơn vị và tổng của 2 số có 2 chữ số tạo thành nh trên là 35. Tìm 2 số mà học sinh đó đã làm phép cộng. PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI : TOÁN Ngày thi 09/04/2015 Thời gian làm 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5 điểm) Tính giá trị biểu thức 15 11 A = − ÷ − − ÷ 10 16 12 15 20 + + + + + 2014 B= 2015.1002 + 2015.5 C= 11.322.37 − 915 4.328 Bài (4 điểm) Tìm x biết 1) x − 2013 − 2014 = 2015 20 20 20 20 2) x − + + + + ÷= 53.55 11 11.13 13.15 15.17 Bài (6 điểm) 1) Cho số x, y nguyên thỏa mãn 621x + 587y M2014 Chứng minh 151x + 253y M2014 12x + 2) Tìm tất số nguyên x để phân số có giá trị số nguyên? 3x − 3) Một số tự nhiên chia cho dư 2, chia cho dư 1, chia cho dư Hỏi số chia cho 60 có số dư bao nhiêu? Bài (3 điểm) · · · · Cho hai góc xOy , yOz kề bù thỏa mãn xOy gấp lần yOz · 1) Tính yOz ? · · 2) Gọi tia Ot phân giác xOy , Om tia đối tia Ot Tính số đo xOm ? Bài (2 điểm) 2013 + + + + + 2014 2014 2013 2012 1 1 B = + + + + 2015 1) Cho A = Tính giá trị A B 2) Cho a, b, c ∈ Z thỏa mãn ab − ac + bc − c = −1 Tính giá trị biểu thức M = a + b ………………Hết ………………… PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI : TOÁN Bài Nội dung Bài 15 11 72 75 25 44 21 A = − ÷ − − ÷= − ÷ − − ÷ 10 16 12 15 20 80 80 60 60 60 40 = − ÷ − ÷ = 80 60 40 + + + + + 2014 2015.1002 + 2015.5 (1 + 2014).2014 : = =1 2015.(1002 + 5) Điểm 1 B= 11.322.37 − 915 4.328 11.329 − 330 = 4.328 329 (11 − 3) = 4.328 329.8 = =6 4.328 1.5 C= Bài 0.5 0.5 0.5 a) x − 2013 − 2014 = 2015 Trường hợp 1: x − 2013 − 2014 =2015 0.5 x − 2013 = 4029 Trường hợp a) x - 2013=4029 x = 6042 Trường hợp b) x - 2013= -4029 x= - 2016 Trường hợp 2: x − 2013 − 2014 =-2015 0.5 0.5 x − 2013 = - x ∈φ Vậy x =6042 x = -2016 0.5 20 20 20 20 b) x − + + + + ÷= 53.55 11 11.13 13.15 15.17 1 1 1 b) x − 10 − + − + + − ÷ = 53 55 11 11 13 13 15 1 x − 10 − ÷ = 11 55 11 x - 10 = 55 11 x= + 11 11 x=1 Vậy x = 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 621x + 587y M2014 ⇒ 3.(621x + 587y) M 2014 1 ⇒ 1863x + 1761y M 2014 Xét tổng (1863x + 1761y) + (151x + 253y) = 2014x + 2014y Ta có 1863x + 1761y M 2014 2014x + 2014y M 2014 Nên suy 151x + 253y M2014 (đpcm) 12x + 12x − + 9 = 4+ = 3x − 3x − 3x − Để P nguyên M3x – Vì x nguyên ta có bảng sau 3x – -1 -3 φ φ φ x 1 P= -9 φ φ Vậy x = thỏa mãn Gọi số x ta có: x chia cho dư 2, chia cho dư 1, chia cho dư Suy x + chia hết cho 3; 4; Hay x + M(3.4.5) x + M60 ⇒ x + = 60k (k ∈ N) x = 60k – x = 60k – 60 +53 x = 60(k – ) + 53 Vậy số dư x chia cho 60 dư 53 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 0.5 · · · · Vì xOy , yOz kề bù nên ta có xOy + yOz = 1800 · · · Mà xOy gấp lần yOz Nên yOz = 1800 ⇒ 0.5 = 450 · yOz 0.5 · Ta có yOz = 450 Nên · xOy = 1350 Ot phân giác · nên xOy · = xOy · xOt = 67,50 Mặt khác Ot, Om 0.5 hai tia đối · xOm = 180 − 67,5 = 112,50 Bài 0.5 nên 0.5 2 2013 + + + + + 2014 2014 2013 2012 1 1 B = + + + + 2015 1) Cho A = Ta có 2013 + + + + + 2014 2014 2013 2012 2013 = + ÷+ + ÷+ + + ÷+ 2014 2013 2015 2015 2015 2015 = + + + + 2014 2013 2015 1 = 2015 + + + ÷ 2015 2 A= Vậy A = 2015 B 0.5 0.5 ab − ac + bc − c = −1 ⇒ a(b – c ) + c(b – c ) = -1 ⇒ (b – c )(a + c) = -1 0.5 Vì a,b,c nguyên nên ta có a + c = b − c = −1 TH1: ⇒M = a + b = a + c = −1 b − c = TH2: ⇒M = a + b = 0.5 Vậy M = Tổng điểm toàn 20 ... = ƯCLN( 2n + 1, 6n + 5) 2n + 1Md ;6n = 5Md 2n + 1Md 3.(2n + 1)Md 6n + 3Md (6n + 5) (6n + 3) Md 2Md Do d = d = Vì 2n + số lẻ nên 2n + không chia hết cho Vậy d = Suy 2n + 6n +5 nguyên tố... 2.3.(4 -1) + 3.4.(5 - 2) + + 2014.2015.(20 16- 2013) Khai triển dùng khử liên tiếp, ta đợc: 3A = 2014.2015.20 16 Suy A = 2014.2015.20 16: 3 = 2014.2015 .67 2= 2 2 202 + + + + = 40 88 154 x( x + 3)... 100 nên 21 2n + < 201 Mặt khác 2n +1 số phơng lẻ , 2n + 25; 49; 81; 121; 169 từ n nhận giá trị tơng ứng 12; 24; 40; 60 ; 84 3n + nhận giá trị 37; 73; 121; 181; 253 Trong số có 121 = 112 số phơng