THÔNG TIN TÀI LIỆU
Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải phương trình tập nguyên P ( x ) = x − x + 14 x − b) Cho Tìm số tự nhiên Câu 2: x x + y − xy + x − y − 12 = nhỏ 100 mà P ( x) chia hết cho 11 (4,0 điểm) P= a) Tính giá trị biểu thức a − 3a + a − 4a + 5a − , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 b) Cho số thực x, y , z đôi khác thỏa mãn x = x − 1, y = y − 1, z = z − 3 Chứng minh Câu 3: x2 + y2 + z = (4,0 điểm) 3x − + a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Câu 4: x −1 = 3x + 4x 3x + y − xy + x + y − = 2 x − y + x + y − = (7,0 điểm) ( O; R ) BC A dây cung không qua tâm Gọi BC EAF A điểm cung nhỏ Góc nội tiếp quay quanh điểm α E F A có số đo khơng đổi cho khác phía với điểm BC; AE BC N M AF D qua cắt Lấy điểm cho tứ MNED giác hình bình hành MNEF a) Chứng minh tứ giác nội tiếp MDF I b) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh EAF A I góc nội tiếp quay quanh chuyển động đường thẳng cố định Cho đường trịn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Khi Câu 5: α = 60° BC = R, tính theo R độ dài nhỏ đoạn OI (2,0 điểm) x, y , z x+ y+z =3 Cho số thực dương thỏa mãn x2 + y + z 2 y + x2 + z 2z + y + x2 + + ≥ xyz − yz − xz − yx Chứng minh ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải phương trình tập nguyên P ( x ) = x − x + 14 x − b) Cho Tìm số tự nhiên x x + y − xy + x − y − 12 = nhỏ 100 mà P ( x) chia hết cho 11 Lời giải x + y − xy + x − y − 12 = ⇔ x − x ( y − 1) − (5 y − y − 12) = a) x ∆' Để PT (*) có nghiệm ngun phương 2 ∆ ' = 4( y − 1) − 5(5 y − y − 12) = 16 − y ≤ 16 ( x; y ) ∈ { ( 2;0 ) ; ( −6;0 ) ; ( −10; −4 ) ; ( 6; ) } từ tìm x + y − xy + x − y − 12 = ⇔ ( x − y + 2) + y = 16 = 42 + 02 Cách khác: xét trường hợp nghiệm mà ( x − y + 2) x, y ∈ ¢ = 16, y = (1) nên (1) ⇔ x = 2, y = x − y + = 0, y = 16 (2) x = −6, y = y = −4, x = −10 phương trình cho Ta có (2) ⇔ y = 4, x = Vậy ( x; y ) ∈ { ( 2; ) , ( −6; ) , ( 6; ) , ( −10; − ) } có nghiệm P ( x ) = x3 − x + 14 x − = ( x − 2)( x − x + 12) + 22 b) Ta có P ( x) ( x − 2)( x − x + 12) M 11 Để chia hết 11 x( x − 1) + ( x − x + 12) = x( x − 1) + + 11 mà ta có khơng chia hết cho 11 ( x − x + 12) x−2 suy không chia hết cho 11 nên chia hết cho 11 mà x < 100; x ∈ ¥ suy x ∈ { 2;13; 22;35;47;57;68;79;90} Cách khác: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu P ( x) = x − 3x + 14 x − = ( x − 1)3 − + 11x M 11 ⇔ ( x − 1)3 − 1 M 11 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( x − 1) x −1 x chia cho 11 dư suy chia cho 11 dư suy x < 100 chia cho 11 dư mà suy kết Đáp án thức: p = 3k + x, y p Bổ đề: Cho số tự nhiên số nguyên tố có dạng x ≡ y ( mod p ) ⇔ x ≡ y ( mod p ) x ≡ y ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) Thật vậy, , 3 3k 3k x ≡ y ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) Với x, y p Với chia hết cho hiển nhiên p −1 x ≡ y p −1 ≡ 1( mod p ) ⇒ x 3k +1 ≡ y 3k +1 ( mod p ) ( x, p ) = 1, ( y, p ) = Với ta có 3k 3k ⇒ x.x ≡ y y ( mod p ) ⇒ x ≡ y ( mod p ) x 3k ≡ y k ( mod p ) Áp dụng Bổ đề, ta có Suy P ( x ) ≡ P ( y ) ( mod 11) ⇔ ( x − 1) + 11( x − 1) + 10 ≡ ( y − 1) + 11( y − 1) + 10 ( mod 11) ⇔ ( x − 1) ≡ ( y − 1) Do đó, 3 ( mod 11) ⇔ x − ≡ y − 1( mod 11) ⇔ x ≡ y ( mod 11) P ( x ) ≡ P ( y ) ( mod 11) ⇔ x ≡ y ( mod 11) Suy với n∈¥, 11 giá trị P ( n ) , P ( n + 1) ,K , P ( n + 10 ) giá trị chia hết cho 11 Do đó, số , có P ( 1) , P ( ) ,K , P ( 99 ) P ( ) = −2 có số chia hết cho 11, cịn khơng chia hết cho 11 Vậy có số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 2: (4,0 điểm) P= a) Tính giá trị biểu thức a − 3a + a − 4a + 5a − , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 b) Cho số thực x, y , z đôi khác thỏa mãn x3 = x − 1, y = y − 1, z = z − Chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x2 + y2 + z = mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải a = 110 − 3a ⇔ (a − 5)(a + 5a + 22) = ⇔ a = a) Tính b) Cộng ba đẳng thức ta có hệ thay a=5 P= vào x = 3x − x − y = 3( x − y ) x + xy + y = (1) 3 2 y = y − ⇔ y − z = 3( y − z ) ⇔ y + zy + z = (2) z = 3z − z − x = 3( z − x) x + xz + z = (3) Trừ (1) cho (2) ta Cộng (1); (2); (3) ta có Mà từ đpcm Câu 3: x+ y+z =0 ( x − z )( x + y + z ) = ⇔ x + y + z = 2( x + y + z ) + xy + yz + xz = xy + yz + xz = − suy x2 + y + z 2 thay vào (*) ta có (4,0 điểm) 3x − + a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình: x −1 = 3x + 4x 2 3x + y − xy + x + y − = 2 x − y + x + y − = Lời giải x≥ −1 a) ĐKXĐ: x −1 3x − + = 3x + ⇔ x(3x − 1) + x − = x 3x + ⇔ 12 x − 3x − = x 3x + 4x 4 x = x + 3x + 2 x = 3x + 16 x = x + x + ⇔ ⇔ −4 x = x + 3x + −6 x = x + ( ) x = 1; x= − 153 72 Giải pt có nghiệm 2 2 3 x + y − xy + x + y − = 3 x + y − xy + x + y − = 0(1) ⇔ 2 x − y + x + y − = 2 x − y + x + y − = 0(2) b) Lấy pt (1) trừ pt (2) ta x = y +1 ( x − y ) − 3( x − y) + = ⇔ ( x − y − 1)( x − y − 2) = ⇔ x = 2y + Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 − y + 2x + y − = Thay vào phương trình hệ có nghiệm −7 + 109 −13 + 109 −7 − 109 −13 − 109 ; ; ( x; y ) ∈ ( 1;0 ) ; ( −5 − 3) ; ÷ ÷ ÷; ÷ 6 Câu 4: (7,0 điểm) ( O; R ) BC A dây cung không qua tâm Gọi BC EAF A điểm cung nhỏ Góc nội tiếp quay quanh điểm α E F A có số đo khơng đổi cho khác phía với điểm BC; AE BC N M AF D qua cắt Lấy điểm cho tứ MNED giác hình bình hành MNEF a) Chứng minh tứ giác nội tiếp MDF I b) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh EAF A I góc nội tiếp quay quanh chuyển động đường thẳng cố định BC = R, α = 60° OI R c) Khi tính theo độ dài nhỏ đoạn Cho đường trịn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · MNE »AC + a) Ta có: = (sđ sđ »AC + » ·AFE = CE sđ sđ ·MNE + MFE · = 180° Suy ra: MNEF Vậy tứ giác nội tiếp ¼ BFE )= (sđ »AB + sđ ¼ BFE ) Q b) Gọi P giao điểm khác A AO với đường tròn (O; R) giao AO BC điểm ⇒ D ∈ EG, G ∈ ( O ) Lấy G đối xứng với E qua AP · · ·AEG + ·AFG = 180° ⇒ MDG · · MDG = NEG + MFG = 180° Ta có , Suy tứ giác MDGF nội tiếp Gọi giao điểm AG BC H Chứng minh tương tự a) có tứ giác MHGF nội tiếp Từ (1) (2) suy điểm M, H, D, G, F nằm đường tròn Trung trực đoạn thẳng FG qua O cắt đường tròn (O) J; » » » · » I ∈ OJ JF JG PG JOP =α PE , sđ =sđ sđ =sđ nên hay I nằm đường α thẳng cố định Đó đường thẳng qua O tạo với AO góc khơng đổi c) Hạ IT ⊥ BC ( T ∈ BC ) ⇒ TH = TM Do QH = QN IS = , suy MN · IOS =α Tam giác vng OSI có khơng đổi nên OI nhỏ ⇔ IS nhỏ MN nhỏ Ta chứng minh MN nhỏ tam giác AMN cân A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · ' AN ' = α M Thật vậy, BC lấy M’ N’ cho Khơng tính tổng QM ' > QN ' AM ' > AN ' AM ' quát giả sử suy Trên đoạn lấy điểm U AU = AN ' cho ⇒ S AM ' M > S ANN ' ⇒ MM ' > NN ' ⇒ M ' N ' > MN ⇒ ∆AUM = ∆ANN ' (c.g.c) α = 60°; BC = R Với MN = Câu 5: AQ = R − ( R 2− ) = ( R −3 ) suy ⇒ OI = ( R −3 ( R R 2− = 2 ) , ) (2,0 điểm) x, y , z x+ y+z =3 Cho số thực dương thỏa mãn x2 + y + z 2 y + x2 + z 2z + y + x2 + + ≥ xyz − yz − xz − yx Chứng minh Lời giải Lời giải 1: x2 + y + z 2 y + x2 + z 2z + y + x2 + + ≥ xyz − yz − xz − yx x2 + y2 + x2 + z x2 + y + y + z z + y + x2 + z ⇔M = + + ≥ 4(*) xyz (4 − yz ) xyz (4 − xz ) xyz (4 − yx) ⇔M ≥ xy + xz xy + yz xz + yz + + =N xyz (4 − yz ) xyz (4 − xz ) xyz (4 − yx) y+z x+z x+z N = 2 + + ÷ yz (4 − yz ) xz (4 − xz ) yx(4 − yx) 1 1 1 N = 2 + + + + ÷+ ÷ z (4 − yz ) x(4 − yz ) y (4 − yx) y(4 − yz ) zx(4 − yz ) x(4 − yx) N≥ 6 12 3 + = xyz (4 − yz )(4 − xz )(4 − xy ) xyz (4 − yz )(4 − xz )(4 − xy ) 3 xyz (4 − yz )(4 − xz )(4 − xy ) Mặt khác 4 xyz + − xz + − xy + − yz xyz + 12 − xz − xy − yz xyz (4 − xz )(4 − yz )(4 − xy ) ≤ ÷ = ÷ 4 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 xy + yz + xz + + ≥ =3⇔ ≥ ⇔ 3xyz − xy − xz − yz ≤ x y z x+ y+ z xyz Mà xyz + 12 − xz − xy − yz xyz (4 − xz )(4 − yz )(4 − xy ) ≤ ÷ = 81 ⇔ 3xyz (4 − xy )(4 − xz )(4 − yz ) ≤ 3 M ≥N≥ 12 3 =4 33 x = y = z = Nên BĐT (*) cm dấu “=” xảy Đáp án thức: x2 + y + z ≥ x ( y + z ) Chứng minh được: 2 2 y + z + x ≥ y ( z + x ) , 2z + x2 + y2 ≥ 2z ( x + y ) Tương tự ta có x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) + + ≥ xyz − yz − zx − xy Do ta chứng minh y+z z+x x+y + + ≥ ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy Bất đẳng thức tương đương với yz y+z ≥ = ( − yz ) yz − yz + yz yz − yz yz + yz Ta ( có ( < − yz ) yz = − ( )( ) xy − + ≤ nên y+z ≥ ( − yz ) yz + yz Vậy nên x+ y ≥ ( − xy ) xy + xy Do Với ) ( ( − yz ) ) ( ( yz + yz , tương tự có ) ) ≥ , + yz b, có z+x ≥ ( − zx ) zx + zx y+z z+x x+y 1 + + ≥ + + ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy + xy + yz + zx a, dễ c>0 có ( a + b + c ) 1 1 a b b c c a + + ÷ = + + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ + + + = a b c b a c b a c 1 + + ≥ a b c a +b+c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu nên (*) word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Áp dụng (*) ta có + xy + + yz + + zx ≥ + xy + yz + zx x+ y y+z z+x xy + yz + zx ≤ + + = x+ y+z =3 2 (Vì ≥1 ; ) y+z z+x x+y + + ≥1 ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy Vậy 2x + y + z y + z + x 2z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy Do ta có 2 2 Đẳng thức xảy x = y = z =1 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2 014 Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải phương trình tập nguyên P ( x ) = x − x + 14 x − b) Cho Tìm số tự nhiên x x + y − xy... 4, x = Vậy ( x; y ) ∈ { ( 2; ) , ( −6; ) , ( 6; ) , ( −10; − ) } có nghiệm P ( x ) = x3 − x + 14 x − = ( x − 2)( x − x + 12) + 22 b) Ta có P ( x) ( x − 2)( x − x + 12) M 11 Để chia hết 11 x(... suy x ∈ { 2;13; 22;35;47;57;68;79;90} Cách khác: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu P ( x) = x − 3x + 14 x − = ( x − 1)3 − + 11x M 11 ⇔ ( x − 1)3 − 1 M 11 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com
Ngày đăng: 30/10/2022, 22:31
Xem thêm: