131 hsg 10 phu tho dang truong nguyen

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4đ) a) Chứng minh nhiên n A  2n  1  2n  1 chia hết cho với số tự b) Tìm số số nguyên n cho B n  n  13 số phương Câu (5đ) 2 a) Giải phương trình: x  x  2 x  x   x  y 1  xy  x  y 3xy  11 b) Giải hệ phương trình:  Câu (3đ) Cho ba số x; y; z thỏa mãn  x  y  z 2010  1 1  x  y  z  2010  Tính giá trị biểu thức P  x 2007  y 2007   y 2009  z 2009   z 2011  x 2011  Câu (6đ)  O; R  dây cung AB cố định, AB  R Điểm P di  C; R1  đường tròn qua động dây AB ( P khác A B ) Gọi P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A ,  D; R2  đường tròn qua P  C; R1   D; R2  tiếp xúc với đường tròn (O;R) B Hai đường tròn cắt điểm thứ hai M Cho đường tròn a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB , chứng minh OM // CD điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường trịn cố định đưởng thẳng MP qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM PN lớn nhất? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Câu (2đ) Cho số dương x; y; z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx 670 Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y z    x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010 x  y  z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4đ) a) Chứng minh nhiên n A  2n  1  2n  1 chia hết cho với số tự b) Tìm số số nguyên n cho B n  n  13 số phương Lời giải n n n a) Theo giả thiết n số tự nhiên nên  1; ;2  số tự nhiên liên tiếp Vì tích số tự nhiên liên tiếp chia hết 2 n  1 n  n  1 chia hết cho  ;3 1 nên  n Mặt khác n  1  2n  1 chia hết cho Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n b) Ta thấy B số phương  4B số phương  k   Đặt 4B k B 4n  4n  52 k   2n   k   2n   k   51 Vì 2n   k 2n   k nên ta có hệ:  2n   k 1 2n   k 3 (2) :   1 :   2n   k  51 2n   k  17 a) b) 2n   k 51 2n   k 17 (3) :  (4) :  2n   k  2n   k  c) d) Giải hệ (1) (2) (3) (4) ta tìm n  12; n  3; n 13; n 4 Câu Vậy số nguyên cần tìm (5đ) n    12;  3; 4;13 2 a) Giải phương trình: x  x  2 x  x   x  y 1  xy  x  y 3xy  11 b) Giải hệ phương trình:  Lời giải 2 a) Ta có x  x  2( x  1)  1 nên tập xác định phương trình R Phương trình cho tương đương với x  x   x  x   0 Đặt y  x  x  1 phương trình cho trở thành Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  y 1 y  y  0    y 3 (thỏa mãn điều kiện) Với y 1 ta có x  x  1  x  x  1  x 1 Với y 3 ta có  x  x  x  3  x  x  9    x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x 1, x  1, x 3 b) Hệ cho tương đương với 2 2  x  xy  y 1 11( x  xy  y ) 11  x  xy  y 1   (*)    2 2 ( x  y )(5 x  y) 0  x  3xy  y 11 11( x  xy  y )  x  xy  y Từ hệ (*) ta suy 2   x  xy  y 1  x  xy  y 1 ( II ) (I )   x  y   x  y  0    x  y 0  Giải hệ (I) ta tìm ( x; y ) (2;  1); (  2;1) Hệ (II) vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (2;  1);(  2;1) Câu (3đ) Cho ba số x; y; z thỏa mãn  x  y  z 2010  1 1  x  y  z  2010  Tính giá trị biểu thức P  x 2007  y 2007   y 2009  z 2009   z 2011  x 2011  Lời giải Từ giả thiết suy x; y; z khác 1 1 1  1 1 x y x y           0  0  x y z x yz xy z(x  y  z)  x y  z xyz     x  y   0  ( x  y )( xz  yz  z  xy ) 0   xy xz  yz  z   ( x  y )  z ( z  x )  y ( z  x)  0   x  y   y  z   z  x  0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  y 0   z  y 0   x  z 0  x  y  y  z    z  x  x 2007  y 2007  2009  z 2009 y  z 2011  x 2011   x 2007  y 2007 0    y 2009  z 2009 0  P 0  z 2011  x 2011 0  Câu (6đ)  O; R  dây cung AB cố định, AB  R Điểm P di  C; R1  đường tròn qua động dây AB ( P khác A B ) Gọi P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A ,  D; R2  đường tròn qua P  C; R1   D; R2  tiếp xúc với đường tròn (O;R) B Hai đường tròn cắt điểm thứ hai M Cho đường tròn a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB , chứng minh OM // CD điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường tròn cố định đưởng thẳng MP ln qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn Lời giải a) Nối CP ; PD ta có ACP ; OAB cân C ; O nên    CPA CAP OBP CP / / OD  1    Tương tự DPB ; OAB cân D , O nên DPB  DBP OAB nên OD//CP (2) Từ (1) (2) suy ODPC hình bình hành Gọi CD cắt MP H cắt OP K K trung điểm OP Vì tứ giác CDOM hình bình hành nên OC DP , DP  DM  R2 nên tứ giác CDOM hình thang cân điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Xét tam giác AOB có OA2  OB 2 R  AB nên tam giác OAB vuông cân O Vì điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn (kể M O ) nên   COB CMD (1) O M   Xét MAB MCD có: MAB  MCD (cùng  sđ MP (C )) C A  sd MP MBD  MDC  (cùng (D)) D HK P Nên MAB ∽ MCD (g.g)   Vì MAB ∽ MCD suy AMB COD hay N AMB  AOB 90 Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB    Ta có ACP BDP  AOB 90 nên AMP  ACP 45 C (Góc nội tiếp góc tâm   ) 1  BMP  BDP 45 D (góc nội tiếp góc tâm   )  Do MP phân giác AMB   Mà AMB  AOB 90 nên M thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đường tròn (I) N N trung điểm cung AB khơng chứa điểm O nên N cố định     c) Xét MAP BNP có MPA  BPN (đối đỉnh); AMP  PBN (góc nơi tiếp chắn cung) nên MAP ∽ BNP (g.g) PA PM AB R  PA  PB    PM PN  PA.PB     PB (khơng đổi)   Do PN R2 Vậy PM PN lớn PA  PB hay AB Vì tam giác AMB vng M nên P trung điểm dây 1 AB R S AMB  AM BM   AM  BM    4 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC B Website:tailieumontoan.com R2 Diện tích tam giác AMB lớn PA PB hay P trung điểm dây AB Câu (2đ) Cho số dương x; y; z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx 670 Chứng minh rằng: x y z    x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010 x  y  z Lời giải Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c   x, y, z  ta có a2 b2 c2  a  b  c     x y z xyz (*) a b c   x y z  Dấu “=” xảy Thật vậy, với a, b   x, y  ta có: a2 b2  a  b    x y xy (**)   a y  b x   x  y   xy  a  b  2  (bx  ay ) 0 (luôn ) Dấu “=” xảy  a b  x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: a b2 c2  a  b  c2  a  b  c       x y z xy z xyz a b c   x y z  Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: VT  x y z   x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x2 y2 z2   x( x  yz  2010) y ( y  zx  2010) z ( z  xy  2010) mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com   x  y  z x  y  z  xyz  2010( x  y  z ) (1) 2 Chú ý: x( x  yz  2010)  x ( x  xy  zx  1340)  0; y ( y  zx  2010)  z  z  xy  2010   Chứng minh dễ dàng x3  y  z  3xyz  x  y  z   x  y  z  xy  yz  xz   x  y  z    x  y  z    xy  yz  zx   (2)   Do x  y  z  xyz  2010( x  y  z )  x  y  z    x  y  z   3( xy  yz  zx )  2010  ( x  y  z )3     Từ (1) (3) ta suy  x  y  z VT   x  y  z Dấu “=” xảy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  x yz  x  y z  mơn tốn: 2010 TÀI LIỆU TOÁN HỌC