THÔNG TIN TÀI LIỆU
Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4đ) a Chứng minh A = ( 2n − 1) ( 2n + 1) chia hết cho với số tự nhiên n b Tìm số số nguyên n cho B = n2 − n + 13 số phương Câu (5đ) a Giải phương trình: x2 − 2x + = 2 x2 − x + b Giải hệ phương trình: x − y = − xy 2 x + y = 3xy + 11 Câu (3đ) Cho ba số x; y; z thỏa mãn x + y + z = 2010 1 1 x + y + z = 2010 Tính giá trị biểu thức P = ( x 2007 + y 2007 ) ( y 2009 + z 2009 ) ( z 2011 + x 2011 ) Câu (6đ) ( O; R ) AB = R P cố định, Điểm di ( C; R1 ) AB P A B động dây ( khác ) Gọi đường tròn qua Cho đường tròn P dây cung AB tiếp xúc với đường tròn (O;R) A , ( D; R2 ) đường tròn qua P ( C; R1 ) ( D; R2 ) tiếp xúc với đường tròn (O;R) B Hai đường tròn cắt điểm thứ hai M a) Trong trường hợp minh Liên hệ tài 039.373.2038 OM // CD liệu P không trùng với trung điểm dây điểm word môn C ; D; O; M toán: AB , chứng thuộc đường trịn TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AB M di động dây điểm di động MP đường trịn cố định đưởng thẳng ln qua điểm cố định b) Chứng minh N P c) Tìm vị trí lớn nhất? Câu (2đ) P Cho số dương minh rằng: để tích x; y; z PM PN lớn nhất? diện tích tam giác thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 670 AMB Chứng x y z + + ≥ x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 x + y + z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4đ) a) Chứng minh nhiên n A = ( 2n − 1) ( 2n + 1) chia hết cho B = n − n + 13 b) Tìm số số nguyên n cho Lời giải số phương 2n − 1; 2n ; 2n + a) Theo giả thiết n số tự nhiên nên với số tự số tự nhiên liên tiếp Vì tích số tự nhiên liên tiếp chia hết (2 n − 1) 2n ( n + 1) chia hết cho ( ;3) = ( 2n − 1) ( 2n + 1) Mặt khác nên chia hết cho n Vậy A chia hết cho n với số tự nhiên ⇔ 4B b) Ta thấy B số phương số phương 4B = k ( k ∈ ¥ ) Đặt B = 4n − 4n + 52 = k ⇔ ( 2n − − k ) ( 2n − + k ) = −51 Vì n − + k ≥ 2n + + k nên ta có hệ: 2n − + k = 2n − − k = −51 ( 1) : a) c) Câu b) 2n − + k = 51 (3) : 2n − − k = −1 2n − + k = (2) : 2n − − k = −17 2n − + k = 17 (4) : n − − k = −3 d) n = −12; n = −3; n = 13; n = Giải hệ (1) (2) (3) (4) ta tìm n ∈ { −12; −3; 4;13} Vậy số nguyên cần tìm (5đ) a) Giải phương trình: x2 − 2x + = 2 x2 − x + b) Giải hệ phương trình: 2 x − y = − xy 2 x + y = 3xy + 11 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x − x + = 2( x − 1) + ≥ a) Ta có nên tập xác định phương trình R Phương trình cho tương đương với 2x2 − x + − 2x2 − x + + = y = 2x − 4x + ≥ Đặt y =1 y2 − y + = ⇔ y = Với Với y =1 phương trình cho trở thành (thỏa mãn điều kiện) x − x + = ⇔ x2 − x + = ⇔ x = ta có y=3 x = −1 2x2 − 4x + = ⇔ 2x2 − 4x + = ⇔ x = ta có Vậy phương trình cho có nghiệm b) Hệ cho tương đương với x = 1,x = −1,x = 2 2 x + xy − y = 11( x + xy − y ) = 11 x + xy − y = ⇔ ⇔ (*) 2 2 ( x + y )(5 x − y ) = x − xy + y = 11 11( x + xy − y ) = x − xy + y Từ hệ (*) ta suy x + xy − y = (I ) x + y = Giải hệ (I) ta tìm 2 x + xy − y = ( II ) x + y x − y = ( ) ( ) ( x; y ) = (2; −1);( −2;1) Hệ (II) vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( x; y) = (2; −1); ( −2;1) Câu (3đ) Cho ba số x; y; z thỏa mãn x + y + z = 2010 1 1 x + y + z = 2010 Tính giá trị biểu thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn P = ( x 2007 + y 2007 ) ( y 2009 + z 2009 ) ( z 2011 + x 2011 ) tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải Từ giả thiết suy x; y; z khác 1 1 1 1 1 x+ y x+ y ⇔ + ÷+ − + + = + =0 ÷= ⇔ x y z x+ y+ z xy z( x + y + z) x y z x+ y+z ⇔ ( x + y) + = ⇔ ( x + y )( xz + yz + z + xy ) = ÷ xy xz + yz + z ⇔ ( x + y ) [ z ( z + x) + y ( z + x ) ] = ⇔ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) = x 2007 = − y 2007 x + y = x = − y ⇔ z + y = ⇔ y = − z ⇔ y 2009 = − z 2009 z 2011 = − x 2011 x + z = z = − x x 2007 + y 2007 = ⇔ y 2009 + z 2009 = ⇔ P = z 2011 + x 2011 = Câu (6đ) ( O; R ) AB = R P cố định, Điểm di ( C; R1 ) AB P A B động dây ( khác ) Gọi đường tròn qua ( D; R2 ) P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A , đường tròn qua P ( C; R1 ) ( D; R2 ) tiếp xúc với đường tròn (O;R) B Hai đường tròn cắt điểm thứ hai M Cho đường tròn a) Trong trường hợp minh dây cung P AB không trùng với trung điểm dây AB , chứng C ; D; O; M OM // CD điểm thuộc đường tròn P AB M b) Chứng minh di động dây điểm di động MP đường tròn cố định đưởng thẳng qua điểm cố định N Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P c) Tìm vị trí lớn để tích PM PN lớn ? diện tích tam giác AMB Lời giải a) Nối C; O ∆ACP ∆OAB ta có cân nên ; CP PD ; · · · CPA = CAP = OBP CP / / OD ( 1) · · · ∆DPB ∆OAB DPB = DBP = OAB D O Tương tự cân , nên ; ODPC nên OD//CP (2) Từ (1) (2) suy hình bình hành CD OP OP MP H K K Gọi cắt cắt trung điểm Vì tứ giác CDOM hình bình hành nên OC = DP CDOM tứ giác hình thang cân điểm đường trịn b) Xét tam giác AOB có OA2 + OB = R = AB O vuông cân nên tam giác Vì điểm Xét sđ · · MBD = MDC ∆MCD » MP C ; D; O; M nên thuộc OAB M ≡O · · MAB = MCD có: DP = DM = R2 C ; D; O; M thuộc đường tròn (kể nên · · COB = CMD (1) ∆MAB , ) (cùng (C )) (cùng » sd MP ∆MAB ∽ ∆MCD (D)) Nên (g.g) ·AMB = COD · ·AMB = ·AOB = 90° ∆MAB ∽ ∆MCD Vì suy hay AB I AB Do cố định nên điểm M thuộc đường trịn tâm đường kính Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ·ACP = BDP · = ·AOB = 90° Ta có ·AMP = ·ACP = 45° nên (Góc nội tiếp góc tâm 1· · BMP = BDP = 45° ( C) ) ( D) (góc nội tiếp góc tâm ) ·AMB MP Do phân giác ·AMB = ·AOB = 90° M Mà nên thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB MP Giả sử cắt đường tròn (I) khơng chứa điểm c) Xét ∆MAP O N trung điểm cung AB N nên ∆BNP N có cố định · · MPA = BPN (đối đỉnh); ∆MAP ∽ ∆BNP tiếp chắn cung) nên (g.g) ·AMP = PBN · (góc nơi Do PA PM AB R PA + PB = ⇔ PM PN = PA.PB ≤ = = ÷ PN PB (không đổi) Vậy AB PM PN lớn R PA = PB AMB M Vì tam giác vuông nên 1 AB R S AMB = AM BM ≤ ( AM + BM ) = = 4 hay P trung điểm dây Diện tích tam giác AB điểm dây Câu (2đ) Cho số dương minh rằng: AMB x; y; z lớn R thỏa mãn điều kiện PA = PB hay xy + yz + zx = 670 P trung Chứng x y z + + ≥ x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 x + y + z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z ⇔ Dấu “=” xảy Thật vậy, với x, y , z > (*) x, y > ta có: (**) ⇔ ( a y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) ⇔ (bx − ay ) ≥ a b c = = x y z a, b ∈ ¡ a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y a , b, c ∈ ¡ ⇔ (luôn ) Dấu “=” xảy a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: a b2 c2 ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z ⇔ Dấu “=” xảy a b c = = x y z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: VT = x y z + + x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 = ≥ Chú ý: Liên hệ tài 039.373.2038 x2 y2 z2 + + x( x − yz + 2010) y ( y − zx + 2010) z ( z − xy + 2010) ( x + y + z) x + y + z − xyz + 2010( x + y + z ) (1) x( x − yz + 2010) = x( x + xy + zx + 1340) > 0; y ( y − zx + 2010) > liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com z ( z − xy + 2010 ) > Chứng minh dễ dàng x3 + y + z − xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − xz ) = ( x + y + z ) ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) (2) Do x3 + y + z − xyz + 2010( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( x + y + z ) − 3( xy + yz + zx ) + 2010 = ( x + y + z )3 ( 3) Từ (1) (3) ta suy ( x + y + z) VT ≥ ( x + y + z) = x+ y+ z ⇔x= y=z= Dấu “=” xảy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 2010 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... x − yz + 2 010 y − zx + 2 010 z − xy + 2 010 = ≥ Chú ý: Liên hệ tài 039.373.2038 x2 y2 z2 + + x( x − yz + 2 010) y ( y − zx + 2 010) z ( z − xy + 2 010) ( x + y + z) x + y + z − xyz + 2 010( x + y +... yz + 2 010 y − zx + 2 010 z − xy + 2 010 x + y + z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009-2 010 Câu... mãn điều kiện PA = PB hay xy + yz + zx = 670 P trung Chứng x y z + + ≥ x − yz + 2 010 y − zx + 2 010 z − xy + 2 010 x + y + z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com
Ngày đăng: 30/10/2022, 22:54
Xem thêm: