Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4đ) a) Chứng minh nhiên n A 2n 1 2n 1 chia hết cho với số tự b) Tìm số số nguyên n cho B n n 13 số phương Câu (5đ) 2 a) Giải phương trình: x x 2 x x x y 1 xy x y 3xy 11 b) Giải hệ phương trình: Câu (3đ) Cho ba số x; y; z thỏa mãn x y z 2010 1 1 x y z 2010 Tính giá trị biểu thức P x 2007 y 2007 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 Câu (6đ) O; R dây cung AB cố định, AB R Điểm P di C; R1 đường tròn qua động dây AB ( P khác A B ) Gọi P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A , D; R2 đường tròn qua P C; R1 D; R2 tiếp xúc với đường tròn (O;R) B Hai đường tròn cắt điểm thứ hai M Cho đường tròn a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB , chứng minh OM // CD điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường trịn cố định đưởng thẳng MP qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM PN lớn nhất? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Câu (2đ) Cho số dương x; y; z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670 Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4đ) a) Chứng minh nhiên n A 2n 1 2n 1 chia hết cho với số tự b) Tìm số số nguyên n cho B n n 13 số phương Lời giải n n n a) Theo giả thiết n số tự nhiên nên 1; ;2 số tự nhiên liên tiếp Vì tích số tự nhiên liên tiếp chia hết 2 n 1 n n 1 chia hết cho ;3 1 nên n Mặt khác n 1 2n 1 chia hết cho Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n b) Ta thấy B số phương 4B số phương k Đặt 4B k B 4n 4n 52 k 2n k 2n k 51 Vì 2n k 2n k nên ta có hệ: 2n k 1 2n k 3 (2) : 1 : 2n k 51 2n k 17 a) b) 2n k 51 2n k 17 (3) : (4) : 2n k 2n k c) d) Giải hệ (1) (2) (3) (4) ta tìm n 12; n 3; n 13; n 4 Câu Vậy số nguyên cần tìm (5đ) n 12; 3; 4;13 2 a) Giải phương trình: x x 2 x x x y 1 xy x y 3xy 11 b) Giải hệ phương trình: Lời giải 2 a) Ta có x x 2( x 1) 1 nên tập xác định phương trình R Phương trình cho tương đương với x x x x 0 Đặt y x x 1 phương trình cho trở thành Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com y 1 y y 0 y 3 (thỏa mãn điều kiện) Với y 1 ta có x x 1 x x 1 x 1 Với y 3 ta có x x x 3 x x 9 x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x 1, x 1, x 3 b) Hệ cho tương đương với 2 2 x xy y 1 11( x xy y ) 11 x xy y 1 (*) 2 2 ( x y )(5 x y) 0 x 3xy y 11 11( x xy y ) x xy y Từ hệ (*) ta suy 2 x xy y 1 x xy y 1 ( II ) (I ) x y x y 0 x y 0 Giải hệ (I) ta tìm ( x; y ) (2; 1); ( 2;1) Hệ (II) vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (2; 1);( 2;1) Câu (3đ) Cho ba số x; y; z thỏa mãn x y z 2010 1 1 x y z 2010 Tính giá trị biểu thức P x 2007 y 2007 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 Lời giải Từ giả thiết suy x; y; z khác 1 1 1 1 1 x y x y 0 0 x y z x yz xy z(x y z) x y z xyz x y 0 ( x y )( xz yz z xy ) 0 xy xz yz z ( x y ) z ( z x ) y ( z x) 0 x y y z z x 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x y 0 z y 0 x z 0 x y y z z x x 2007 y 2007 2009 z 2009 y z 2011 x 2011 x 2007 y 2007 0 y 2009 z 2009 0 P 0 z 2011 x 2011 0 Câu (6đ) O; R dây cung AB cố định, AB R Điểm P di C; R1 đường tròn qua động dây AB ( P khác A B ) Gọi P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A , D; R2 đường tròn qua P C; R1 D; R2 tiếp xúc với đường tròn (O;R) B Hai đường tròn cắt điểm thứ hai M Cho đường tròn a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB , chứng minh OM // CD điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường tròn cố định đưởng thẳng MP ln qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn Lời giải a) Nối CP ; PD ta có ACP ; OAB cân C ; O nên CPA CAP OBP CP / / OD 1 Tương tự DPB ; OAB cân D , O nên DPB DBP OAB nên OD//CP (2) Từ (1) (2) suy ODPC hình bình hành Gọi CD cắt MP H cắt OP K K trung điểm OP Vì tứ giác CDOM hình bình hành nên OC DP , DP DM R2 nên tứ giác CDOM hình thang cân điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Xét tam giác AOB có OA2 OB 2 R AB nên tam giác OAB vuông cân O Vì điểm C ; D; O; M thuộc đường tròn (kể M O ) nên COB CMD (1) O M Xét MAB MCD có: MAB MCD (cùng sđ MP (C )) C A sd MP MBD MDC (cùng (D)) D HK P Nên MAB ∽ MCD (g.g) Vì MAB ∽ MCD suy AMB COD hay N AMB AOB 90 Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB Ta có ACP BDP AOB 90 nên AMP ACP 45 C (Góc nội tiếp góc tâm ) 1 BMP BDP 45 D (góc nội tiếp góc tâm ) Do MP phân giác AMB Mà AMB AOB 90 nên M thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đường tròn (I) N N trung điểm cung AB khơng chứa điểm O nên N cố định c) Xét MAP BNP có MPA BPN (đối đỉnh); AMP PBN (góc nơi tiếp chắn cung) nên MAP ∽ BNP (g.g) PA PM AB R PA PB PM PN PA.PB PB (khơng đổi) Do PN R2 Vậy PM PN lớn PA PB hay AB Vì tam giác AMB vng M nên P trung điểm dây 1 AB R S AMB AM BM AM BM 4 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC B Website:tailieumontoan.com R2 Diện tích tam giác AMB lớn PA PB hay P trung điểm dây AB Câu (2đ) Cho số dương x; y; z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670 Chứng minh rằng: x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z Lời giải Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c x, y, z ta có a2 b2 c2 a b c x y z xyz (*) a b c x y z Dấu “=” xảy Thật vậy, với a, b x, y ta có: a2 b2 a b x y xy (**) a y b x x y xy a b 2 (bx ay ) 0 (luôn ) Dấu “=” xảy a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: a b2 c2 a b c2 a b c x y z xy z xyz a b c x y z Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: VT x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x2 y2 z2 x( x yz 2010) y ( y zx 2010) z ( z xy 2010) mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x y z x y z xyz 2010( x y z ) (1) 2 Chú ý: x( x yz 2010) x ( x xy zx 1340) 0; y ( y zx 2010) z z xy 2010 Chứng minh dễ dàng x3 y z 3xyz x y z x y z xy yz xz x y z x y z xy yz zx (2) Do x y z xyz 2010( x y z ) x y z x y z 3( xy yz zx ) 2010 ( x y z )3 Từ (1) (3) ta suy x y z VT x y z Dấu “=” xảy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x yz x y z mơn tốn: 2010 TÀI LIỆU TOÁN HỌC