92 hsg 17 thanh hoa dang truong nguyen

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017 Bài 1: (5,0 điểm) x √ x −2 x− √ x +2 x √ x−3 √ x −2 Cho biểu thức: Với x √√ √√ 0, x a) Rút gọn biểu thức P x x+2x− x−2 x x−3 x+2 |5−3x|−|x−1| x−3+|3+2x| x b) Tìm x để c) So sánh: P 2P Bài 2: (4,0 điểm) xy a) Tìm x, y   thỏa mãn: b) Cho a; b; c kiện: số nguyên khác thỏa mãn điều 1  1 1      2 2 2  a b c a b c 3 Chứng minh rằng: a  b  c chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: b) Cho x; y số thực thoả mãn: x  y  xy  x  y  10 0 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A x  y  Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE a B; D; M thẳng hàng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: √ 1+ a Hết -Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài 1: (4,0 điểm) Điều kiện: x √1+b4 0, x ¿   x2 x  x1  A      :  x x  x  x  1  x     x2 x      : x   x  x 1   x  x  x 1     x1   (√x+2)(√x−1)(√x+1) (√x+2)(√x−1)2   x  x 1    x  x  x 1 x1 x  x  x 1 b)Với x x1   x  x1   :  x  x  1  x  x 1  x2 0, x 2  x  x  x 1 √ x−1 √ x+1 Ta có: 2 P    x  x  7  x  x  0 x  x 1   x ⇔ Vậy P = c)Vì  x  0 x   nên Vì  0  x  0  x 4 (t/m) x = ( x +1 ) x −1 2   P 2  P( P  2) 0  P  P 0  P 2 P x  x 1 Dấu “=” xảy P = 2 x+2−x+1 x−1 x=0 Vậy P2 ⇔ 2P Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 2: (4,0 điểm) y x  x  y  x  y  xy  y x  x  y   x  y  xy 0   x  1  y  y  x   Vì x, y ⇒ Z nên x - Ư(-1) = ⇒ ⇒ +) Nếu x – = ¿ x = Khi 2y2 - y – = - 2(x+1) x−1 Z (loại) ¿ y = (t/m)hoặc y = x− +) Nếu x – = -1 x=0 Khi y  y 1  y 1 (t/m)hoặc y 1 Z (loại) ⇔ Vậy 1 1   1 1              0  ab bc ca  b)Từ giả thiết  a b c  a b c Vì a, b, c 0 nên a  b  c 0 3  a  b  c   a  b    c   a  b3  3ab  a  b   c  a  b3  c3 3abc |3 x−5| Vậy với a, b, c  Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x  y  z  3xyz  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  mà khơng chứng minh trừ 0,5 điểm Bài 3: (4,0 điểm) a)Đkxđ: |2 x+3| x  20 x  25  x  x  10 x  20 Vì x  20 x  25  x  x  0 với Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 ⇔  10 x  20 0  x 2 x  20 x  25  x  x  10 x  20 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x   x  10 x  20  x   x  10 x  20  x 28  x 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x 4 2 b) x  y  xy  x  y 10 0   x  y    x  y   10  y   x  y    x  y    y 0    x  y    x  y   x  ; y 0  x  y   x  ; y 0 Vậy Amin  x  ; y 0 Amax  x  ; y 0 Bài 4: (6,0 điểm) E M A N B D C Ta có: F (cùng phụ với ) Chứng minh EDC FBC (cạnh góc vng – góc nhọn)  CE CF  ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM  EF * Vì EDC FBC  ED FB NCF vng C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC NB.BF  a NB.DE (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com * CEF vng C có CM đường trung tuyến nên AEF vng A có AM đường trung tuyến nên CM  AM  EF EF  CM  AM  M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) Đặt DE x ( x  0)  BF x 1 S ACFE S ACF  S AEF  AF  AE  CB    AB  BF   AE  AD  2 1   a  x  DE   a  x  x 2 2 S ACFE 3.S ABCD   a  x  x 3a  6a  ax  x 0   2a  x   3a  x  0 Do x  ; a  ;  3a  x   2a  x 0  x 2a xy A trung điểm DE  AE a AN AE  1 Vì AE / / BC nên NB BC N trung điểm AB x y Vậy với N trung điểm AB SACFE 3.S ABCD Bài 5: (1 điểm) a a a c 1  a b a b c * Vì a, b, c  nên a  b b ba c c b   Tương tự: b  c a  b  c ; c  a a  b  c  a b c   2 a b b c c a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn (1) tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a a  bc a (b  c) * Ta có: Vì a, b, c  nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a   b  c    a  b  c  a b c a  b  c  2a a 2a a    a b c a b c b c a  b  c 2b b 2c c   a c ; a b c ba Tương tự: a  b  c  a b c   2 bc ac a b Dấu " " xảy a b  c ; b c  a ; c a  b tức a b c (vô lý)  a b c   2 bc ac a b (2) Từ (1); (2) ta có đpcm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC