Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: b) Tìm số tự nhiên Câu 2: (4,0 điểm) a) Cho ( x+ n x + 2015 n4 + để )( y+ x + x = 38 − y số nguyên tố ) y + 2015 = 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A = x + y + 2016 b) Chứng minh rằng: ax = by = cz Nếu Câu 3: 3 1 + + =1 x y z ax + by + cz = a + b + c (4,0 điểm) a) Giải phương trình ( x + x + ) = 11 x + x ( x + y ) + y − y + = 2 y ( x + y ) − x − y = 2 b) Giải hệ phương trình Câu 4: (7,0 điểm) ( O; R ) BC ( BC < R ) A dây cung cố định Điểm di BC ∆ABC động cung lớn cho có ba góc nhọn Kẻ đường AD, BE , CF H cao cắt S AEF = cos A S ABC ∆AEF ∽ ∆ABC a) Chứng minh Cho đường tròn b) Chứng minh rằng: S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c) Xác định vị trí điểm trị lớn Câu 5: A cung lớn BC cho chu vi ∆DEF đạt giá (2,0 điểm) Cho Liên hệ tài 039.373.2038 a , b, c liệu ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a + b3 + c a + b b + c c + a P= + + + 2abc c + ab a + bc b + ca word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 20152016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: n +4 n b) Tìm số tự nhiên x + x = 38 − y để số nguyên tố Lời giải 2 x + x = 38 − y ⇔ x + x = 19 − y ⇔ ( x + 1) = ( − y ) 2 a) Ta có ( x + 1) M2 ⇒ ( − y ) M2 ⇒ y Ta thấy: 7− y ≥0⇒ y ≤ Mặt khác: lẻ y = ⇒ y = ±1 Do 2( x + 1) = 18 ⇒ x + = ±3 ⇒ x = 2 Khi Vậy phương trình ( x; y ) ∈ { ( 2;1) ; ( 2; − 1) ; ( −4;1) ; ( −4; − 1) } x = −4 cho có nghiệm n + = n + + n − 4n = ( n + ) − ( n ) = ( n − n + ) ( n + 2n + ) 2 b) Ta có n n + 2n + > n +4 Vì số tự nhiên nên , mà số nguyên tố nên n − 2n + = ⇔ n = Câu 2: (4,0 điểm) a) Cho ( x+ x + 2015 )( y+ ) y + 2015 = 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A = x + y + 2016 b) Chứng minh rằng: ax = by = cz Nếu 3 1 + + =1 x y z ax + by + cz = a + b + c Lời giải a) Nhân vế đẳng thức cho với ( ) ( −2015 y + y + 2015 = 2015 x − x + 2015 2 ) liệu word mơn tốn: x + 2015 ) ta được: ( 1) Nhân vế đẳng thức cho với Liên hệ tài 039.373.2038 ( x− ( y− y + 2015 ) ta được: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ) ( ( −2015 x + x + 2015 = 2015 y − y + 2015 ( 1) + ( ) Lấy vế theo vế ta A = x + y + 2016 = 2016 Vậy ) x+ y =0 b) ax = by = cz = t Đặt 1 + + =1 x y z ( 1) ) 3 ( 2) , ta ax + by + cz = có Mặt khác ( 2) ( 1) Từ Câu 3: t=x a=y b=z c ( 2) t t t + + = t x y z (vì 3 3 3 Suy 1 1 a + b + c = t + + ÷= t x y z ta có điều phải chứng minh (4,0 điểm) ( x + x + ) = 11 x + a) Giải phương trình x( x + y ) + y − y + = 2 y ( x + y ) − x − y = 2 b) Giải hệ phương trình Lời giải a) Ta có ( x + x + ) = 11 x + ( 1) ⇔ ( x + x + ) − ( x − x + ) = 11 ⇔ ( x2 + 2x + 2) x2 − x + t= Đặt x2 + x + x2 − x + − = 11 x + 2x + x2 − x + (x + 2x + 2) ( x2 − 2x + 2) (do x − x + = ( x − 1) + > với x ) ( t > 0) , t = 6t − 11t − = ⇔ −1 t = Phương trình ( 1) trở thành Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chọn t=2 , x2 + 2x + 5± = ⇔ 3x − 10 x + = ⇔ x = x − 2x + 5 ± S = Vậy phương trình cho có tập nghiệm y=0 b) Thay vào hệ phương trình ta thấy khơng thỏa mãn y≠0 Với ta có: x2 + y + x+ y = ⇔ x + + y ( y + x ) = y x ( x + y ) + y − y + = x2 + x + y − =7 ) 2 ( y y ( x + y ) − x − y = ⇔ y ( x + y ) − ( x + 1) = y Đặt x2 + u= v = x+ y y , u + v = u = − v v = 3, u = ⇔ ⇔ v = −5, u = v − 2u = v + 2v − 15 = Hệ phương trình trở thành: v = 3, u = • Với ta có hệ phương trình x2 + = y x2 + x − = x = 1, y = ⇔ ⇔ x = −2, y = x+ y =3 y = 3− x • Với v = −5 u = , ta có hệ phương trình x2 + = y x2 + = y x + x + 46 = ⇔ ⇔ x + y = −5 y = −5 − x y = −5 − x Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 4: ( x; y ) ∈ { ( 1; ) ; ( −2;5 ) } (vô nghiệm) (7,0 điểm) ( O; R ) BC ( BC < R ) A dây cung cố định Điểm di BC ∆ABC động cung lớn cho có ba góc nhọn Kẻ đường AD, BE , CF H cao cắt S AEF = cos A S ABC ∆AEF ∽ ∆ABC a) Chứng minh Cho đường trịn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh rằng: S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c) Xác định vị trí điểm trị lớn A cung lớn BC cho chu vi ∆DEF đạt giá Lời giải a) Ta có AF cos A = AC Suy ∆ABE vuông E cos A = nên AE AF = ⇒ ∆AEF ∽ ∆ABC AB AC AE AB , ∆ACF vuông F nên A (c.g.c) S AEF AE = ÷ = cos A S ABC AB E F Khi b) Tương tự câu a) ta có: SCDE S BDF = cos B = cos C S ABC S ABC , Từ suy ra: S DEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = − cos A − cos B − cos C S ABC S ABC Suy S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC H O B D OA ⊥ EF OB ⊥ DF OC ⊥ ED c) Ta chứng minh ; ; S ABC = ( S AEOF + S BDOF + SCDOE ) ⇒ BC AD = OA.EF + OB.FD + OC ED Ta có BC AD ⇒ BC AD = R ( EF + FD + ED ) ⇒ EF + FD + ED = R ⇔ AD ⇔ A ∆DEF Chu vi đạt giá trị lớn lớn điểm BC cung lớn Câu 5: (2,0 điểm) Cho Liên hệ tài 039.373.2038 a , b, c liệu ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 + b3 + c3 a + b2 b + c c + a P= + + + 2abc c + ab a + bc b + ca Lời giải word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC C Website:tailieumontoan.com P≥ a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca + + + + + 2bc 2ca 2ab c + ab a + bc b + ca Ta có 2 2 2 a a + bc b b + ca c c + ab = − , = − , = − 2bc 2bc 2ca 2ca 2ab 2ab Mà 2 a + bc 2bc b + ca 2ca c + ab 2ab P≥ + + + ÷+ ÷+ ÷− a + bc 2ca b + ca 2ab c + ab 2bc Suy ≥ 2+2+2− = x, y > 2 (Vì với , áp dụng BĐT Cosi ta x y + ≥2 y x ) a=b=c "=" Dấu xảy a=b=c P Vậy GTNN đạt …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 20152 016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: n +4 n b) Tìm số tự nhiên... Website:tailieumontoan.com ) ( ( −2015 x + x + 2015 = 2015 y − y + 2015 ( 1) + ( ) Lấy vế theo vế ta A = x + y + 2 016 = 2 016 Vậy ) x+ y =0 b) ax = by = cz = t Đặt 1 + + =1 x y z ( 1) ) 3 ( 2) , ta ax + by + cz =... (4,0 điểm) a) Cho ( x+ x + 2015 )( y+ ) y + 2015 = 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A = x + y + 2 016 b) Chứng minh rằng: ax = by = cz Nếu 3 1 + + =1 x y z ax + by + cz = a + b + c Lời giải a) Nhân