Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: a, b b) Với số nguyên Chứng minh a − b4 chia hết cho Câu 2: Tính chia hết cho f ( x ) = ( x + 12 x − 31) 2015 f (a ) với a = 16 − + 16 + a, b, x, y b) Cho số thực thoả mãn: 2016 Chứng minh rằng: x2 + y = x4 y + = × a b a+b 2016 x y + 1008 = × 1008 a b (a + b)1008 (4,0 điểm) x − + − x = x − 12 x + 14 a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình sau: Câu 4: 4a + 3ab − 11b (4,0 điểm) a) Cho Câu 3: x + xy + y = 4 x − y = x + xy = (7,0 điểm) O, Cho đường tròn tâm đường kính chuyển động nửa đường trịn góc với BC ( H ∈ BC ) AB a) Chứng minh rằng: b) Gọi I K P đường kính AC liệu khác B E HB và BC tâm môn chứa Q AH Hạ A vuông dựng hai đường kính HC , F hai điểm đối xứng với word C ) A AE AB = AF AC Chứng minh ba điểm Liên hệ tài 039.373.2038 cố định điểm Trên nửa mặt phẳng bờ nửa đường tròn tâm chúng cắt (A BC I , A, K toán: H qua AB AC thẳng hàng TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Chứng minh tỷ số AH BC BE CF d) Xác định vị trí điểm nhất, tìm giá trị Câu 5: A khơng đổi để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn (2,0 điểm) Cho x, y , z dương cho 1 + + = x+ y y+z z+x P= Tìm giá trị lớn 1 + + × 3x + y + z y + z + x z + 3x + y ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015 2016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: a, b b) Với số nguyên Chứng minh chia hết cho a − b4 chia hết cho Lời giải a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x, y ∈ ¥ Vậy 4a + 3ab − 11b x + xy + y = x + xy + y = ⇔ x ( y + 1) + y + = 10 ⇔ ( x + 1) ( y + 1) = 10 Ta có: Vì x + xy + y = 10 = 1.10 = 2.5 nên ta có bảng sau: x +1 y +1 10 x y 10 ( x, y ) = ( 0; ) , ( 1; ) , ( 4; 1) , ( 9; ) a, b b) Với số nguyên Chứng minh chia hết cho Ta có: a − b4 4a + 3ab − 11b chia hết cho 4a + 3ab − 11b = ( 5a + 5ab − 10b ) − ( a + 2ab + b ) = ( a + ab − 2b ) − ( a + b ) 4a + 3ab − 11b M5 ⇒ ( a + b ) M5 ⇒ a + b M5 mà a − b = ( a + b ) ( a + b ) ( a − b ) ⇒ a − b M5 Ta có: Câu 2: (4,0 điểm) a) Cho Tính f (a ) b) Cho Liên hệ tài 039.373.2038 f ( x ) = ( x + 12 x − 31) 2015 với a = 16 − + 16 + a, b, x, y liệu số thực thoả mãn: word mơn tốn: x2 + y = x4 y + = × a b a+b TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh rằng: x 2016 y 2016 + 1008 = × 1008 a b (a + b)1008 Lời giải f ( x ) = ( x + 12 x − 31) a) Cho Tính f (a ) với 2015 a = 16 − + 16 + a = 16 − + 16 + Ta có: ( )( )( ⇒ a = 32 + 3 16 − 16 + 16 − + 16 + ) ⇔ a = 32 + 3.( −4).a ⇔ a = 32 − 12a ⇔ a + 12a − 32 = 2015 ⇔ a + 12a − 31 = ⇒ f ( a) = = b) Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: 2016 Chứng minh rằng: x2 + y = x4 y + = × a b a+b 2016 x y + 1008 = × 1008 a b (a + b)1008 x2 + y = ⇒ ( x2 + y ) = Ta có: mà x4 y x y ( x + y )2 + = ×⇒ + = a b a+b a b a+b ⇔ b ( a + b ) x + a ( a + b ) y = ab ( x + x y + y ) ⇔ b x + a y − 2abx y = ⇔ (bx − ay )2 = Ta có: ⇒ Câu 3: x2 y x2 + y2 = = = a b a+b a+b x 2016 y 2016 x 2016 y 2016 = = ⇒ + 1008 = 1008 1008 1008 1008 1008 a b a b ( a + b) ( a + b) (đpcm) (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x − + − x = x − 12 x + 14 b) Giải hệ phương trình sau: 2 4 x − y = x + xy = Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x − + − x = x − 12 x + 14 a) Giải phương trình: 1,5 ≤ x ≤ 2,5 ĐKXĐ: +) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốp xki, ta có: ( 2x − + − 2x ) ≤ ( 2x − + − 2x ) = ⇒ 2x − + − 2x ≤ 3x − 12 x + 14 = ( x − x + ) + = ( x − ) + ≥ 2 +) Ta có: (1) 2 ⇒ x − + − x ≤ ≤ x − 12 x + 14 x − + − x = ⇔ 3 x − 12 x + 14 = 2 x − + − x = x − 12 x + 14 Suy x − = − x ⇔ ⇔ x=2 x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 4 x − y = (1) (2) x + xy = b) Giải hệ phương trình sau: Lấy pt (1) trừ pt (2) vế với vế, ta được: x = y x − xy − y = ⇔ ( x − y ) ( 3x + y ) = ⇔ x = −2 y TH1: x= y Khi pt (1): x= TH2: x − x = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ± ⇒ y = ± −2 y Khi pt (1): −2 × y2 − y2 = ⇔ y = ⇔ y = −9 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 4: (vơ nghiệm) ( x, y ) = ( 1; 1) , ( −1; − 1) (7,0 điểm) O, Cho đường tròn tâm đường kính chuyển động nửa đường trịn góc với Liên hệ tài 039.373.2038 BC ( H ∈ BC ) liệu word (A BC cố định điểm khác B Trên nửa mặt phẳng bờ mơn tốn: BC C ) Hạ chứa A AH A vuông dựng hai TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P nửa đường trịn tâm chúng cắt AB a) Chứng minh rằng: b) Gọi I K đường kính AC E HB và tâm Q đường kính HC , F AE AB = AF AC hai điểm đối xứng với Chứng minh ba điểm I , A, K H qua AB AC thẳng hàng AH BC BE CF c) Chứng minh tỷ số d) Xác định vị trí điểm nhất, tìm giá trị A khơng đổi để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn Lời giải a) Chứng minh rằng: Xét ∆ABH vuông ⇒ AE AB = AH Xét ∆ACH I có H có liệu đường cao HF đường cao (2) K AE AB = AF AC hai điểm đối xứng với Chứng minh ba điểm Liên hệ tài 039.373.2038 HE (1) Từ (1), (2) suy b) Gọi H vuông ⇒ AF AC = AH AE AB = AF AC word mơn I , A, K tốn: H qua AB AC thẳng hàng TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì Vì I H đối xứng với K qua H đối xứng với AB qua AC ( nên nên · · IAH = HAE · · KAH = HAF ) · · · · · ⇒ IAH + KAH = HAE + HAF = ·AHE + HAF = 180o Vậy ba điểm I , A, K thẳng hàng c) Chứng minh tỷ số AH BC BE CF Ta có : ⇒ AH = BE CF BC ⇒ S PQFE = Ta có: FE ≤ Câu 5: A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn 1 ( PE + FQ ) EF = BC FE BC BC ⇒ S PQFE ≤ × Dấu “=” xảy O, AH = BE CF BC d) Xác định vị trí điểm nhất, tìm giá trị mà không đổi AH = BH CH ⇒ AH = BH CH = BE BA CF CA = BE CF AH BC đường kính ⇔A điểm nửa đường tròn tâm BC (2,0 điểm) Cho Liên hệ tài 039.373.2038 x, y , z liệu dương cho word môn 1 + + = x+ y y+z z+x tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com P= Tìm giá trị lớn 1 + + × 3x + y + z y + z + x z + 3x + y Lời giải Áp dụng bất đẳng thức 1 + ≥ a b a+b ta có: 1 1 1 = ≤ + ÷ 3x + y + z ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + y + z x + y + z = 1 1 1 1 + + + + ≤ ÷ ( x + y ) + ( x + z ) ( x + y ) + ( y + z ) 16 x + y x + z x + y y + z ⇒ 1 1 ≤ + + ÷ x + y + z 16 x + y x + z y + z Chứng minh tương tự, ta có: 1 1 ≤ + + ÷ y + z + x 16 y + z x + y y + z 1 1 ≤ + + ÷ 3z + x + y 16 x + z x + y y + z P≤ Suy 1 ×4 + + ữ= = ì 16 x + y y + z z + x Dấu “=” xảy x=y=z= …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... ( x ) = ( x + 12 x − 31) a) Cho Tính f (a ) với 2015 a = 16 − + 16 + a = 16 − + 16 + Ta có: ( )( )( ⇒ a = 32 + 3 16 − 16 + 16 − + 16 + ) ⇔ a = 32 + 3.( −4).a ⇔ a = 32 − 12a ⇔ a + 12a − 32 =... word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015 2 016 Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: a, b b) Với số nguyên... 2015 với a = 16 − + 16 + a, b, x, y liệu số thực thoả mãn: word môn toán: x2 + y = x4 y + = × a b a+b TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh rằng: x 2 016 y 2 016 + 1008 = ×