Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011 Bài (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: x 2m x 2m 0 Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức m thay đổi P x1 x2 x x22 2(1 x1 x2 ) 1 1 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh A a2 b2 c2 số hữu tỉ (b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi phân biệt Chứng minh rằng: B Bài 1 2 ( x y ) ( y z ) ( z x ) số hữu tỉ (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 10 x x 1 1 1 x x 4 y y x x x 4 y y y3 b) Giải hệ phương trình: Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC , điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( O AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB ( P A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N ( N P ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh ANP BNP bốn điểm đường tròn O, D, C, N nằm a) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Bài (4,0 điểm) a) Cho a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 a45 130 d a j 1 a j , ( j 1, 2, , 44) Đặt j Chứng minh 44 hiệu dj xuất 10 lần b) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a 2011 a2 b2 c2 2011 Chứng minh rằng: b c c a a b HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011 Bài (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: x 2m x 2m 0 Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức m thay đổi P x1 x2 x x22 2(1 x1 x2 ) 1 1 a, b, c 2.a) Cho ba số hữu tỉ thoả mãn a b c Chứng minh A a b c số hữu tỉ b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi phân biệt Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 2 ( x y ) ( y z ) ( z x ) số hữu tỉ B Lời giải 1) Ta có ' (m 1) 0, m nên phương trình có hai nghiệm với m Theo định lí viet, ta có x1 x2 2m, x1 x2 2m x1 x2 2m , suy 4m 1 (2m 1) P m 1 1 Max P 1, 4m 4m 2 2.a) Từ giả thiết suy 2ab 2bc 2ca 0 Suy A (a b c)2 a b c 2.b) Đặt a số hữu tỉ 1 1 1 ,b ,c x y y z x z suy a b c B Áp dụng câu 2a) suy Bài (5,0 điểm) 1 2 ( x y ) ( y z ) ( z x) số hữu tỉ 2 x x 10 x x a) Giải phương trình: 1 1 x x 4 y y x x x 4 y y y3 b) Giải hệ phương trình: Lời giải a) Đk: x 1 Phương trình tương đương với 2 2x2 x x2 10 x 10 x 0 x2 x 1 x x 1 x Đặt t 10 2 2x2 t2 t 0 t t , x ta phương trình 2x2 t , ta x (vô nghiệm) Với Với t Liên hệ tài 039.373.2038 2 x2 , x ta x suy liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y x y 4 x3 x x 4 y3 y y b) Đk: y 0 Hệ tương đương với u x y u u 2v 4 u 4u 0 u 2 v x , u u 2v v 1 Đặt y ta hệ u 2uv 4 x y 2 u 2 x 1 y v 1, Với ta Bài (2,0 điểm) x 1 y 1 (thoả mãn điều kiện) Cho tam giác ABC , điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Lời giải Kẻ EF AC F, DG BC G Theo giả thiết S( ADPE ) S( BPC ) S( ACE ) S( BCD ) Mà AC BC EF DG A C Suy AEF CDG AE CG Do AEC CDB(c g c) DBC ECA BPE PBC PCB PCD PCB 600 Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( O AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB ( P A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N ( N P ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh ANP BNP bốn điểm đường tròn O, D, C, N nằm b) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Lời giải a) Gọi Q giao điểm tiếp tuyến chung (O) với (C), (D) A, B tương ứng Suy ANP QAP QBP BNP Ta có ANB ANP BNP QAP QBP 1800 AQB , suy NAQB nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm O, N, A, Q, B nằm đường tròn Ta có OCN 2OAN 2OBN ODN , suy bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn b) Gọi E trung điểm OQ, suy E cố định E tâm đường tròn qua điểm N, O, D, C Suy đường trung trực ON qua điểm E cố định Bài (4,0 điểm) a) Cho a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 a45 130 d a j 1 a j , ( j 1, 2, , 44) Đặt j Chứng minh 44 hiệu dj xuất 10 lần b) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a 2011 a2 b2 c2 2011 Chứng minh rằng: b c c a a b Lời giải a) d1 d d 44 (a2 a1 ) ( a3 a2 ) (a45 a44 ) a45 a1 130 129 (1) Nếu hiệu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu d j ( j 1, 2, , 44) word môn xuất khơng q 10 lần tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com d1 d d 44 9(1 4) 8.5 130 mâu thuẫn với (1) Vậy phải có hiêụ lần d j ( j 1, , 44) xuất khơng 10 2 b) Ta có 2(a b ) (a b) Suy a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 c2 a2 2 2 2 Đặt x b c , y c a , z a b , suy VT y z x2 z x2 y x2 y z 2x 2y 2z ( z x) ( x y)2 ( y z )2 x y z 2 2x 2y 2z ( z x)2 ( x y )2 ( y z)2 x x y y z 3z 2 2x 2y 2z 2( y z ) x 2( z x) y 2( x y 3z 2 Suy VT 2 ( x y z) 2011 2 …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC