82 HSG 17 BAC GIANG DANG TRUONG NGUYEN

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017 Bài 1: (5,0 điểm) M = a Cho biểu thức Rút gọn M tính giá trị biểu thức b Tìm số nguyên a , b, c c Cho H= Tính giá trị biểu thức Bài 2: a a −b b a b − − a −b a+ b b− a thỏa mãn a, b a, b > ( 1− a) ( 1− b) + biết a≠b ab = − + 18 = a +b a −b thoả mãn a+ b+ c =7 ; a + b + c = 23 abc = ; 1 + + ab + c − bc + a − ca + b − (4,5 điểm) 4+ + 4− N= + 13 a Tính giá trị biểu thức b Cho a, b (a số hữu tỉ thỏa mãn Chứng minh + ab + 27 − 10 ) + b2 − ( a + b ) + (1 − ab) = −4ab số hữu tỉ c Giải phương trình Bài 3: M với x2 − x − = x −1 ( − x ) (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên b Cho a , b, c > thỏa ( x; y ) mãn thoả mãn abc = x + y = xy + Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + 2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn AB ( O; R ) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Liên hệ tài 039.373.2038 Ax lấy liệu M word AM < R môn Từ tốn: M Ax với nửa đường trịn, vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com trịn, từ C CH vẽ vng góc với AB thẳng vng góc với CE CA cắt , , CH a)Chứng minh b) MB c)Gọi PG Bài 5: CH cắt G MNCO F I AB O , CE BC cắt vng góc với Đường Đường thẳng MO Q, K , P hình thang cân Chứng minh KI song song với trung điểm vng góc với N AM QF AH AB AE Chứng minh (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A = 427 + 42016 + 4n số phương Họ tên thí sinh SBD: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC GIANG 2016-2017 Bài 1: (5,0 điểm) M= a Cho biểu thức Rút gọi M a a −b b a b − − a −b a+ b b− a tính giá trị biểu thức b Tìm số nguyên a , b, c c Cho thỏa mãn H= Tính giá trị biểu thức a, b M biết thoả mãn với ( − a ) ( − b) + a, b > a≠b ab = − + 18 = a+b a−b a+ b+ c =7 ; a + b + c = 23 ; abc = 1 + + ab + c − bc + a − ca + b − Lời giải M= a) Rút gọn ab a− b với a, b > a≠b Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( − a ) ( − b) + ⇔ ab = + Nếu ( a− b ab = ⇔ ab − a − b + + ab = ) ⇔( ab ) =1⇔ a− b a>b>0 ⇒ a > b ⇒ a − b > 0; ab > ⇒ ab >0 a− b ab ab ab = ⇒ =1⇒ M =1 a− b a− b a− b ⇒ + 0 3  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (2 x + x )2 < ( y ) * Vậy ta có ( 2x Ta có + x + ) − (2 y ) = x ≥ 2 , Vậy ta có ( y) ≥ ( x + x + ) ** Từ * ** ta có (2 x + x )2 < ( y ) ≤ ( x + x + ) ⇒ ( y ) = ( x + x + 1) ; 2 ( 2y) = ( x2 + x + 2) ( 2y) Nếu 2 2 = (2 x + x + 1)2 ⇔ − x + x + = ⇔ x − x − =  x = −1 ⇔ ( x + 1)( x − 3) = ⇔  x = + Nếu +Nếu -Nếu x = −1 ⇒ y = ⇒ y = ±1 x = ⇒ y = 121 ⇒ y = ±11 ( 2y) = (2 x + x + 2)2 ⇔ −5 x = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ y = ±1 ( x + y + z ) − ( x + y + z ) = = ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z ) ≥ b) Ta có 2 ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3( x + y + z ) x + y + z ≤ 3( x2 + y + z ) nên với x, y , z > 2 ta có , áp dụng ta có 1 1 1   + + ≤ 3 + + ÷ ab + a + bc + b + ca + c +  ab + a + bc + b + ca + c +  x + y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ xy ⇒ -Với x, y > ta có 11 1 ≤  + ÷ x+ y 4 x y Áp dụng ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 = = = ab + a + ab + + a + ab + abc + a + ab(c + 1) + (a + 1) ≤ 1 1   abc  1 c  + =  + =  +  ÷ ÷  ab( c + 1) a +   ab(c + 1) a +   c + a + ÷  1 c  ≤  + ÷ ab + a +  c + a +  Vây ta có 1 a  1 b  ≤  + ≤  + ÷ ÷ bc + b +  a + b +  ca + c +  b + c +  Tương tự ta có ; nên 1   3 + + ÷  ab + a + bc + b + ca + c +  1 c a b  ≤ 3×  + + + + + ÷=  c +1 a +1 a +1 b +1 b +1 c +1 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + 2 Vậy Bài 4: dấu “=” có a = b = c =1 (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn ( O; R ) đường kính AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến lấy CH với M AM < R vng góc với AB Q, K , P O MB Liên hệ tài 039.373.2038 AB BC cắt , vẽ tiếp tuyến CE N Ax với nửa đường trịn, MC vng góc với Đường thẳng AB với nửa đường tròn, từ AM C Ax vẽ Đường thẳng vng góc MO cắt CE CA CH , , a)Chứng minh b) M Từ Trên nửa mặt phẳng bờ cắt liệu CH MNCO word I hình thang cân Chứng minh mơn tốn: KI song song với AB TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c)Gọi G F vng góc với trung điểm QF AH AE Chứng minh PG Lời giải N M E Q F K C I T A G O H B P a)Ta có ∆ACB nội tiếp đường trịn (vì ) mà C ⇒ AC ⊥ BN vng Ta có MA = MC OA = OC ( ) nên · · ⇒ MO ⊥ AC ⇒ MO // NB ⇒ MOA = NBO Ta có OA ⊥ MA ( ), ( ) · · ⇒ MAO = NOB = 900 MO ; xét AB đường kính nên trung trực ∆MAO ∆NOB AC ∆ACB có · · · · MAO = NOB = 900 ; MOA = NBO ; OA = OB = R ⇒ ∆MAO = ∆NOB ⇒ MO = NB MO // NB; MO = NB ⇒ MNBO ∆MAO ∆NOB hình bình hành.Ta có = NO = MA MA = MC NO = MC MNBO (cm trên) nên ta có , mà ( ) nên hình thang cân Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ∆CHB b)Xét ∆MAO ⇒ ∆CHB : ∆MAO ⇒ CH ⊥ AB Ta có Nên ta có KI ( cm trên) CH HB HB = = MA AO R (gt) ; MA ⊥ AB ⇒ CH // MA ⇒ IH // MA ⇒ ( ) IH HB HB = = MA AB R CH HB HB IH IH = = 2× = 2× = ⇒ CH = IH ⇒ IC = IH MA R 2R MA MA ⇒ Chi có · · · · MAO = NOB = 900 ; CBH = MOA đường trung bình tam giác c) Chưng minh -Chứng minh O FQIO hình bình hành trục tâm tam giác ACH ⇒ KI // AB ⇒ QF // IO GIP ⇒ PG ⊥ OI ⇒ PG ⊥ QF Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A = 427 + 2016 + 4n số phương Lời giải A = 427 + 42016 + 4n = ( 27 ) ( + 41989 + 4n − 27 ) * (2 ) 27 Vì A Ta có *mà số phương nên + 41989 + 4n−27 > + 41989 + 4n−27 n − 27 + 41989 + 4n−27 số phương = (2 n −27 ) số phương nên ta có ≥ ( 2n−27 + 1) ⇔ 2n −27 ≤ 23977 ⇔ n ≤ 4004 1+ 1989 Với +4 n− 27 n = 4004 Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 n = 4004 liệu ta có A = 27 + 2016 + 4004 = ( 27 + 4004 ) A = 427 + 42016 + 4n word mơn tốn: số phương số phương TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... A = 427 + 42016 + 4n số phương Họ tên thí sinh SBD: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC GIANG 2016-2 017 Bài 1: (5,0 điểm) M= a Cho biểu thức Rút gọi M a a −b b a b − − a −b a+ b b− a tính