DE Thi HSG huyen Ha Hoa Mon Toan nam hoc 20122013

Học sinh trình bày cách khác đáp án nhng đúng vẫn cho điểm tối đa tùy theo biểu điểm của từng bài.. Trong bài làm của học sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, logic.[r]

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012 – 2013 Môn: TOÁN Ngày thi: 21 tháng 12 năm 2012 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm) Cho biểu thức:  a 1 P    a1   a1   a   a   a 1 a  a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại  a  2 Câu (3 điểm).Giải phương trình:   3 x x 1 2 x  1 Câu (5 điểm) Cho x, y là các số dương x y  2 y x a) Chứng minh: x y xy M   y x x  y2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu (6 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K a) Chứng minh điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn b) Chứng minh HF  BI c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R? Câu (2 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:  x  1  x    x  3  x    y 11879 - Hết - *Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN A YÊU CẦU CHUNG: - Đáp án trình bày lời giải cho bài Học sinh trình bày cách khác đáp án nhng đúng cho điểm tối đa tùy theo biểu điểm bài Trong bài làm học sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, logic - Nếu học sinh giải sai bớc trớc thì cho điểm các bớc giải sau có liên quan lêi gi¶i cña tõng bµi - Điểm thành phần bài nói chung phân chia đến 0.5 điểm Đối với điểm thành phần từ trở lên thì tùy tổ giám khảo thống để chiết thành 0.5 điểm - §èi víi bµi h×nh häc, nÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng th× cho ®iÓm - §iÓm cña toµn bµi lµ tæng cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c bµi( c©u), kh«ng quy trßn B ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM CỤ THỂ CÂU NỘI DUNG a 0   a 1   Điều kiện  a 0  P   a 1  ĐIỂM a   a 1  0.5 a   a  a  1 a  a a a a  a  a  1 a (1  a  1)   4a a a Vậy P 4a          1      1      1       0.5 0.5 0.5 a b   0.5       0.5 0.5 Vậy a  đó P 4a 4 Điều kiện x 1 x x 1  x 1  x  1   0.5 0.5  x 1  x  1 x  1 (1) Khi x  1  x  1  x 2 : Ta có (1)  x    x  1 Phương trình vô nghiệm Khi  x    x     x  : Ta có  1  (1)   x   x  1   x  0  x 1 Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho 0.5 0.5 0.5 x y 0 0 y x Vì x > 0, y > nên và Áp dụng bất đẳng thức a  b 2 ab dấu "=" xảy  a b x y x y  2 2 y x a ta có y x x y  2 y x Vậy x y   x2  y2  x  y y x Dấu "=" xảy (vì x > 0, y > 0) x y 3a a a  M a     y x , ta có a 4 a Đặt x y 3a a   2  y x Vì nên ; b 0.5 0.5 0.5  0.5 a a 1  2 2 1 a Ta có a 3a a 5 M a        M   a 2  x  y a 4 a 2; Do đó Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng và chỉ x  y Hình ve x 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 I F M H E K A O B Ta có M, E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên   a FMK 900 và FEK 900 Vậy điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK b Ta có HAK cân tại A nên AH = AK (1) K là trực tâm của AFB nên ta có FK  AB suy FK // AH (2)      AFK mà FAH FAK Do đó FAH (gt) cho nên AFK FAK Suy AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà AK  IB suy HF  IB 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 c Chu vi của AMB CAMB MA  MB  AB lớn nhất chỉ MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi) a  b  2  a  b   Áp dụng bất đẳng thức dấu "=" xảy 2 2  a b , ta có  MA  MB  2( MA  MB ) 2 AB Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB và chỉ MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB Vậy M nằm chính giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất Khi đó CAMB MA  MB  AB  AB  AB (1  2) AB 2 R (1  2) x A  x  1  x    x  3  x   Đặt , ta có A là tích của số x x tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho Nhưng không chia hết cho 5, đó A chia hết cho x  1  x    x  3  x    y  y  Nếu , ta có chia hết cho mà 11879 không chia hết cho nên y 1 không thỏa mãn, suy y = x  1  x    x  3  x    y 11879 Khi đó , ta có    x  1  x    x    x    11879 Vậy x 3; y 0 là hai giá trị cần tìm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5   x  1  x    x  3  x   11880   x  1  x    x  3  x   9.10.11.12  x 3 0.5 0.5