Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x x 38 y b) Tìm số tự nhiên n để n số nguyên tố Câu 2: (4,0 điểm) x a) Cho x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A x y 2016 b) Chứng minh rằng: 1 1 Nếu ax by cz x y z 3 3 ax by cz a b c Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình x x 11 x x x y y y 0 y x y x y 2 b) Giải hệ phương trình Câu 4: (7,0 điểm) BC R Điểm A di dây cung BC cố định động cung lớn BC cho ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE , CF cắt H Cho đường tròn O; R S AEF cos A a) Chứng minh AEF ∽ ABC S ABC 2 S cos A cos B cos C S ABC b) Chứng minh rằng: DEF c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi DEF đạt giá trị lớn Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b3 c a b b c c a P 2abc c ab a bc b ca ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 20152016 Câu 1: (3,0 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x x 38 y b) Tìm số tự nhiên n để n số nguyên tố Lời giải 2 x x 19 y x 1 3 y a) Ta có x x 38 y Ta thấy: x 1 2 y 2 y lẻ 2 Mặt khác: y 0 y 7 Do y 1 y 1 Khi 2( x 1) 18 x 3 x 2 x Vậy phương trình cho có nghiệm x; y 2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1 2 n n 4n 4n n 2n n 2n n 2n b) Ta có Vì n số tự nhiên nên n 2n , mà n số nguyên tố nên n 2n 1 n 1 Câu 2: (4,0 điểm) x a) Cho x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A x y 2016 b) Chứng minh rằng: 1 1 Nếu ax by cz x y z 3 3 ax by cz a b c Lời giải x a) Nhân vế đẳng thức cho với 2015 y y 2015 2015 x x 2015 1 y y Nhân vế đẳng thức cho với 2015 x x 2015 2015 y y 2015 ta được: 2 Lấy x 2015 2015 ta được: 1 vế theo vế ta x y 0 Vậy A x y 2016 2016 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) 3 ax by cz t , Đặt 1 1 x y z ) ta ax by cz có (vì 1 Mặt khác t t t t x y z 3 3 t x a y b z c Suy 1 1 a b c 3 t 3 t x y z 2 1 ta có điều phải chứng minh Từ Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình x x 11 x x ( x y ) y y 0 y ( x y ) x y 2 b) Giải hệ phương trình Lời giải a) Ta có x x 11 x 1 x x x x 11 x2 2x 2 x2 x t Đặt 11 x 2x 2 x2 2x 2 x2 x 2 x x (do x x ( x 1) với x ) x2 x x2 x , t 0 Phương trình 1 trở thành t 2 6t 11t 0 t x2 2x 5 4 3x 10 x 0 x Chọn t 2 , x x S Vậy phương trình cho có tập nghiệm b) Thay y 0 vào hệ phương trình ta thấy khơng thỏa mãn Với y 0 ta có: x2 1 y x y 4 x y y x 4 y x x y y y 0 x y x 7 2 2 y y x y x y 2 y x y x 1 7 y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com u Đặt x2 1 y , v x y u v 4 u 4 v v 2u 7 v 2v 15 0 Hệ phương trình trở thành: Với v 3, u 1 ta có hệ phương trình x 1 y x y 3 x x 0 y 3 x v 3, u 1 v 5, u 9 x 1, y 2 x 2, y 5 Với v , u 9 ta có hệ phương trình x 9 y x 9 y x y y x x x 46 0 y x (vô nghiệm) x; y 1; ; 2;5 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 4: (7,0 điểm) BC R Điểm A di dây cung BC cố định động cung lớn BC cho ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE , CF cắt H Cho đường tròn O; R S AEF cos A a) Chứng minh AEF ∽ ABC S ABC 2 S DEF cos A cos B cos C S ABC b) Chứng minh rằng: c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi DEF đạt giá trị lớn Lời giải AE cos A AB , ACF vuông F nên a) Ta có ABE vng E nên AF cos A AC AE AF AEF ∽ ABC A Suy AB AC (c.g.c) S AEF AE cos A Khi S ABC AB b) Tương tự câu a) ta có: SCDE S BDF cos B cos C S ABC , S ABC B Từ suy ra: S DEF S ABC S AEF S BDF SCDE 1 cos A cos B cos C S ABC S ABC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: E F H O D TÀI LIỆU TOÁN HỌC C Website:tailieumontoan.com Suy S DEF cos A cos B cos C S ABC c) Ta chứng minh OA EF ; OB DF ; OC ED S ABC 2 S AEOF S BDOF SCDOE BC AD OA.EF OB.FD OC.ED Ta có BC AD BC AD R EF FD ED EF FD ED R DEF AD Chu vi đạt giá trị lớn lớn A điểm cung lớn BC Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b3 c a b b c c a P 2abc c ab a bc b ca Lời giải 2 a b c 2ab 2bc 2ca P 2bc 2ca 2ab c ab a bc b ca Ta có a2 a bc b b ca c c ab , , 2bc 2ca 2ca 2ab 2ab Mà 2bc a bc 2bc b ca 2ca c ab 2ab P 2bc a bc 2ca b ca 2ab c ab Suy 2 2 (Vì với x, y , áp dụng BĐT Cosi ta x y 2 y x ) Dấu " " xảy a b c Vậy GTNN P đạt a b c …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC