Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (2,0 điểm) x +2 x +3 x +2 x A = − − : − ÷ ÷ ÷ x −3 x +1÷ x−5 x +6 2− x Cho biểu thức : A 1/ Rút gọn biểu thức 2/ Tìm giá trị Câu 2: x để (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ a 1/ Tìm giá trị M ( 1; ) 2/ Với Oxy ( P ) : y = ax ( a ≠ ) , cho Parabol đ- ( d ) : y = bx + ường thẳng b để ( P) ( d) qua điểm a, b vừa tìm được, chứng minh điểm chung toạ độ) Câu 3: ≤− A N khác M ( P) Tính diện tích tam giác ( d) MON cịn có (với O gốc (2,0 điểm) 1/ Cho phương trình: để x − (2m + 1) x + m + m − = m ( tham số) Tìm m phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 2/ Giải hệ phương trình: Câu 4: x −1 + y −1 = 1 x + y =1 (3,0 điểm) Cho A điểm cố định nằm đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M 1/ Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn MO = MA tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB + AC − BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N b) Nếu tứ giác PQ //BC Câu 5: BCQP nội tiếp đường trịn (1,0 điểm) x, y Cho rằng: số thực dương thoả mãn : + =2 x y Chứng minh x + y − xy + y ≥ ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 20182019 Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức : x +2 x +3 x +2 x A = − − : − ÷ ÷ ÷ x −3 x +1÷ x−5 x +6 2− x 1/ Rút gọn biểu thức 2/ Tìm giá trị 1/ Rút gọn biểu thức A x A để ≤− A Lời giải x +2 x +3 x +2 x A = − − : − ÷ ÷ x −3 ÷ x +1 ÷ x−5 x +6 2− x A= A= x −2 ) x + + ( x − 9) − ( x − 4) x + : ÷ ÷ x −2 x −3 x +1 ( ( A= )( ) x +3 x +2÷ x +2 − − : ÷ x − ÷ x + ÷ x −3 2− x x +2 ( (ĐK: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ )( ) ( x + 1) ( x − 3) ( x − ) ) x −3 = x +1 x−4 2/ Tìm giá trị x để ≤− A x−4 ≤− ⇔ ≤ − ⇔ x − ≤ −5 x − A 2 x +1 1 ⇔ x + x − ≤ ⇔ −3 ≤ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 2 ⇔0≤ x≤ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 0≤ x≤ Kết hợp với ĐK ⇒ (2,0 điểm) Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ 1/ Tìm giá trị 2/ Với , cho Parabol ( P ) : y = ax ( a ≠ ) đ- ( d ) : y = bx + ường thẳng M ( 1; ) Oxy a b để ( P) ( d) qua điểm a, b vừa tìm được, chứng minh điểm chung toạ độ) N M khác ( P) Tính diện tích tam giác ( d) MON cịn có (với O gốc Lời giải 1/ Tìm giá trị a b để ( P) ( d) qua điểm M ( 1; ) M ∈ ( P ) ⇒ = a.12 ⇒ a = ⇒ y = x M ∈ ( d ) ⇒ = b.1 + ⇒ b = ⇒ y = x + 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh điểm chung toạ độ) N khác Xét pt hoành độ gđ: M ( P) Tính diện tích tam giác ( d) MON cịn có (với O gốc 2x2 = x + ⇔ 2x2 − x − = x =1 ⇒ y = ⇔ 1 x = − ⇒ y = N − ; ÷ 2 ⇒ M ( 1; ) ; 2 1 1 1 S∆MON = Sthang − ( S1 + S2 ) = + ÷ + ÷− + 1.2 ÷ = 0, 75 2 2 2 Câu 3: (2,0 điểm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1/ Cho phương trình: để x − (2m + 1) x + m + m − = m ( tham số) Tìm m phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 2/ Giải hệ phương trình: x −1 + y −1 = 1 x + y =1 Lời giải x − (2m + 1) x + m + m − = m 1/ Cho phương trình: để ( tham số) Tìm m phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m < −3 ∆ > 25 > m>2 ⇔ a.c > ⇔ m + m − > ⇔ ⇔m>2 b 2m + > m>− − > a 2/ Giải hệ phương trình: (2) ⇔ x + y = xy x −1 + y −1 = 1 x + y =1 (ĐK: x ≥1 y ≥1 ; ) (3) Hai vế (1) dương nên bình phương hai vế ta có: x+ y −2+2 ( x − 1) ( y − 1) =4 ⇔ x + y − + xy − ( x + y ) + = Thay (3) vào ta có: x+ y = kết hợp với (3) có hệ: x Áp dụng hệ thức Viete ta có ; ⇒ x = 2; y = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu y x + y = xy = hai nghiệm pt: x2 − x + = word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 4: (3,0 điểm) Cho A điểm cố định nằm đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M MO = MA 1/ Chứng minh rằng: 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB + AC − BC b) Nếu tứ giác PQ //BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N BCQP nội tiếp đường trịn Lời giải B P A N M O Q µA = O µ 1 àA = ảA ảA = O 2 ⇒ ∆MAO C ⇒ MO = MA cân 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB + AC − BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có BP = BN Liên hệ tài 039.373.2038 AP = AQ , CQ = CN ⇒ AB + AC − BC = AP + BP + AQ + QC − CN − BN = AP ( const ) liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC , Website:tailieumontoan.com BCQP b) Nếu tứ giác PQ //BC BCQP Nếu tứ giác Mà Câu 5: nội tiếp đường trịn nội tiếp µ =Q µ ⇒C µ =Q µ ⇒ PQ //BC P 1 1 µ =C µ ⇒P 1 (1,0 điểm) x, y Cho rằng: số thực dương thoả mãn : x + y − xy + y ≥ + =2 x y Chứng minh Lời giải * Ta có: x + y − xy + y ≥ ⇔ x − xy + y + x + y − ≥ ⇔ ( 2x − y ) + x2 + y − ≥ * 2 2x −1 2x + = ⇔ = 2− ⇔ = ⇔ y= x y y x y x 2x −1 Vì: y>0 ; x > ⇒ 2x −1 > x2 + y − ≥ ⇔ x2 + Ta có: Vì ⇒x> y= Thay 2x 2x −1 vào x2 + y − ≥ 2x x3 − x + x − x + −3≥ ⇔ ≥0 2x −1 2x −1 3 2 x − > ⇒ ( 1) ⇔ x − x + x − x + ≥ ⇔ x − x − x + ≥ Mà x3 − x − x + = x3 − x + x − x − 3x + ( = ( x − 1) x + x − = ( x − 1) Suy Liên hệ tài 039.373.2038 ) ( x + 3) ≥ ( 2x − y ) liệu ∀x > + x2 + y − ≥ word mơn tốn: ∀x > 0; y > TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x + y − xy + y ≥ …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 20182019 Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức : x +2 x +3 x +2 x A = −