100 hsg 16 thanh hoa nhu thuy dung

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm) P x x  2x  x  x x  2x  x   x x x x x  x 2 Cho a) Rút gọn P Với giá trị x P  b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình  3x  x  4 x    2x 2 2 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn x  xy  y  x y Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a x  1 b y  c  xy  y, xy Tính giá trị biểu thức x, A a  b  c  abc      x     x3   x  x   b) Chứng minh với x  ta ln có  Câu 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD  BC , AB  CD Gọi I , Q, H , P trung điểm AB, AC , CD, BD a) Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc b) Về phía ngồi tứ giác ABCD , dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Câu 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC 40 cm, phân giác AD 45 cm, đường cao AH 36 cm Tính độ dài BD, DC Câu 6: (2,0 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức 1  a  1  b  4 Hãy tìm GTNN P   a   b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số Liên hệ tài 039.373.2038 word liệu mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm) P x x  2x  x  x x  2x  x   x x x x x  x 2 Cho a) Rút gọn P Với giá trị x P  b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Lời giải a) Điều kiện: x 0 ; x 1 ; x 4 P P 1   x    x1 x    x 1  x 1 x 2     x1 x 2  x 1  x1  x1 x   x  1   x x 1 x1  x  1  x  1 x 3 1   1    x 1 x x x (Do x 0 nên x   )  x  Kết hợp với điều kiện suy ra: P  x  x 4 b) Với x 0 ; x 1 ; x 4 , P  x  1 2  x x P nguyên  x  ước P đạt giá trị nguyên lớn  x  1  x 2 Vậy P đạt giá trị nguyên lớn x 2 Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình  3x  x  4 x    2x 2 2 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn x  xy  y  x y Lời giải a) Điều kiện: Phương trình x    x 0  3x  x  4   x  x  4  x    x  x    2x   3x  x    x  x  12 0  * Ta xét trường hợp sau:  Với Liên hệ tài 039.373.2038 liệu x 3 , phương trình  *   x   x   4(2 x  3)  x  12 0  x  28  x  14 (thỏa mãn đk) word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  3 x  *   x   x   4(2 x  3)  x  12 0 Với , phương trình     14 x   x  (thỏa mãn đk) x   Với x  Với , phương trình  *   x   x   4(2 x  3)  x  12 0   16 x   x  (loại) , phương trình  *  x   x   4(2 x  3)  x  12 0 2   10 x 4  x  (loại) 2  S   14;  7  Vậy phương trình cho có tập nghiệm x  xy  y  x y   x  y   xy  xy  1 b) Ta có Ta xét trường hợp:   xy 0  xy  xy  1 0    xy  TH1: x  y 0 Với xy 0 x  y 0 suy x  y 0  x 1  x    Với xy  x  y 0 suy  y   y 1 xy  xy  1  x  y  TH2: x  y 0  số phương mà tích hai số nguyên liên tiếp (là hai số nguyên tố nhau) x  y Do phương trình  nguyên Vậy nghiệm nguyên  xy  xy  1 phương khơng có nghiệm trình cho là:  x; y     0;0  ;  1;  1 ;   1;1  Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a x  1 b y  c  xy  y, xy Tính giá trị biểu thức x, A a  b  c  abc      x     x3   x  x   b) Chứng minh với x  ta ln có  Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có: a x  1 2 2  b  y   c x y  2  2 y x y x , ,  1 x y x y  ab  x    y    xy    c   x  y xy y x y x  Lại có:   x y  x y  1  abc  c    c c      xy   c  x  y   c  a   b  y x xy  x y   y x  Khi đó: A a  b  c   c  a   b   4  1  1        x     x3     x    x     x    x   1 x  x  x  x x  x     b) Xét  1      x     x   1 x x     1 (Vì x  nên x   ) Đặt x Khi 1 t  x  t  x x  1  t  3t     t    2t  1    Vì x  nên  x  1 2   x 1  x  x  x    2   1 hay t  Vậy ta có đpcm Câu 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD BC , AB  CD Gọi I , Q, H , P trung điểm AB, AC , CD, BD a) Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc b) Về phía ngồi tứ giác ABCD , dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Lời giải a) Vì IP //HQ IP HQ (tính chất đường trung bình tam giác) nên IPHQ hình bình hành Mặt khác IP IQ (do AD BC ) Suy IPHQ hình thoi Gọi P1 Q1 giao điểm PQ với AD BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com    1 Nhận thấy HPQ cân đỉnh H  HPQ HQP      QH //AD  APP HQP Mà PH //BC  BQ1 P HPQ (so le trong) (so le trong) Từ  3  1 ,   ,  3   P BQ 1 suy APP (đpcm) b) Gọi K , M , N trung điểm EF , DF , CE Từ giả thiết ADE BCF dựa vào tính chất đường trung bình tam giác suy HMP HNQ (c.c.c)      MHP  NHQ  MHQ NHP    MHN PHQ có tia phân giác Mặt khác dễ thấy IPHQ KMHN hình thoi Suy HK HI phân giác   MHN PHQ Suy H , I , K thẳng hàng Câu 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC 40 cm, phân giác AD 45 cm, đường cao AH 36 cm Tính độ dài BD , DC Lời giải Đặt BD x, DC  y Giả sử x  y Áp dụng định lí Pytago tam giác vuông AHD ta HD 27 cm Vẽ tia phân giác góc ngồi A , cắt BC E Ta có AE  AD  AD DE.DH  DE  AD 452  75 DH 27 cm Theo tính chất đường phân giác ngồi tam giác ta có: BD EB x 75  x    DC EC y 75  y Mặt khác  1 x  y 40  y 40  x , thay vào  1 ta  x 15 x  115 x  1500 0    x 100 Do x  40 nên chọn x 15  y 25 Vậy BD 15 cm, CD 25 cm Câu 6: (2,0 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: 1 a 1 b  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 4 Hãy tìm GTNN P   a   b Lời giải Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai dãy a ; ; ta được: 1 2  42   a  12   a    a4 1  b2  b 1  17 a2   a   17 Dấu " " xảy Tương tự ta có Từ  1  2 P suy Mặt khác theo giả thiết  2 Dấu " " xảy  b a2  b2   * 17 1 a 1 b  Áp dụng BĐT Cơsi ta có: a2   a  b  ab  4 a  b2 1 ab a b  b 4 , , a  b   a  b  ab   a  b   Cộng vế ba BĐT ta được: 8 17 P 2  *  17 Thay vào ta Vậy GTNN P Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn 17 a b  đạt tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC