THÔNG TIN TÀI LIỆU
Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức xy + x xy + x A = x +1 + + 1÷: − − x +1 ÷ xy + 1 − xy ÷ xy − xy + ÷ A Rút gọn biểu thức + =6 x y A Cho Tìm giá trị lớn Câu 2: (5,0 điểm) x + ( m − ) x + m − 2m + = m Tìm để phương trình 1 − = 2 x1 x2 x1 + x2 x1 x2 15m có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn x + y + z = 4 x + y + z = xyz Giải hệ phương trình Cho phương trình Câu 3: (4,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương ( a; b ) ( a b – 1) ( a +b ) cho chia hết cho Tìm Câu 4: x, y , z ∈ ¥ thỏa mãn x+2 = y + z (6,0 điểm) O AB C Cho nửa đường trịn tâm đường kính Một điểm cố định thuộc AO C C O C A đoạn thẳng ( khác khác ) Đường thẳng qua AO D BD vng góc với cắt nửa đường trịn cho Trên cung lấy M M B M D điểm ( khác khác ) Tiếp tuyến nửa đường tròn CD E M F AM cho cắt đường thẳng Gọi giao điểm CD EMF Chứng minh tam giác tam giác cân FDM I Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ba D, I , B điểm thẳng hàng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh góc BD Câu 5: ABI có số đo khơng đổi M di chuyển cung (1,0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn B= x + y = 1 + x + y xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức xy + x xy + x A = x +1 + + 1÷: − − x +1 ÷ xy + 1 − xy ÷ xy − xy + ÷ A Rút gọn biểu thức + =6 x y A Cho Tìm giá trị lớn Lời giải Điều kiện: A= = = ( ( xy ≠ ( x + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) ( xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) ( ( xy + 1) ( − xy ) xy + 1) ( − xy ) x + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) 1+ x = x y + xy xy = x y Dấu xảy ⇔ Câu 2: = ⇒ ≤9 xy xy Theo Cơsi, ta có: maxA = 9, = 6= + ≥2 x y Vậy: : đạt khi: ⇔ x= y= x= y= (5,0 điểm) x + ( m − ) x + m − 2m + = m Tìm để phương trình 1 − = 2 x1 x2 x1 + x2 x1 x2 15m có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn Cho phương trình Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Giải hệ phương trình x + y + z = 4 x + y + z = xyz Lời giải PT cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: ∆ ' > ⇔ ( m − ) − ( m − 2m + ) > ⇔ m < Với m 0) k ∈ ¢, k > a –1 ≥ Vì (do nên từ (4) Do m>0 có: a = k (a − 1) = k (a − 1) = ⇔ a = k = - Với m − = b = b − = ⇔ ( m –1) ( b –1) = ⇔ m − = b = b − = a = Thay vào (3) ta được: a = 1, b = a = 1, b = Vậy, trường hợp ta có: b = m = ( m –1) ( b –1) = ⇔ k = 1) a=2 - Với (vì Thay vào (3) ta có: b = 1, a = 2, b = Khi ta được: a = 2, b = m = 1: a + k = b ⇒ b = Khi Từ (1) suy Lúc được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tóm lại, có cặp ( 1; ) , ( 1; 3) , ( 2; 3) , ( 2; 1) Ta có số ( a; b ) thỏa mãn toán là: x + = y + z ⇔ x + = y + z + yz ⇔ ( x − y − z ) + = yz ⇒ ( x − y − z ) + ( x − y − z ) + 12 = yz yz − ( x − y − z ) − 12 3= 4( x − y − z) x− y−z ≠0 TH1 Nếu Ta có vơ lý x, y , z ∈ ¥ (do nên vế phải (2) số hữu tỷ ) x − y − z = ( 1) ⇔ x− y−z =0 yz = TH2 x = x = y =1 y = z = z = Giải (3) ta thử lại thỏa mãn Câu 4: (6,0 điểm) O AB C Cho nửa đường trịn tâm đường kính Một điểm cố định thuộc AO C C O C A đoạn thẳng ( khác khác ) Đường thẳng qua AO D BD vng góc với cắt nửa đường trịn cho Trên cung lấy M M B M D điểm ( khác khác ) Tiếp tuyến nửa đường tròn CD E M F AM cho cắt đường thẳng Gọi giao điểm CD EMF Chứng minh tam giác tam giác cân FDM I Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh ba D, I , B điểm thẳng hàng ABI Chứng minh góc có số đo không đổi E BD M di chuyển cung Lời giải D I H Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: M TÀI LIỆU TỐN HỌC A F C O B Website:tailieumontoan.com O M AB Ta có thuộc đường trịn tâm đường kính (giả thiết) nên ·AMB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · FMB = 90° hay ·FCB = 90° · · FMB + FCB = 180° Mặt khác (giả thiết).Do · · · ⇒ CBM = EFM ( 1) BCFM CFM Suy tứ giác nội tiếp (vì bù với ) ·CBM = EMF · ( 2) Mặt khác (góc nội tiếp; góc tạo tiếp tuyến dây · · ¼ ⇒ EFM = EMF AM cung chắn ) Từ (1) (2) E EMF Suy tam giác tam giác cân · · · EMF = MBA = MFE (Có thể nhận nên suy EMF cân) · IF D · DIH = DF H IH ⊥ DF Gọi trung điểm Suy · · IF ( I) DMF D Trong đường trịn ta có: góc nội tiếp góc 1· · DMF = D IF tâm chắn cung DF Suy · · · · DMF = DIH DMA = DIH Từ (3) (4) suy hay · · » ( O) DMA = DBA DA Trong đường trịn ta có: (góc nội tiếp chắn ) · · DBA = DIH Suy IH // BC BC EC IH Vì vng góc với nên suy Do o o · · · · D, I , B DBA + HIB = 180 ⇒ DIH + HIB = 180 ⇒ Ba điểm thẳng hàng ⇒ ·ABI = ·ABD = sđ »AD D, I , B Vì ba điểm thẳng hàng ⇒ sđ »AD C D Mà cố định nên cố định khơng đổi BD ABI M Do góc có số đo không đổi thay đổi cung Câu 5: (3,0 điểm) Cho Liên hệ tài 039.373.2038 x, y số thực dương thoả mãn liệu word mơn tốn: x + y = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com B= Tìm giá trị nhỏ biểu thức + x + y xy Lời giải B= Ta có: − xy + = + = ( x + y ) − xy ( x + y ) xy − xy xy xy (1 − xy) xy ≤ ( x + y) =1 4 Theo Côsi: B0 B, x, y Gọi giá trị đó, tồn để: − xy B0 = ⇔ 3B0 ( xy ) – ( + B0 ) xy + = xy (1 − 3xy ) Để tồn x, y (1) phải có nghiệm B ≥ + x, y ⇔ ∆ = B02 – 8B0 + ≥ ⇔ o Bo ≤ − B0 ≥ + B > Để ý với giả thiết tốn Do ta có: + B0 B0 = + ⇒ xy = = + ⇒ x(1 − x) = + B0 6( + 3) 6( + 3) Với ⇔ x2 − x + + = ⇔ x = 6( + 3) Vậy, x= Bmin = + 1− 1+ 3 −1 1− −1 3 ,x= 2 x= , đạt 1+ 3 −1 1− −1 3 , y= 2 3 −1 1+ −1 3 , y= 2 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2 014 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức xy + x xy + x A = x +1 + + 1÷:
Ngày đăng: 30/10/2022, 22:47
Xem thêm: