Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017 Bài 1: (5,0 điểm) x √ x −2 x− √ x +2 x √ x−3 √ x −2 Cho biểu thức: Với x √√ √√ 0, x a) Rút gọn biểu thức P x x+2x− x−2 x x−3 x+2 |5−3x|−|x−1| x−3+|3+2x| x b) Tìm x để c) So sánh: P 2P Bài 2: (4,0 điểm) xy a) Tìm x, y thỏa mãn: b) Cho a; b; c kiện: số nguyên khác thỏa mãn điều 1 1 1 2 2 2 a b c a b c 3 Chứng minh rằng: a b c chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: b) Cho x; y số thực thoả mãn: x y xy x y 10 0 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A x y Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE a B; D; M thẳng hàng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: √ 1+ a Hết -Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài 1: (4,0 điểm) Điều kiện: x √1+b4 0, x ¿ x2 x x1 A : x x x x 1 x x2 x : x x x 1 x x x 1 x1 (√x+2)(√x−1)(√x+1) (√x+2)(√x−1)2 x x 1 x x x 1 x1 x x x 1 b)Với x x1 x x1 : x x 1 x x 1 x2 0, x 2 x x x 1 √ x−1 √ x+1 Ta có: 2 P x x 7 x x 0 x x 1 x ⇔ Vậy P = c)Vì x 0 x nên Vì 0 x 0 x 4 (t/m) x = ( x +1 ) x −1 2 P 2 P( P 2) 0 P P 0 P 2 P x x 1 Dấu “=” xảy P = 2 x+2−x+1 x−1 x=0 Vậy P2 ⇔ 2P Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 2: (4,0 điểm) y x x y x y xy y x x y x y xy 0 x 1 y y x Vì x, y ⇒ Z nên x - Ư(-1) = ⇒ ⇒ +) Nếu x – = ¿ x = Khi 2y2 - y – = - 2(x+1) x−1 Z (loại) ¿ y = (t/m)hoặc y = x− +) Nếu x – = -1 x=0 Khi y y 1 y 1 (t/m)hoặc y 1 Z (loại) ⇔ Vậy 1 1 1 1 0 ab bc ca b)Từ giả thiết a b c a b c Vì a, b, c 0 nên a b c 0 3 a b c a b c a b3 3ab a b c a b3 c3 3abc |3 x−5| Vậy với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx mà khơng chứng minh trừ 0,5 điểm Bài 3: (4,0 điểm) a)Đkxđ: |2 x+3| x 20 x 25 x x 10 x 20 Vì x 20 x 25 x x 0 với Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 ⇔ 10 x 20 0 x 2 x 20 x 25 x x 10 x 20 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x x 10 x 20 x x 10 x 20 x 28 x 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x 4 2 b) x y xy x y 10 0 x y x y 10 y x y x y y 0 x y x y x ; y 0 x y x ; y 0 Vậy Amin x ; y 0 Amax x ; y 0 Bài 4: (6,0 điểm) E M A N B D C Ta có: F (cùng phụ với ) Chứng minh EDC FBC (cạnh góc vng – góc nhọn) CE CF ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM EF * Vì EDC FBC ED FB NCF vng C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC NB.BF a NB.DE (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com * CEF vng C có CM đường trung tuyến nên AEF vng A có AM đường trung tuyến nên CM AM EF EF CM AM M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) Đặt DE x ( x 0) BF x 1 S ACFE S ACF S AEF AF AE CB AB BF AE AD 2 1 a x DE a x x 2 2 S ACFE 3.S ABCD a x x 3a 6a ax x 0 2a x 3a x 0 Do x ; a ; 3a x 2a x 0 x 2a xy A trung điểm DE AE a AN AE 1 Vì AE / / BC nên NB BC N trung điểm AB x y Vậy với N trung điểm AB SACFE 3.S ABCD Bài 5: (1 điểm) a a a c 1 a b a b c * Vì a, b, c nên a b b ba c c b Tương tự: b c a b c ; c a a b c a b c 2 a b b c c a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn (1) tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a a bc a (b c) * Ta có: Vì a, b, c nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a b c a b c a b c a b c 2a a 2a a a b c a b c b c a b c 2b b 2c c a c ; a b c ba Tương tự: a b c a b c 2 bc ac a b Dấu " " xảy a b c ; b c a ; c a b tức a b c (vô lý) a b c 2 bc ac a b (2) Từ (1); (2) ta có đpcm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC