108 hsg 14 phu tho nguyen vinh

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu 1: (3,0 điểm) 2 a) Giải phương trình tập nguyên x  y  xy  x  y  12 0 b) Cho P( x)  x  x  14 x  P  x Tìm số tự nhiên x nhỏ 100 mà chia hết cho 11 Câu 2: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P a  3a  a  4a  5a  , biết a  55  3024  55  3024 b) Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn x 3 x  1, y 3 y  1, z 3z  2 Chứng minh x  y  z 6 Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 3x   x  3x  4x 3 x  y  xy  x  y  0  x  y  x  y  0 b) Giải hệ phương trình:  Câu 4: (7,0 điểm)  O; R  dây cung BC không qua tâm Gọi A điểm cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm có số đo  khơng đổi cho E F khác phía với điểm qua BC ; AE AF cắt BC N M Lấy điểm D cho Cho đường tròn A A tứ giác MNED hình bình hành a) Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh góc nội tiếp EAF quay quanh A I chuyển động đường thẳng cố định c) Khi  60 BC R, tính theo R độ dài nhỏ đoạn OI Câu 5: (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 x2  y  z 2 y  x2  z 2 z  y  x2   4 xyz  yz  xz  yx Chứng minh ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số Liên hệ tài 039.373.2038 word liệu mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu 1: (3,0 điểm) 2 a) Giải phương trình tập nguyên x  y  xy  x  y  12 0 b) Cho P( x)  x  x  14 x  P  x Tìm số tự nhiên x nhỏ 100 mà chia hết cho 11 Lời giải 2 2 a) x  y  xy  x  y  12 0  x  x( y  1)  (5 y  y  12) 0 Để PT (*) có nghiệm ngun x  ' phương  ' 4( y  1)  5(5 y  y  12) 16  y 16 (*)  x; y     2;0  ;   6;0  ;   10;   ;  6;   từ tìm 2 2 2 Cách khác: x  y  xy  x  y  12 0  ( x  y  2)  y 16 4  xét trường hợp nghiệm 2 x  y   16, y 0 (1) mà x, y   nên  x  y  0, y 16 (2) Ta có (1)  x 2, y 0 x  6, y 0 (2)  y 4, x 6 y  4, x  10 Vậy phương trình  x; y     2;  ,   6;  ,  6;  ,   10;    cho có nghiệm 2 b) Ta có P ( x) x  3x 14 x  ( x  2)( x  x 12)  22 P x Để   chia hết 11 ( x  2)( x  x  12) 11 mà ( x  x  12) x( x  1)   11 ta có x( x  1)  không chia hết cho 11 suy ( x  x  12) không chia hết cho 11 nên x  chia hết cho 11 mà x  100; x   x   2;13; 22;35; 47;57; 68;79;90 suy P( x) x  x  14 x   ( x  1)3   11x  11   ( x  1)  1 11 Cách khác:  x  1 chia cho 11 dư suy x  chia cho 11 dư suy x chia cho 11 dư mà x  100 suy kết Đáp án thức: Bổ đề: Cho x, y số tự nhiên số nguyên tố p có dạng p 3k  x3  y  mod p   x  y  mod p  x  y  mod p   x  y  mod p  Thật vậy, , 3 3k 3k x  y  mod p   x  y  mod p  Với x , y p Với chia hết cho hiển nhiên Suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x, p  1,  y, p  1 ta có x p  y p 1 mod p   x3k 1  y 3k 1  mod p  Với  x.x3k  y y 3k  mod p   x  y  mod p  x3k  y 3k  mod p  Áp dụng Bổ đề, ta có 3 P  x  P  y   mod 11   x  1  11 x  1  10  y  1  11 y  1  10  mod 11 3   x  1  y  1  mod 11  x   y  1 mod 11  x  y  mod 11 Do đó, P  x  P  y   mod 11  x  y  mod 11 P  n  , P  n  1 , , P  n  10  Suy với n  , 11 giá trị , có giá trị chia hết cho 11 Do đó, số P  1 , P   , , P  99  P    có số chia hết cho 11, cịn khơng chia hết cho 11 Vậy có số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 2: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P a  3a  a  4a  5a  , biết a  55  3024  55  3024 b) Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn x 3 x  1, y 3 y  1, z 3z  2 Chứng minh x  y  z 6 Lời giải a) Tính a 110  3a  (a  5)(a  5a  22) 0  a 5 thay a 5 vào b) Cộng ba đẳng thức ta có hệ  x 3x    y 3 y    z 3 z    x  y 3( x  y )  3  y  z 3( y  z )   z  x 3( z  x )  P  x  xy  y 3 (1)  2  y  zy  z 3 (2)  x  xz  z 3 (3)  Trừ (1) cho (2) ta ( x  z )( x  y  z ) 0  x  y  z 0 2 Cộng (1); (2); (3) ta có 2( x  y  z )  xy  yz  xz 9 Mà từ x  y  z 0 suy đpcm xy  yz  xz  x y z (*) thay vào (*) ta có Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 3x   b) Giải hệ phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn x  3x  4x 2 3 x  y  xy  x  y  0  2  x  y  x  y  0 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải x 1 a) ĐKXĐ: x 3x    3x   x(3x  1)  x  4 x 3x   12 x  x  4 x 3x  4x  x 2 x  x   x  3x 1 16 x  x  x       x 2 x  3x    x  x    x Giải pt có nghiệm x 1; 3 x  y  xy  x  y  0   x  y  x  y  0   b) Lấy pt (1) trừ pt (2) ta  153 72 3 x  y  xy  x  y  0(1)  2 2 x  y  x  y  0(2)  x 2 y   3( x  y )  0  ( x  y  1)( x  y  2) 0    x 2 y  2 Thay vào phương trình x  y  x  y  0 hệ có nghiệm     109  13  109     109  13  109   ; ;  x; y    1;0  ;    3 ;   ;    6        x  2y Câu 4: (7,0 điểm)  O; R  dây cung BC không qua tâm Gọi A điểm cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm có số đo  không đổi cho E F khác phía với điểm qua BC ; AE AF cắt BC N M Lấy điểm D cho Cho đường tròn A A tứ giác MNED hình bình hành a) Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh góc nội tiếp EAF quay quanh A I chuyển động đường thẳng cố định c) Khi  60 BC R, tính theo R độ dài nhỏ đoạn OI Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A M B Q N T C H K O F I S J G D E P 1 MNE     a) Ta có: = (sđ AC  sđ BFE ) = (sđ AB  sđ BFE )   AFE  sđ AC  sđ CE   Suy ra: MNE  MFE 180 Vậy tứ giác MNEF nội tiếp b) Gọi P giao điểm khác A AO với đường tròn (O; R) Q giao điểm AO BC  D  EG, G   O  Lấy G đối xứng với E qua AP       Ta có MDG  NEG , AEG  AFG 180  MDG  MFG 180 Suy tứ giác MDGF nội tiếp (1) Gọi giao điểm AG BC H Chứng minh tương tự a) có tứ giác MHGF nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm M, H, D, G, F nằm đường tròn Trung trực đoạn thẳng FG qua O cắt đường tròn (O) J;      I  OJ , sđ JF =sđ JG sđ PG =sđ PE nên JOP  hay I nằm đường thẳng cố định Đó đường thẳng qua O tạo với AO góc  khơng đổi c) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A U B Hạ M' M Q IT  BC  T  BC   TH TM N Do QH QN , suy C IS  MN  Tam giác vng OSI có IOS  không đổi nên OI nhỏ IS nhỏ  MN nhỏ Ta chứng minh MN nhỏ tam giác AMN cân A  Thật vậy, BC lấy M’ N’ cho M ' AN '  Khơng tính tổng qt giả sử QM '  QN ' suy AM '  AN ' Trên đoạn AM ' lấy điểm U cho AU  AN '  AUM ANN ' (c.g.c)  S AM ' M  S ANN '  MM '  NN '  M ' N '  MN  60 ; BC R Với MN   R 2   suy R 3    OI   R 3 AQ R    Câu 5: (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 x2  y  z 2 y  x2  z 2 z  y  x2   4 xyz  yz  xz  yx Chứng minh Lời giải Lời giải 1: 2x2  y  z 2 y  x2  z 2 z  y  x2   4 xyz  yz  xz  yx M x  y  x2  z x2  y  y  z z  y  x  z   4(*) xyz (4  yz ) xyz (4  xz ) xyz (4  yx) M xy  xz xy  yz xz  yz   N xyz (4  yz ) xyz (4  xz ) xyz (4  yx)  yz xz xz  N 2      yz (4  yz ) xz (4  xz ) yx(4  yx)  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn:  R R 2  2 , TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com     1 1 1 N 2        2   z (4  yz ) x(4  yz ) y (4  yx)   y (4  yz ) zx(4  yz ) x(4  yx)  6 12 3   xyz (4  yz )(4  xz )(4  xy ) xyz (4  yz )(4  xz )(4  xy ) 3 xyz (4  yz )(4  xz )(4  xy ) Mặt khác N  xyz   xz   xy   yz   3xyz  12  xz  xy  yz  xyz (4  xz )(4  yz )(4  xy )     4     1 xy  yz  xz    3  3  xyz  xy  xz  yz 0 xyz Mà x y z x  y  z  3xyz  12  xz  xy  yz  xyz (4  xz )(4  yz )(4  xy )   81    3xyz (4  xy)(4  xz )(4  yz ) 3 3 12 3 M N  4 3 Nên BĐT (*) cm dấu “=” xảy x  y  z 1 Đáp án thức: x  y  z 2 x  y  z  Chứng minh được: 2 2 y  z  x 2 y  z  x  , z  x  y 2 z  x  y  Tương tự ta có x  y  z  y  z  x z  x  y    2 xyz  zx  xy Do ta chứng minh  yz yz z x xy   1   yz  yz   zx  zx   xy  xy Bất đẳng thức tương đương với yz yz     yz  yz  yz  yz yz  Ta có     yz   yz  yz   2 yz  yz    xy   1 2 nên yz   yz  yz yz   yz  yz  yz Vậy nên  , tương tự có x y    xy  xy  xy   ,  yz liệu word mơn tốn: có z x    zx  zx  zx yz z x xy 1       yz  yz   zx  zx   xy  xy  xy  yz  zx Do  Với a, b, c>0 1 a b b c c a  a  b  c      3             3    9 a b c b a c b a c nên Liên hệ tài 039.373.2038 dễ có TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1    a b c a  b  c (*)    Áp dụng (*) ta có  xy  yz  zx  xy  yz  zx x y yz zx xy  yz  zx    x  y  z 3 2 (Vì ) yz z x xy   1  yz  yz   zx  zx   xy  xy  Vậy 2 2 2 2x  y  z y  z  x 2z  x2  y   4 xyz  yz  zx  xy Do ta có 1 ; Đẳng thức xảy x  y  z 1 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC