Thông tin tài liệu
Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm) Cho P x x 2x x x x x x x x 3 x 2 x x 3 x a) Rút gọn P Với giá trị x P b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Câu 2: (4,0 điểm) 3x x a) Giải phương trình x 2x 4 2 2 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn x xy y x y Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a x 1 b y c xy y, xy Tính giá trị biểu thức x, A a b c abc x x x x b) Chứng minh với x ta ln có Câu 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD BC , AB CD Gọi I , Q, H , P trung điểm AB, AC , CD, BD a) Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc b) Về phía ngồi tứ giác ABCD , dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Câu 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC 40 cm, phân giác AD 45 cm, đường cao AH 36 cm Tính độ dài BD, DC Câu 6: (2,0 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức 1 a 1 b 4 Hãy tìm GTNN P a b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số Liên hệ tài 039.373.2038 word liệu mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm) P Cho x x 2x x x x x x x x 3 x 2 x x 3 x a) Rút gọn P Với giá trị x P b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Lời giải a) Điều kiện: x ; x ; x P P 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x3 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (Do x nên x ) x Kết hợp với điều kiện suy ra: P x x b) Với x ; x ; x , P x 1 2 x 1 x 1 P nguyên x ước P đạt giá trị nguyên lớn x x Vậy P đạt giá trị nguyên lớn x Câu 2: (4,0 điểm) 3x x a) Giải phương trình x 2x 4 2 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn x xy y x y Lời giải a) Điều kiện: x 2x 3x x Phương trình x 2x 4 3x x x x x x x x 12 * Ta xét trường hợp sau: Với x 3 , phương trình * 3 x x 4(2 x 3) x 12 x 28 x 14 (thỏa mãn đk) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 x 1 * 3x x 4(2 x 3) x 12 Với , phương trình 14 x 4 x 1 x Với , phương trình * 3x x 4(2 x 3) x 12 16 x 6 x x Với (thỏa mãn đk) (loại) , phương trình * x x 4(2 x 3) x 12 10 x x 2 (loại) 2 S 14; 7 Vậy phương trình cho có tập nghiệm x xy y x y x y xy xy 1 b) Ta có Ta xét trường hợp: xy xy xy 1 xy 1 TH1: x y Với xy x y suy x y x x 1 Với xy 1 x y suy y 1 y xy xy 1 x y TH2: x y số phương mà tích hai số nguyên liên tiếp (là hai số nguyên tố nhau) x y Do phương trình ngun Vậy nghiệm nguyên x; y 0;0 ; 1; 1 ; 1;1 xy xy 1 phương nghiệm trình cho là: Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a x 1 b y c xy y, xy Tính giá trị biểu thức x, A a b c abc 1 x x x x b) Chứng minh với x ta ln có Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có: a2 x2 1 2 2 2 b y 2 c x y 2 2 y x y x , , 1 x y x y ab x y xy c x y xy y x y x Lại có: x y x y 1 2 2 abc c .c c xy c x y c a b y x xy x y y x Khi đó: A a2 b2 c2 c a b2 1 x x x x x x x x x x x x b) Xét 1 x x x x 1 (Vì x nên x ) Đặt x Khi 1 t x2 t x x 1 t 3t t 2t 1 Vì x nên x 1 2 2 1 x 1 2x x x hay t Vậy ta có đpcm Câu 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD BC , AB CD Gọi I , Q, H , P trung điểm AB, AC , CD, BD a) Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc b) Về phía ngồi tứ giác ABCD , dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Lời giải a) Vì IP //HQ IP HQ (tính chất đường trung bình tam giác) nên IPHQ hình bình hành Mặt khác IP IQ (do AD BC ) Suy IPHQ hình thoi Gọi P1 Q1 giao điểm PQ với AD BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · 1 Nhận thấy HPQ cân đỉnh H HPQ HQP · · · QH //AD ·AP1P HQP Mà PH //BC BQ1P HPQ (so le trong) (so le trong) Từ 3 1 , , 3 · · suy AP1 P BQ1 P (đpcm) b) Gọi K , M , N trung điểm EF , DF , CE Từ giả thiết ADE BCF dựa vào tính chất đường trung bình tam giác suy HMP HNQ (c.c.c) · · · · MHP NHQ MHQ NHP · · MHN PHQ có tia phân giác Mặt khác dễ thấy IPHQ KMHN hình thoi Suy HK HI phân giác · · MHN PHQ Suy H , I , K thẳng hàng Câu 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC 40 cm, phân giác AD 45 cm, đường cao AH 36 cm Tính độ dài BD , DC Lời giải Đặt BD x, DC y Giả sử x y Áp dụng định lí Pytago tam giác vuông AHD ta HD 27 cm Vẽ tia phân giác góc ngồi A , cắt BC E Ta có AE AD AD DE.DH DE AD 452 75 DH 27 cm Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có: BD EB x 75 x DC EC y 75 y Mặt khác 1 x y 40 y 40 x , thay vào 1 ta x 15 x 115 x 1500 x 100 Do x 40 nên chọn x 15 y 25 Vậy BD 15 cm, CD 25 cm Câu 6: (2,0 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 1 a 1 b TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 4 Hãy tìm GTNN P a b Lời giải Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai dãy a ; ; ta được: 1 42 a 12 a a b2 b 1 17 Tương tự ta có Từ 1 2 suy P Mặt khác theo giả thiết a2 a 17 Dấu " " xảy Dấu " " xảy b a2 b2 * 17 1 a 1 b Áp dụng BĐT Cơsi ta có: a2 a b ab 4 a b2 1 ab a b2 b 4 , , a b a b ab a b Cộng vế ba BĐT ta được: 8 17 P * 17 Thay vào ta Vậy GTNN P Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn 17 a b đạt tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... báo danh: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2 016 Câu 1: (4,0 điểm) P Cho x x 2x x x x x x x x 3 x 2 x x 3 x... 14 x 4 x 1 x Với , phương trình * 3x x 4(2 x 3) x 12 ? ?16 x 6 x x Với (thỏa mãn đk) (loại) , phương trình * x x 4(2 x 3) x ... Mặt khác 1 x y 40 y 40 x , thay vào 1 ta x 15 x 115 x 1500 x 100 Do x 40 nên chọn x 15 y 25 Vậy BD 15 cm, CD 25 cm Câu 6: (2,0 điểm) Với a, b số
Ngày đăng: 30/10/2022, 22:27
Xem thêm:
