Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017 Bài 1: (5,0 điểm) x+2 x x −1 P= + + ÷: x x − x + x + 1 − x Cho biểu thức: Với x ≥ 0, x ≠ a) Rút gọn biểu thức P= x b) Tìm để c) So sánh: Bài 2: P2 2P P (4,0 điểm) a) Tìm b) Cho kiện: x, y ∈ ¢ a; b; c thỏa mãn: y x + x + y + = x + y + xy số nguyên khác thỏa mãn điều 1 1 1 + + ÷ = 2+ 2+ 2× a b c a b c Chứng minh rằng: Bài 3: a) Giải b) Cho a + b3 + c chia hết cho (4,0 điểm) phương trình sau: x; y x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 số thực thoả mãn: x + y + xy + x + y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y +1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng thuộc cạnh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu AB word ABCD Gọi mơn có cạnh E a N giao điểm toán: điểm tùy ý CN DA Vẽ TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cx tia EF trung điểm a) Chứng c) Tìm CM minh: b) Chứng Bài 5: cắt N AB F Lấy M vng góc với NB.DE = a minh: vị trí AEFC CE vng góc với B; D; M EF AB thẳng hàng cho diện tích tứ giác ABCD gấp lần diện tích hình vng (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (4,0 điểm) Bài 1: Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ x+2 x x −1 A = + + ÷ ÷: = x x −1 x + x + 1 − x = = x+2+ x ( ( ( ( ) ( )( ) x −1 x + x +1 ) x −1 )( ≥ b)Với x x −1 = ( ( ) x − x +1 )( ) x −1 x + x +1 x −1 ) x −1 x + x +1 P= ): x −1 − x + x +1 x ÷ x −1 + + : ÷ x −1 x + x + 1− x ÷ x+2 ≠ 0, x 2 = x −1 x + x +1 Ta có: 2 ⇔ = ⇔ x + x +1 = ⇔ x + x − = x + x +1 ⇔ Vì Liên hệ tài 039.373.2038 ( x −2 x +3> liệu )( nên word ) x +3 = x −2=0⇔ x = môn tốn: (t/m) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy P = x = x ≥ ⇒ x + x +1≥1 c)Vì ⇔0< ≤ ⇔ < P ≤ ⇔ P ( P − 2) ≤ ⇔ P − P ≤ ⇔ P ≤ P x + x +1 Dấu “=” xảy P = Vậy P2 ≤ ⇔ x=0 2P Bài 2: (4,0 điểm) y x + x + y + = x + y + xy ⇔ y x + x + y + − x − y − xy = ⇔ ( x − 1) ( y − y − x ) = −1 ∈ ∈ Vì x, y Z nên x - Ư(-1) = +) Nếu x – = ⇔ ⇒ x = Khi 2y2 - y – = - −1 ∉ y = (t/m)hoặc y = ⇒ +) Nếu x – = -1 Khi Vậy { 1; −1} Z (loại) x=0 y2 − y = ⇔ y = y= (t/m)hoặc −1 ∉Z (loại) x = x = ; y =1 y =1 b)Từ giả thiết Vì a , b, c ≠ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu nên 1 1 1 1 + + ÷ = + + ⇔ + + ÷= a b c a b c ab bc ca a+b+c = word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ a + b = −c ⇔ ( a + b ) = ( −c ) ⇔ a + b3 + 3ab ( a + b ) = −c 3 ⇔ a + b3 + c3 = 3abc a + b + c3 M Vậy với a, b, c ∈ Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y + z − xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) mà không chứng minh trừ 0,5 điểm Bài 3: (4,0 điểm) ∀x ∈ R a)Đkxđ: x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 x + 20 x + 25 + x + x + ≥ Vì với ∀x ⇒ 10 x − 20 ≥ ⇒ x ≥ x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 Ta có: x + + x + = 10 x − 20 ⇔ x + + x + = 10 x − 20 ⇔ x = 28 ⇔ x = 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm b) x + y + xy + x + y + 10 = x=4 ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + 10 = − y ⇔ ( x + y + ) ( x + y + ) = − y ≤ 2 ⇔ −4 ≤ x + y + ≤ −1 x + y + = −4 x + y + = −1 Vậy khi x = −5 x = −2 Amin = −4 Amax = −1 ; ; y=0 y=0 x = −5 ; y=0 x = −2 E M Bài 4: (6,0 điểm) A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word N môn D B tốn: ; y=0 F TÀI LIỆU TỐN HỌC C Website:tailieumontoan.com · · ECD = BCF Ta có: (cùng phụ với Chứng minh ∆EDC = ∆FBC · ECB ) (cạnh góc vng – góc nhọn) ⇒ CE = CF ⇒ ∆ECF CM Mà cân C đường trung tuyến nên ∆EDC = ∆FBC ⇒ ED = FB * Vì ∆NCF C vng CM ⊥ EF Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC = NB.BF ⇒ a = NB.DE * ∆CEF ∆AEF vng Vì AC ABCD có có CM AM CM = đường trung tuyến nên AM = đường trung tuyến nên thuộc đường trung trực hình vng nên B, D AC EF EF thuộc đường trung trực ⇒ B, D , M AC A vuông ⇒ CM = AM ⇒ M C (đpcm) thẳng hàng thuộc đường trung trực (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com DE = x ( x > 0) ⇒ BF = x Đặt 1 AF ( AE + CB ) = ( AB + BF ) ( AE + AD ) 2 1 = ( a + x ) DE = ( a + x ) x 2 S ACFE = S ACF + S AEF = S ∆ACFE = 3.S∆ABCD ( a + x ) x = 3a ⇔ 6a − ax − x = ⇔ ⇔ ( 2a − x ) ( 3a + x ) = x>0 Do ⇔ A Vì a > ⇒ 3a + x > ⇒ 2a − x = ⇔ x = 2a ; ; trung điểm AE / / BC ⇒N nên AN AE = =1 NB BC trung điểm Vậy với N DE ⇔ AE = a AB trung điểm AB S ∆ACFE = 3.S ∆ABCD Bài 5: (1 điểm) * Vì a , b, c > Tương tự: ⇒ b b+a < b+c a+b+c a b c + + a+b+c a ( b + c) ⇔ Tương tự: ⇒ Dấu "=" 2a a 2a a ≤ ⇔ ≤ a+b+c a +b +c b+c a ( b + c) 2b b ≤ a+b+c a+c a b c + + ≥2 b+c a+c a+b xảy tức ⇒ ; 2c c ≤ a+b+c b+a a =b+c b = c+a ; a=b=c ; c = a+b (vô lý) a b c + + >2 b+c a+c a+b (2) Từ (1); (2) ta có đpcm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC