3 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số trục hoành..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 29 tháng 10 năm 2012 (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I ( 2,0 điểm) 1) Cho hàm số y x 3x mx Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; ) x 2) Cho hàm số y 3sinx 4cosx mx Tìm m để hàm số đạt cực tiểu Câu II (2,0 điểm) y cos x sin 1) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số hoành x x ( y 1)3 1 x y 2) Giải hệ phương trình Câu III (2,0 điểm) 3x 3x cosx sin 4 với trục 9( y 1) 1) Rút gọn biểu thức 2011 2012 A C2012 22 C2012 3.22 C2012 4.23 C2012 2011.22010 C2012 2012.22011 C2012 sinx x 0; cos x 2 2) Chứng minh bất đẳng thức x với Câu IV ( 3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA=a Gọi D, E là trung điểm SA, SC 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE 2) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (P) qua AG cắt các cạnh SB, SC M, N Gọi V1, V là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC Tìm giá trị lớn V V1 Câu V (1,0 điểm) Cho a; b; c là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 P (a b)2 (b c)2 (c a)2 ……………………Hết………………… Họ và tên thí sinh:……… ………………….Số báo danh:…………… (2) Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:…………………… HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Nội dung Câu điểm y = x - 3x + mx + Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+ ) I1: (1,0) 1) Cho hàm số TXĐ:D= y’=3x2-6x+m 0,25 y”=6x-6; y”=0<=>x=1 bảng biến thiên x + y" + + 0,25 + y' m I2:(1,0) II1 (1,0) Từ bảng biến thiên =>nếu hàm số đông biến trên (2;+ ) =>y’ 0x m 0 ngược lại ta thấy m 0 y ' 0x hàm số đồng biến trên (2;+ ) KL: m 0 2) Cho hàm số y 3sin x 4cosx mx Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x= TXĐ:D= y’= 3cosx+4sinx+m( x ) Nếu hàm số đạt cực tiểu x = => y’( ) = 0<=>m=-4 Ngược lại: m = - => y’ = 3cosx + 4sinx – 4; y’( ) = 0;y’’= -3sinx + 4cosx =>y’’( )=-3<0 nên hàm số đạt cực đại x= => m=-4 loại 3) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành y cos x sin 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3x 3x cosx sin 4 với 3x 3x cosx sin 4 với trục Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số 3x 3x 0,25 cos x sin cosx sin 0 4 hoành là nghiệm phương trình y cos x sin 3x 3x (1 cosx) 0 (1 cosx )(cosx-1-sin ) 0 4 TH1: cos x -1 x k 2 (k Z ) cos x-1-sin 0,25 (3) cosx 1x cosx=1+sin (2) 3x sin 1x 3x cosx 1 3x 1 sin 1 TH2: Do x k 2 4l x 4m x (m ) KL: Ak ( k 2 ;0), Bm (m4 ;0) (k , m ) II2 (1,0) cosx=1 3x sin 0 0,25 x x ( y 1)3 9( y 1) (1) 1 x y (2) 4) Giải hệ phương trình y 0 y 2 Điều kiện : x, y 1 ;Từ (2) (1) x 3x ( y 1)3 y (3) Xét hàm số f(x)=3x2-3 0x 1; f ( x ) 0 x 1 [1;+) => f(x) đồng biến trên [1;+) mà f ( x ) f ( y 1) x, y [1;+) (3) x y (3) có nên III1 (1,0) 1 x C 2012 2012 xC x C 2012 k x C k 2012 0,25 0,25 0,25 x 1 x 2 , x y y y 5 Với thay vào (2) giải x=1và x=2 1) Rút gọn biểu thức 2011 2012 A C2012 22 C2012 3.2 C2012 4.23 C2012 2011.2 2010 C2012 2012.22011 C2012 2012 0,25 x 2012 C 2012 2012 0,25 (1) (x ) Đạo hàm vế (1) ta có 2011 k 2012 2012 x C2012 xC2012 kx k 1C2012 2012 x 2011C2012 (2) (x) Chọn x=-2 thay vào (2) 2011 k 2012 2012 C2012 2( 2)C2012 k ( 2) k C2012 2012( 2) 2011 C2012 (2) 0,25 0,25 0,25 2011 2012 2012 C2012 2 C2012 3.2 C2012 4.23 C2012 2011.2 2010 C2012 2012.2 2011 C2012 A 2012 0,25 III2 (1,0) s inx x 0; cos x 2 Chứng minh bất đẳng thức: x với s inx x (0; ) cosx cosx cos x cosx x (0; ) (1) 2 Ta chứng minh x (1) sin x.cos x x3 x (0; ) sin x.cos x x3 x (0; ) 2 f ( x) sin x.cos x x3 ( x [0; )) 2 2 ; f '( x ) 3sin x cos x sin x 3x Xét f ''( x) 3sin x 2cos x sin x 4cos x sin x x f '''( x) 6sin x 6cos x sin x 14cos x sin x 0x; f '''( x) 0 x 0 [0; ) x [0; ) ta có f ''( x) f ''(0) 0 =>f’’(x) đồng biến trên [0; ) nên x [0; ) ta có f '( x) f '(0) 0 =>f’(x) đồng biến trên [0; ) nên 0,25 0,25 0,25 (4) x (0; ) ta có f ( x) f (0) 0 =>f(x) đồng biến trên [0; ) nên sin x.cos x x3 x (0; ) Gọi I là trung điểm SE => DI là đường trung bình S tam giác SAE =>DI//AE và DI=AE/2 BD AE nên BD DI I D 0,25 E a IV1 (1,5) 0,25 C A H x B Đăt x=AB theo công thức đường trung tuyến tam giác SAB ta có SB AB SA2 x a x2 a2 BD AE BE DI ( ) 4 4 2 9a x BI 16 Tương tự BI BD DI x 0,25 a Do BD DI => tam giác BDI vuông D Gọi H là tâm tam giác ABC, S.ABC là tam giác nên SH (ABC)=>SH là đường cao x2 a2 S ABC AB AC.sin 600 hình chóp; diện tích tam giác ABC là BC x a a AH SH SA2 AH sin 60 3 3 a 21 VSABC SH S ABC 54 Thể tích khối chóp S.ABC là 0,25 0,25 AH 0,25 (5) 2)Gọi J là giao điểm SG và BC => J là trung điểm BC=> SABJ S ACJ S ABC V VS ABJ VS ACJ VS ABC 2 S N IV2 (1,5) 0,25 G A C M J B VS AMG SA SM SG x V 2x SM SN VS AMG ,y ( x, y (0;1]) VS ABJ SA SB SJ 3 SB SC Đặt 2y V V VS AGN V1 VS AMG VS AGN ( y x) 3 Tương tự (1) V1 SA SM SN xy V1 Vxy (2) V SA SB SC Từ (1) và (2)=>x+y=3xy (*) x 0,25 0,25 0,25 x y 2 xy Theo bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ta có Dấu “=” xảy và x=y xy 2 xy xy ; Dấu “=” xảy và x=y= Từ (*) ta có V V V1 xy dấu “=” xảy x=y= => giá trị lớn V1 0,25 0,25 0,25 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 V:(1,0 ) P (a b)2 (b c) (c a ) 1 P x, y , z b c a b c a x , y ,z (1 ) (1 ) (1 ) a b c xyz=1 a b c đặt P 0,25 1 2 (1 x) (1 y) (1 z )2 Giả sử x=max{x;y;z} xyz x x 1 Ta chứng minh 1 y, z 2 (1 y ) (1 z ) yz (1 zy )(2 z y z y ) (1 zy z y ) 2 0,25 2( z y )(1 zy ) zy (1 zy )( y z ) zy (1 yz ) (1 zy ) 2( z y)(1 zy ) ( z y ) (1 zy )( y z ) yz y z (1 yz ) ( y z ) yz 0 yz ( y z ) (1 yz ) 0 dấu “=” xẩy z=y=1 (6) 1 1 1 x2 x 1 (1 x) (1 y) (1 z ) (1 x) zy (1 x) (1 x) x 2 x x 1 x 1 f ( x) ( x [1;+)); f'(x)= 0x 1; f '( x) 0 x 1 [1;+) (1 x) ( x 1) Xét =>f(x) f ( x ) f (1) x 1 đồng biến trên [1;+ ) 3 P f ( x) a=b=c thì P= nên GTNN P => P 0,25 0,25 (7)