93 HSG 17 BAC GIANG

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM HỌC 2017-2018 (BẢNG A) Bài (5 điểm) a/ Cho biểu thức  x + x + x + x +1   x − x + 10  M =  + : + ÷  ÷  ÷ x −1 ÷  x x −8   x −2 x+6 x +5 Rút gọn M tìm x để b/ H= Bài M >1 a, b, c > Cho thỏa Tính a− b b− c c− a + + 1+ c 1+ a 1+ b : (4 điểm) 5 + x2 − = x2 x x 30 − a/ Giải phương trình x − 3; x + 3; x − b/ Tìm số thực x để số Bài ab + bc + ca = mãn x số nguyên (4 điểm) x + 14 x + x − a/ Tìm x nguyên dương để số phương x + y + z = xyz x, y , z b/ Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: + + x2 + + y + + z + + ≤ xyz x y z Bài (6 điểm) ( O; R ) ( O; R ) OA = R Cho đoạn thẳng , vẽ đường tròn Trên đường tròn lấy H AH < R kỳ cho , qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn ( O; R ) Trên đường thẳng a lấy B C cho H nằm B C OB ( M ∈ OB) AB = AC = R Vẽ HM vng góc với , vẽ HN vng góc với OC ( N ∈ OC) a/ Chứng minh b/ Chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu OM.OB = ON.OC MN qua điểm cố định OB.OC = 2R word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c/ Tìm giá trị lớn diện tích tam giác Bài OMN H thay đổi (1 điểm) n, n + 1, n + 2, …, 2n cho dãy số với n nguyên dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM HỌC 20172018 (BẢNG A) Bài (5 điểm) a/ Cho biểu thức  x + x + x + x +1   x − x + 10  M =  + : + ÷  ÷  ÷ x −1 ÷  x x −8   x −2 x+6 x +5 Rút gọn M tìm x để b/ H= M >1 a, b, c > Cho thỏa mãn ab + bc + ca = Tính a− b b− c c− a + + 1+ c 1+ a 1+ b Lời giải a/ Cho biểu thức  x + x + x + x +1   x − x + 10  M =  + : + ÷  ÷  ÷ x −1 ÷  x x −8   x −2 x+6 x +5 Rút gọn M tìm x để M>1 *  M =   ( x+2 x +4 )( x−2 x+2 x +4 + ) (   ÷:  x − + x +1 ÷  x −   ( x + 1) )( x −1 ) ( ( )( x +1 )  ÷ x +5 ÷  x +5 )  x +1   x −  =  + : + ÷  ÷  x −1 ÷ x +1÷  x −2   x −2  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x −1 + = ( ( )( x +1 x −2 )( x −2 ) x −1 ) : (3 x − 5)( x + 1) + 2( x − 2) ( x −2 )( ) x +1 x − + x − x + x − 3x + x − x − + x − : x −2 x − 11 x −2 x +1 = ( = )( ) x−3 ( x −2 )( Vậy M= M >1⇔ * Ta có ) ( x +1 ) x −2 x −1 x +1 ( ) )( = ) ( x +1 ) x−3 x −2 >1⇔ ( x +1 ) x −1 −1 > ⇔ a, b, c > ) x −2 )( )= x +1 3( x − 3) x −1 4−2 x  2 − x >    x − > ⇔ ⇔1< x < ⇔1< x <  2 − x <    x − < b/Cho )( ( ( x +1 ) x −1 x ≥ 0; x ≠ 1, 3, với x −1 )( 3x − : x − 11 ( ( thỏa ( >0⇔ ) x −1 2− x >0 x −1 Vậy M>1 1 ⇒ x2 30 − = x Vì 6x2 − 6x2 − 5 = (6 x − ) ×1 ≤ x x x2 − Dấu = có ⇔ 30 − Liên hệ tài 039.373.2038 , theo cơsi ta có ≥0 x2 , theo cơsi ta có ) +1 x2 (6 x − = ⇔ x = ±1 x2 5 + x2 − + x2 − + 5 x 30 − + x − ≤ x x x 5 + x2 − ≤ x2 x x liệu ĐK: = x − ⇔ x = ±1 x ⇒ Vây ta có x2 ≥ + ( x − 1) x − 1) ≤ x ( x Dấu = có x2 ≥ 5 + x2 − = x2 x x word mơn Dấu = có tốn: ⇔ x = ±1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ± Vậy x= nghiệm phương trình 30 − 5 + x2 − = x2 x x x − 3; x + 3; x − b/ Tìm số thực x để số a = x − 3; b = x + 3; c = x − Đặt Từ a = x − ⇒ x = a + 3; ( a + 3) với số nguyên a, b, c ∈ Z b = x2 + ⇒ x2 = b − , nên ta có = b − ⇔ a + 3a + = b − ⇔ ( a + 1) = b − a − b − a2 − ⇒ a ≠ −1 ⇒ = a +1 ≠ a +1 -Nếu a, b ∈ Z ⇒ b − a2 − ∈Q ⇒ ∈Q ⇒ a +1 a +1 ≠ Vậy từ x x nên ta có x = −1 Với Bài (4 điểm) ta có , VL a + = a = −1 ⇔ ⇔   b = b − a − =  x = −1  a = −1; b = c = −2 nguyên, thỏa mãn đầu x + 14 x + x − a/ Tìm x ngun dương để số phương x + y + z = xyz x, y , z b/ Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: + + x2 + + y + + z + + ≤ xyz x y z Lời giải a/ Tìm x nguyên dương để x + 14 x + x − Vì k∈N Ta có 4 x + 14 x + x − số phương số phương, nên ta có x + 14 x + x − =…= x + 14 x + x − ( x + ) ( x + x − 3) nên ta =k2 với có ( x + ) ( x + x − 3) = k Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( x + 2, x Đặt Ta có ∈N * + x − 3) = ( x + ) ( x + x − 3) = k x+2 x2 + x − a, b ∈ N * Vì với d x + x − 3Md ⇒ ( x + x − 3) − ( x + x − ) = 1Md ⇒ d = ( x + 2, x Vậy + x − 3) = d x + 2Md ⇒ ( x + ) ( x − ) Md ⇒ x + x − 4Md Ta lại có mà x>0 nên ta có số phương ⇒ x + = a 2và 4x + x − = b với x < b < x + 12 x + ⇔ ( x ) < b < ( x + ) nên ta có b = ( x + 1) ⇔ x + x − = x + x + ⇔ x = 2 Vì b lẻ nên Với x3 + 14 x + x − = 100 = 10 x=2 ta có số phương x + y + z = xyz x, y , z b/ Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Từ Gt suy ra: + + x2 + + y + + z + + ≤ xyz x y z 1 + + =1 xy yz zx + x2 = x Nên ta có:  1  1  1 1 + + + =  + ÷ + ÷ x xy yz zx  x y  x z  12 1 ≤  + + ÷;" = " ⇔ y = z 2 x y z  Vậy + + x2 ≤  + +   ÷ 2 x y z x Tương tụ ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 1+ 1+ y2   ≤  + + ÷ 2 x y z y word mơn tốn: ; 1+ 1+ z2 ≤  + +   ÷ 2 x y z  z TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy ta có 1 1 + + x2 + + y + + z + + ≤  + + ÷;" = " ⇔ x = y = z x y z x y z ( x + y + x) − ( xy + yz + xx ) = = Ta có Nên ( x + y + x) ≥ ( xy + yz + xx ) ⇒ ( xyz ) ≥ ( xy + yz + xz ) ⇒ Vậy 1 1 xy + yz + xz ≤ xyz ⇒  + + ÷ ≤ xyz xyz x y z + + x2 + + y + + z + + ≤ xyz x y z Bài (6 điểm) Cho đoạn thẳng ( O; R ) 1 2 ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z )  ≥  OA = R AH < R lấy H kỳ cho đường tròn ; "="⇔ x = y = z , vẽ đường tròn ( O; R ) Trên đường tròn , qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với ( O; R ) Trên đường thăng a lấy B C cho H nằm B OB ( M ∈ OB) AB = AC = R C Vẽ HM vng góc với , vẽ HN vng góc OC ( N ∈ OC) với OM.OB = ON.OC a/ Chứng minh b/ Chứng minh MN qua điểm cố định OB.OC = 2R c/ Tìm giá trị lớn diện tích tam giác thay đổi OMN H a B M Lời giải OM.OB = ON.OC a/ Chứng minh điểm cố định *Ta có OH ⊥ HB ⇒ ∆OHB MN qua (t/c tiếp tuyến) vuông H, mà HM ⊥ OB Chưng minh tương tự ta có liệu E N (gt) nên theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có Liên hệ tài 039.373.2038 O word mơn ON ×OC = OH = R tốn: OM ×OB = OH = R TÀI LIỆU TOÁN HỌC H A C Website:tailieumontoan.com Vậy ta có * Ta có OM ×OB = ON ×OC OM ×OB = OH = R OM ×OB = OA2 ⇒ ta có mà OA = R nên OM OA = OA OB OM OA = OA OB ⇒ ∆OMA : ∆OAB µ O ∆OMA ∆OAB Xét có chung, có · · ⇒ OAM = OBA Ta có AO=AB=R (gt) · · ⇒ ∆OAB ⇒ ·AOB = OBA ⇒ ·AOM = OBA cân , · ⇒ MO = MA OAM = ·AOM ⇒ ∆OMA Vậy cân ∆ONA ⇒ NO = NA Chứng minh tương tự ta có cân MO = MA NO = NA OA Ta có ; , MN trung trực , gọi E giao OA MN OA MN ⊥ OA điểm với ta có EO=EA= E, mà O, A cố định nên E cố đinh Vậy MN qua điểm cố định OB OC = 2R b/ Chứng minh OM ON OM ×OB = ON ×OC ⇒ = OC OB Ta có OM ON = ⇒ ∆OMN : ∆OCB µ ∆OMN ∆OCB O OC OB Xét có chung , có , OE ⊥ MN OH ⊥ BC mà OM OE OM OE OE 1 = ⇒ = = = ⇒ OM = OC OH = OA = 2OE OC OH OC OA 2OE 2 nên ta có ( ) ⇒ OC ×OB = R ⇒ OC ×OB = R 2 OM ×OB = OH = R Ta có ( cm trên) OMN c/ Tìm giá trị lớn diện tích tam giác H thay đổi Ta có ∆OMN : ∆OCB SOMN = Nên Liên hệ tài 039.373.2038 SOMN OE OE OE ⇒ = = = = 2 SOCB OH OA ( 2OE ) SOCB liệu (cm trên) 1 1 1 = × ×OH ×BC = R ×BC ≤ R ( AB + AC ) = R ( R + R ) = R 8 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu có B, A, C thẳng hàng ⇔H≡A SOMN = Bài R OMN H≡A Vậy diện tích tam giác lớn n, n + 1, n + 2, …, 2n (1 điểm) Cho dãy số với n ngun dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên Lời giải -Nếu n lũy thừa bậc số tự nhiên toán chứng minh xong -Nếu n không lũy thừa bậc số tự nhiên, ta ln tìm số k < n < ( k + 1) nguyên dương k cho Vì n nguyên dương 2 n > k ⇒ n ≥ k +1 , ta có: 2n − ( k + 1) ≥ 2( k + 1) − ( k + 1) = = k − 2k + = ( k − 1) ≥ 2 k < n < ( k + 1) ≤ 2n Vậy k nguyên dương , nên ta có Vậy dãy ln có lũy thừa bậc số tự nhiên …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM HỌC 2 0172 018 (BẢNG A) Bài (5 điểm) a/ Cho biểu thức  x + x + x + x +1   x − x + 10