Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011 Bài (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: có hai nghiệm x − 2m x + 2m − = Chứng minh phương trình ln P= x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức m thay đổi 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 + = a b c x1 x2 + x + x22 + 2(1 + x1 x2 ) Chứng minh A = a + b2 + c2 số hữu tỉ (b) Cho ba số hữu tỉ B= Bài x, y , z đôi phân biệt Chứng minh rằng: 1 + + 2 ( x − y ) ( y − z ) ( z − x)2 số hữu tỉ (5,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Bài x x 10 ÷ + ÷ = x −1 x + 1 1 x + x + 1 + ÷ = y y x + x + x + = y y y3 (2,0 điểm) D, E AC, AB, ABC Cho tam giác , điểm thuộc cạnh BD, CE P ADPE cho cắt diện tích tứ giác diện tích tam giác Bài BPC Tính · BPE (4,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com O ∉ AB Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( ) P điểm di P ≠ A, B động đoạn thẳng AB ( P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) N≠P cắt N ( ) a) Chứng minh đường tròn ·ANP = BNP · bốn điểm O, D, C, N nằm a) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Bài (4,0 điểm) a) Cho Đặt dj a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn d j = a j +1 − a j , ( j = 1, 2, , 44) a1 < a2 < < a45 ≤ 130 Chứng minh 44 hiệu xuất 10 lần b) Cho ba số dương a , b, c Chứng minh rằng: thoả mãn: a + b2 + b + c + c + a = 2011 a2 b2 c2 2011 + + ≥ b+c c+a a+b 2 HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011 Bài (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: có hai nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x − 2m x + 2m − = mơn tốn: Chứng minh phương trình ln TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P= x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức m thay đổi a, b, c 2.a) Cho ba số hữu tỉ A = a + b2 + c2 thoả mãn Chứng minh số hữu tỉ b) Cho ba số hữu tỉ x, y , z đôi phân biệt Chứng minh rằng: 1 + + 2 ( x − y ) ( y − z ) ( z − x)2 B= 1 + = a b c x1 x2 + x + x22 + 2(1 + x1 x2 ) số hữu tỉ Lời giải ∆ ' = (m − 1) ≥ 0, ∀m 1) Ta có m Theo định lí viet, ta có P= nên phương trình có hai nghiệm với x1 + x2 = 2m, x1 x2 = 2m − x1 x2 = 2m − 4m + (2m − 1) = − ≤ Max P = 1, 4m + 4m + 2.a) Từ giả thiết suy Suy số hữu tỉ 1 a= ,b= ,c = x− y y−z x−z B= Bài Áp dụng câu 2a) suy (5,0 điểm) a) Giải phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn 1 + = a b c suy 1 + + 2 ( x − y ) ( y − z ) ( z − x)2 b) Giải hệ phương trình: m= 2ab − 2bc − 2ca = A = (a + b − c)2 = a + b − c 2.b) Đặt , suy số hữu tỉ x x 10 ÷ + ÷ = x −1 x +1 1 1 x + x + 1 + ÷ = y y x + x + x + = y y y3 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Đk: Lời giải x ≠ ±1 Phương trình tương đương với 2 x2 x x2 10 x 10 x + − = ⇔ − − = ÷ ÷ x2 −1 x − x − x + x −1 Đặt 2x2 t= , x −1 t= , Với b) Đk: Đặt Với Bài ta phương trình 2x = x −1 ta t= −2 (vô nghiệm) ta y ≠ 2x =− x −1 suy Hệ tương đương với u = x + y v = x , y u = v = 1, 10 =0⇔t= 2 t=− , Với t2 − t − ta hệ ta x=± x + x3 + 1 +x+ =4 y y x 1 + x + ÷ = y y y u + u − 2v = u − 4u + = u = ⇔ ⇔ u − 2uv = u + u − = 2v v = 1 x + y = x = ⇔ y = x =1 y (thoả mãn điều kiện) (2,0 điểm) D, E AC, AB, ABC Cho tam giác , điểm thuộc cạnh BD, CE P ADPE cho cắt diện tích tứ giác diện tích tam giác BPC Tính · BPE Lời giải Kẻ EF ⊥ AC F, Theo giả thiết Liên hệ tài 039.373.2038 liệu DG ⊥ BC G S( ADPE ) = S( BPC ) word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ S( ACE ) = S( BCD ) Mà µA = C µ ∆AEF = ∆CDG ⇒ AE = CG AC = BC ⇒ EF = DG Suy Do · · ∆AEC = ∆CDB(c − g − c) ⇒ DBC = ECA · · · · · ⇒ BPE = PBC + PCB = PCD + PCB = 600 Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( P ≠ A, B động đoạn thẳng AB ( P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N≠P N( ) O ∉ AB ) P điểm di ·ANP = BNP · a) Chứng minh bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn b) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Lời giải a) Gọi Q giao điểm tiếp tuyến chung (O) với (C), (D) A, B tương ứng Suy Ta có ·ANP = QAP · · · = QBP = BNP ·ANB = ·ANP + BNP · · · = QAP + QBP = 1800 − ·AQB , suy NAQB nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm O, N, A, Q, B nằm đường tròn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có · · · · OCN = 2OAN = 2OBN = ODN , suy bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn b) Gọi E trung điểm OQ, suy E cố định E tâm đường N, O, D, C tròn qua điểm Suy đường trung trực ON qua điểm E cố định Bài (4,0 điểm) a) Cho Đặt dj a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn d j = a j +1 − a j , ( j = 1, 2, , 44) a1 < a2 < < a45 ≤ 130 Chứng minh 44 hiệu xuất 10 lần b) Cho ba số dương a , b, c Chứng minh rằng: thoả mãn: a + b2 + b + c + c + a = 2011 a2 b2 c2 2011 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Lời giải a) d1 + d + + d 44 = (a2 − a1 ) + ( a3 − a2 ) + + (a45 − a44 ) = a45 − a1 ≤ 130 − = 129 Nếu hiệu d j ( j = 1, 2, , 44) xuất khơng q 10 lần d1 + d + + d 44 ≥ 9(1 + + + 4) + 8.5 = 130 Vậy phải có hiêụ lần b) Ta có Suy Liên hệ tài 039.373.2038 (1) mâu thuẫn với (1) d j ( j = 1, , 44) xuất không 10 2(a + b ) ≥ (a + b) a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ + + b+c c+a a+b ( b2 + c2 ) ( c2 + a2 ) ( c2 + a2 ) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt x = b2 + c2 , y = c2 + a , z = a + b2 , suy y + z − x z + x2 − y x2 + y − z VT ≥ + + 2x 2y 2z ≥ ( z + x) ( x + y)2 ( y + z ) − x ÷+ − y ÷+ − z ÷ 2 x 2y 2z ≥ ( z + x) ( x + y)2 ( y + z ) + x − 3x ÷+ + y − y ÷+ + z − 3z ÷ 2 x 2y 2z ≥ 2 ( 2( y + z ) − x ) + ( 2( z + x) − y ) + ( 2( x + y − 3z ) VT ≥ Suy 2 ( x + y + z) = 2011 2 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... a = 2 011 a2 b2 c2 2 011 + + ≥ b+c c+a a+b 2 HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2 011 Bài... 10 lần b) Cho ba số dương a , b, c Chứng minh rằng: thoả mãn: a + b2 + b + c + c + a = 2 011 a2 b2 c2 2 011 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Lời giải a) d1 + d + + d 44 = (a2 − a1 ) + ( a3 − a2 ) + + (a45... ≥ 2 ( 2( y + z ) − x ) + ( 2( z + x) − y ) + ( 2( x + y − 3z ) VT ≥ Suy 2 ( x + y + z) = 2 011 2 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC