Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017 Bài 1: (5,0 điểm) a Cho biểu thức M a ab b a b a a b b b với a, b a b a a b ab 1 Rút gọn M tính giá trị biểu thức M biết 18 3 a , b a b a b b Tìm số nguyên thoả mãn a, b, c thỏa mãn c Cho H Tính giá trị biểu thức a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3 1 ab c bc a ca b Bài 2: (4,5 điểm) 4 4 N 13 a Tính giá trị biểu thức 27 10 2 a2 b2 a b b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn + (1 ab) 4ab Chứng minh ab số hữu tỉ c Giải phương trình x x 2 x x Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên b Cho a, b, c thỏa x; y thoả mãn mãn abc 1 x y xy Chứng minh 1 ab a bc b ca c 2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M AM R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn, từ C vẽ CH vng góc với AB , CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE , CA , CH Q, K , P a)Chứng minh MNCO hình thang cân Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) MB cắt CH I Chứng minh KI song song với AB c)Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1,0 điểm) 27 2016 n Tìm số nguyên dương n lớn để A 4 số phương Họ tên thí sinh SBD: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC GIANG 2016-2017 Bài 1: (5,0 điểm) a Cho biểu thức M a a b b a b a a b b b a với a, b a b a b ab 1 Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết 18 3 b Tìm số nguyên a, b thoả mãn a b a b a, b, c thỏa mãn c Cho Tính giá trị biểu thức H a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3 1 ab c bc a ca b Lời giải ab a b với a, b a b M a) Rút gọn Ta có 1 a 1 b ab a ab 1 ab a b ab 1 b ( ab ) 1 a b ab 1 a b + Nếu a b a b a b 0; ab ab ab a b a b ab 0 a b ab 1 M 1 a b + a b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a b a b 0; ab ab ab a b a b ab 0 a b ab 1 M a b 18 3 b) a b a b 5a 5b 4a 4b 18 a 2b 3 a 2b 5a 5b 4a 4b 18a 2 36b 2 3a 6b 18a 2 36b 2 9b 3a 6b a 18a 36b 9b 3a 6b a Nếu 18a 36b2 9b 0 3a 6b2 a 2 18a 36b 9b 3a 6b2 a Q 2 Vì a, b nguyên nên 18a 36b 9b Q số vơ tỉ Vơ lý 2 2 18a 36b 9b 0 3a 6b b 18a 36b 9b 0 a b 2 3a 6b a 0 3a 6b a Vây ta có 2 a b vào 3a 6b a 0 Ta có Thay 3 b 6b b 0 27b 24b 6b 0 3b(b 2) 0 Ta có b 0 (loại) ; b 2 (thỗ mãn) , a 3 Kết luận c) Ta có mà Ta có nên a b c a b c 7 c a ab c ab liệu a bc a word mơn tốn: ab bc ca 13 b 1 b 1 b1 ab bc ca a b c 7 ; a b c 23 nên Tương tự Liên hệ tài 039.373.2038 a b c a1 b1 c ; ac b a1 c1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com H Vậy 1 ab c bc a ca b = a1 b1 b1 c1 a1 c1 c 1 a 1 b = a1 b1 abc = c1 a b c a b c ab bc ca 7 13 Bài 2: (4,5 điểm) 4 4 27 10 13 a Tính giá trị biểu thức N= a b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn b2 2 a b 2 + (1 ab) 4ab Chứng minh ab số hữu tỉ x x 2 x x c Giải phương trình Lời giải 2( 3) 13 a) N= 2( = (4 3) 2( ( 4 4 3) 3) 25 10 3) (5 2) (4 3) (5 2( 2) 4 4 3) 5 5 2 (GT) a b 2(ab 1) (a b) ab 0 b) Theo a b 2(a b) (1 ab) (1 ab) 0 2 a b (1 ab) 0 (a b) -(1 ab)=0 (a b) 1 ab a b ab Q Vậy Vì a, b Q ab số hữu tỉ c) Điều kiện: x 1 (*) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC 5 Website:tailieumontoan.com Ta có: x x 2 x x x x x x 2( x x 1) 0 x x x x 0 y 1 ** Đặt x x y (Điều kiện: , phương trình trở thành y y 0 y y y 0 y 1 y 3 0 y 3 +Với y không thỏa mãn điều kiện (**) + Với y 3 ta có phương trình: 1 x 3 x 3 x x 9 x x 1 x 3 1 x 3 x 2 x 2 x x 10 0 x 5 x x 3 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên x; y 2 thoả mãn x y xy b Cho a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh 1 ab a bc b ca c 2 Lời giải 2 x y xy x 1 xy y 0 a)Ta có x 1 x x x x 1 y x 1 0 x 1 x x x x y 0 x 0 2 x x x x 1 y 2 *Nếu x 0 x 1 ta có y y với y nguyên Vậy ngiệm PT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word 1; y Z mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2 *Nêu x x x x y x x x x (2 y ) Ta có 2y x x 4 x x x x x x x 2 2 3x x 3 x 3 2 (2 x x ) y * Vậy ta có 2x Ta có 2 x (2 y ) 5 x 0 , Vậy ta có 2y 2 x x ** Từ * ** ta có 2 2 (2 x x ) y x x y x x 1 ; y Nếu x x y 2 (2 x x 1) x x 0 x x 0 x ( x 1)( x 3) 0 x 3 + Nếu x y 1 y 1 +Nếu x 3 y 121 y 11 -Nếu 2y (2 x x 2)2 x 0 x 0 y 1 y 1 b) Ta có 2 x y z x y z x y y z x z 0 2 2 x y z 3 x y z nên với x, y, z ta có x y z 3 x2 y2 z , áp dụng ta có 1 1 1 3 ab a bc b ca c ab a bc b ca c -Với x, y ta có x y 2 xy x y 4 xy 11 1 x y 4 x y Áp dụng ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 ab a ab a ab abc a ab(c 1) ( a 1) 1 1 abc 1 c ab(c 1) a ab( c 1) a c a 1 c Vây ta có ab a c a 1 a 1 b Tương tự ta có bc b a b ; ca c b c nên 1 3 ab a bc b ca c 1 c a b 3 c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 Vậy 1 ab a bc b ca c 2 dấu “=” có a b c 1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn O; R đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M AM R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB , CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE , CA , CH Q, K , P a)Chứng minh MNCO hình thang cân b) MB cắt CH I Chứng minh KI song song với AB c)Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com N M E Q F K C I T A G O H B P a)Ta có ACB nội tiếp đường trịn (vì ) mà AB đường kính nên ACB vng C AC BN Ta có MA MC ( ), OA OC ( ) nên MO trung trực AC MO AC MO // NB MOA NBO Ta có OA MA ( ) MAO NOB 90 ; xét MAO NOB có MAO NOB 900 ; MOA NBO ; OA OB R MAO NOB MO NB Ta có MO // NB; MO NB MNBO hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có NO MA , mà MA MC ( ) nên NO MC MNBO hình thang cân b)Xét CHB MAO có MAO NOB 90 ; CBH MOA ( cm trên) CHB MAO CH HB HB MA AO R Ta có CH AB (gt) ; MA AB ( ) Nên ta có CH // MA IH // MA IH HB HB MA AB R CH HB HB IH IH 2 2 CH 2 IH IC IH MA R 2R MA MA Chi KI đường trung bình tam giác ACH KI // AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Chưng minh FQIO hình bình hành QF // IO -Chứng minh O trục tâm tam giác GIP PG OI PG QF Bài 6: (1,0 điểm) 27 2016 n Tìm số nguyên dương n lớn để A 4 số phương Lời giải * A 427 42016 n 27 2 Vì A 27 1 1989 n 27 1989 n 27 số phương nên số phương 1989 n 27 4 Ta có n 27 (2n 27 )2 1989 n 27 *mà số phương nên ta có 1989 1 4 n 27 2n 27 1 n 27 23977 n 4004 A 427 2016 44004 27 24004 Với n 4004 ta có số phương 27 2016 n Vậy n 4004 A 4 số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC