Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x xy y 9 2 b) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a 3ab 11b 4 chia hết cho a b chia hết cho Câu 2: (4,0 điểm) 2015 a) Cho f ( x) ( x 12 x 31) 3 Tính f (a) với a 16 16 x4 y b) Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x y 1 a b a b 2 x 2016 y 2016 1008 1008 1008 a b ( a b ) Chứng minh rằng: Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 3 x 12 x 14 4 x y 2 b) Giải hệ phương trình sau: x xy 2 Câu 4: (7,0 điểm) Cho đường trịn tâm O, đường kính BC cố định điểm A chuyển động nửa đường tròn ( A khác B C ) Hạ AH vng góc với BC ( H BC ) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trịn tâm P đường kính HB tâm Q đường kính HC , chúng cắt AB AC E F a) Chứng minh rằng: AE AB AF AC b) Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I , A, K thẳng hàng AH c) Chứng minh tỷ số BC BE CF không đổi d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Câu 5: (2,0 điểm) 1 6 Cho x, y, z dương cho x y y z z x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tìm giá trị lớn P 1 x y z y z x z 3x y ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015 2016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x xy y 9 2 b) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a 3ab 11b 4 chia hết cho a b chia hết cho Lời giải a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x xy y 9 Ta có: x xy y 9 x y 1 y 10 x 1 y 1 10 Vì x, y 10 1.10 2.5 nên ta có bảng sau: x 1 y 1 10 x y Vậy 10 x, y 0; , 1; , 4; 1 , 9; 2 b) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a 3ab 11b 4 chia hết cho a b chia hết cho Ta có: 4a 3ab 11b 5a 5ab 10b a 2ab b 5 a ab 2b a b 2 mà 4a 3ab 11b 5 a b 5 a b 5 Ta có: a b a b a b a b a b 5 Câu 2: (4,0 điểm) 2015 a) Cho f ( x) ( x 12 x 31) 3 Tính f (a) với a 16 16 x4 y 2 x y a , b , x , y b) Cho số thực thoả mãn: a b a b x 2016 y 2016 1008 1008 1008 a b ( a b ) Chứng minh rằng: Lời giải a) Cho f ( x) ( x 12 x 31) 2015 3 Tính f (a) với a 16 16 3 Ta có: a 16 16 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a 32 3 16 16 16 16 a 32 3.( 4).a a 32 12a a 12a 32 0 2015 a 12a 31 1 f (a ) 1 1 x4 y 2 b) Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x y 1 a b a b x 2016 y 2016 1008 1008 b (a b)1008 Chứng minh rằng: a Ta có: x y 1 x y 1 x4 y x y ( x y )2 a b a b mà a b a b b a b x a a b y ab x x y y b x a y 2abx y 0 (bx ay ) 0 x2 y x2 y2 a b a b Ta có: a b x 2016 y 2016 x 2016 y 2016 1008 1008 1008 1008 1008 1008 a b a b a b a b (đpcm) Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 3 x 12 x 14 4 x y 2 b) Giải hệ phương trình sau: x xy 2 Lời giải a) Giải phương trình: x x 3 x 12 x 14 ĐKXĐ: 1,5 x 2,5 +) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốp xki, ta có: 2x 2x 2 x x 4 x x 2 (1) +) Ta có: 3x 12 x 14 3 x x 3 x 2 x x 2 3 x 12 x 14 Suy x x 2 3x 12 x 14 2 x x 3x 12 x 14 x x x 2 x 2 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y 2 (1) (2) b) Giải hệ phương trình sau: x xy 2 Lấy pt (1) trừ pt (2) vế với vế, ta được: x y x xy y 0 x y x y 0 x y TH1: x y 2 2 2 Khi pt (1): x x 2 x 2 x 1 x 1 y 1 TH2: x 2 y 2 y y 2 y 2 y 9 Khi pt (1): (vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm x, y 1; 1 , 1; 1 Câu 4: (7,0 điểm) Cho đường trịn tâm O, đường kính BC cố định điểm A chuyển động nửa đường tròn ( A khác B C ) Hạ AH vng góc với BC ( H BC ) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trịn tâm P đường kính HB tâm Q đường kính HC , chúng cắt AB AC E F a) Chứng minh rằng: AE AB AF AC b) Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I , A, K thẳng hàng AH c) Chứng minh tỷ số BC BE CF không đổi d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Lời giải a) Chứng minh rằng: AE AB AF AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A F E B H P O C Q Xét ABH vuông H có HE đường cao AE AB AH (1) Xét ACH vuông H có HF đường cao AF AC AH (2) Từ (1), (2) suy AE AB AF AC b) Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I , A, K thẳng hàng K A I F E B H P O Q C 2 HAE Vì I đối xứng với H qua AB nên IAH 2 HAF Vì K đối xứng với H qua AC nên KAH IAH KAH 2 HAE HAF 2 AHE HAF 180o Vậy ba điểm I , A, K thẳng hàng AH c) Chứng minh tỷ số BC BE CF không đổi 2 Ta có : AH BH CH AH BH CH BE BA CF CA BE CF AH BC AH AH BE CF BC 1 BE CF BC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Ta có: S PQFE 1 PE FQ EF BC FE BC BC FE S PQFE mà Dấu “=” xảy A điểm nửa đường trịn tâm O, đường kính BC Câu 5: (2,0 điểm) 1 6 Cho x, y, z dương cho x y y z z x 1 P x y z y z x z x y Tìm giá trị lớn Lời giải 1 Áp dụng bất đẳng thức a b a b ta có: 1 1 1 3x y z x y z x y z x y z x y z 1 1 1 1 x y x z x y y z 16 x y x z x y y z 1 1 x y z 16 x y x z y z Chứng minh tương tự, ta có: 1 1 y z x 16 y z x y y z 1 1 z 3x y 16 x z x y y z 1 P 4 16 x y y z z x Suy x y z Dấu “=” xảy …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC