82 hsg 17 bac giang dang truong nguyen

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017 Bài 1: (5,0 điểm) a Cho biểu thức M  a ab b  a b a a b  b b với a, b  a b a  a    b   ab 1 Rút gọn M tính giá trị biểu thức M biết    18 3 a , b a  b a  b b Tìm số nguyên thoả mãn a, b, c thỏa mãn c Cho H Tính giá trị biểu thức a  b  c 7 ; a  b  c 23 ; abc 3 1   ab  c  bc  a  ca  b  Bài 2: (4,5 điểm) 4  4 N  13 a Tính giá trị biểu thức  27  10 2 a2  b2   a  b  b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn + (1  ab)  4ab   Chứng minh  ab số hữu tỉ c Giải phương trình x  x  2 x    x  Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên b Cho a, b, c  thỏa  x; y  thoả mãn mãn abc 1 x  y  xy  Chứng minh 1    ab  a  bc  b  ca  c  2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M AM  R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn, từ C vẽ CH vng góc với AB , CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE , CA , CH Q, K , P a)Chứng minh MNCO hình thang cân Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) MB cắt CH I Chứng minh KI song song với AB c)Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1,0 điểm) 27 2016 n Tìm số nguyên dương n lớn để A 4   số phương Họ tên thí sinh SBD: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC GIANG 2016-2017 Bài 1: (5,0 điểm) a Cho biểu thức M a a b b  a b a  a b b b  a với a, b  a b   a    b   ab 1 Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết   18 3 b Tìm số nguyên a, b thoả mãn a  b a  b a, b, c thỏa mãn c Cho Tính giá trị biểu thức H a  b  c 7 ; a  b  c  23 ; abc 3 1   ab  c  bc  a  ca  b  Lời giải ab a  b với a, b  a b M a) Rút gọn Ta có 1  a  1  b    ab  a ab 1  ab  a  b   ab 1 b  ( ab ) 1  a b ab 1 a b + Nếu a  b   a b a b  0; ab    ab ab   a b a b ab 0 a b ab 1  M 1 a b +  a  b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  a b a b  0; ab    ab  ab   a b a b ab 0 a b  ab 1  M  a b   18 3 b) a  b a  b  5a  5b  4a  4b  18  a  2b  3  a  2b   5a  5b  4a  4b  18a 2  36b 2 3a  6b  18a 2  36b 2  9b 3a  6b  a   18a  36b  9b  3a  6b  a Nếu 18a  36b2  9b 0  3a  6b2  a 2 18a  36b  9b 3a  6b2  a Q  2 Vì a, b nguyên nên 18a  36b  9b Q số vơ tỉ  Vơ lý  2 2 18a  36b  9b 0 3a  6b  b 18a  36b  9b 0    a b 2 3a  6b  a 0 3a  6b a Vây ta có 2 a b vào 3a  6b  a 0 Ta có Thay 3  b  6b  b 0  27b  24b  6b 0  3b(b  2) 0 Ta có b 0 (loại) ; b 2 (thỗ mãn) , a 3 Kết luận  c) Ta có mà Ta có nên  a  b  c   a  b  c 7  c   a  ab  c   ab  liệu a  bc  a   word mơn   tốn: ab  bc  ca 13 b 1  b 1  b1  ab  bc  ca a  b  c 7 ; a  b  c 23 nên Tương tự Liên hệ tài 039.373.2038 a b c a1   b1  c  ; ac  b    a1  c1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com H Vậy 1   ab  c  bc  a  ca  b  =      a1 b1     b1 c1  a1  c1 c  1 a  1 b  =    a1 b1  abc  =   c1  a b c    a b c   ab  bc  ca   7    13  Bài 2: (4,5 điểm) 4  4  27  10  13 a Tính giá trị biểu thức N= a b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn   b2  2  a  b  2 + (1  ab)  4ab Chứng minh  ab số hữu tỉ x  x  2 x    x  c Giải phương trình Lời giải 2(    3)  13 a) N= 2(    = (4  3)     2(    ( 4  4 3) 3)  25  10  3)  (5  2)  (4  3)  (5  2(    2)  4  4 3)  5  5 2 (GT)    a  b   2(ab  1)  (a  b)    ab  0   b) Theo   a  b   2(a  b) (1  ab)  (1  ab) 0 2    a  b   (1  ab)  0  (a  b) -(1  ab)=0    (a  b) 1  ab  a  b   ab  Q Vậy Vì a, b  Q  ab số hữu tỉ c) Điều kiện: x 1 (*) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC 5 Website:tailieumontoan.com Ta có: x  x  2 x    x   x  x x   x   2( x  x  1)  0  x    x   x  x   0 y 1  ** Đặt x  x   y (Điều kiện: , phương trình trở thành y  y  0  y  y  y  0   y  1  y  3 0    y 3 +Với y  không thỏa mãn điều kiện (**) + Với y 3 ta có phương trình: 1  x 3 x  3  x    x  9  x  x 1  x 3 1  x 3      x 2  x 2  x  x  10 0   x 5  x  x  3  Vậy phương trình có nghiệm x 2 Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên  x; y  2 thoả mãn x  y  xy  b Cho a, b, c  thỏa mãn abc 1 Chứng minh 1    ab  a  bc  b  ca  c  2 Lời giải 2 x  y  xy    x  1   xy  y  0 a)Ta có   x  1  x  x  x  x  1  y  x  1 0   x  1  x  x  x  x   y  0  x  0  2  x  x  x  x 1  y 2 *Nếu x  0  x 1 ta có  y  y  với y nguyên Vậy ngiệm PT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  1; y  Z  mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2 *Nêu x  x  x  x   y  x  x  x  x  (2 y ) Ta có  2y   x  x  4 x  x  x  x   x  x  x 2 2  3x  x  3  x     3  2 (2 x  x )   y  * Vậy ta có  2x Ta có 2  x    (2 y ) 5 x 0 , Vậy ta có  2y 2  x  x   ** Từ * ** ta có 2 2 (2 x  x )   y   x  x     y   x  x  1 ;  y Nếu  x  x    y 2 (2 x  x  1)   x  x  0  x  x  0  x   ( x  1)( x  3) 0    x 3 + Nếu x   y 1  y 1 +Nếu x 3  y 121  y 11 -Nếu  2y (2 x  x  2)2   x 0  x 0  y 1  y 1 b) Ta có 2  x  y  z    x  y  z    x  y    y  z    x  z  0 2 2   x  y  z  3  x  y  z  nên với x, y, z  ta có x  y  z  3 x2  y2  z  , áp dụng ta có 1 1 1      3    ab  a  bc  b  ca  c   ab  a  bc  b  ca  c   -Với x, y  ta có x  y 2 xy   x  y  4 xy  11 1     x y 4 x y Áp dụng ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1    ab  a  ab   a  ab  abc  a  ab(c  1)  ( a  1) 1 1   abc  1 c              ab(c  1) a    ab( c  1) a    c  a   1 c      Vây ta có ab  a   c  a   1 a  1 b          Tương tự ta có bc  b   a  b   ; ca  c   b  c   nên 1   3     ab  a  bc  b  ca  c   1 c a b   3         c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1  Vậy 1    ab  a  bc  b  ca  c  2 dấu “=” có a b c 1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn  O; R  đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M AM  R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB , CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE , CA , CH Q, K , P a)Chứng minh MNCO hình thang cân b) MB cắt CH I Chứng minh KI song song với AB c)Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com N M E Q F K C I T A G O H B P a)Ta có ACB nội tiếp đường trịn (vì ) mà AB đường kính nên ACB vng C  AC  BN Ta có MA MC ( ), OA OC ( ) nên MO trung trực AC    MO  AC  MO // NB  MOA  NBO   Ta có OA  MA ( )  MAO  NOB 90 ; xét MAO NOB có     MAO  NOB 900 ; MOA  NBO ; OA OB R  MAO NOB  MO NB Ta có MO // NB; MO  NB  MNBO hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có NO MA , mà MA MC ( ) nên NO MC MNBO hình thang cân     b)Xét CHB MAO có MAO  NOB 90 ; CBH MOA ( cm trên)  CHB MAO  CH HB HB   MA AO R Ta có CH  AB (gt) ; MA  AB ( ) Nên ta có   CH // MA  IH // MA  IH HB HB   MA AB R CH HB HB IH IH  2  2    CH 2 IH  IC  IH MA R 2R MA MA Chi KI đường trung bình tam giác ACH  KI // AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Chưng minh FQIO hình bình hành  QF // IO -Chứng minh O trục tâm tam giác GIP  PG  OI  PG  QF Bài 6: (1,0 điểm) 27 2016 n Tìm số nguyên dương n lớn để A 4   số phương Lời giải * A 427  42016  n  27 2  Vì A 27  1  1989  n  27  1989 n 27 số phương nên   số phương 1989 n 27 4 Ta có   n  27 (2n  27 )2 1989 n 27 *mà   số phương nên ta có 1989 1 4 n 27  2n 27  1  n  27 23977  n 4004 A 427  2016  44004  27  24004  Với n 4004 ta có số phương 27 2016 n Vậy n 4004 A 4   số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC