Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm GV: NguyÔ-n Sü §iÖp – THCS Xu©n Chinh, Thêng Xu©n, Thanh Ho¸... Gọi N là giao điểm của AM với đường tròn C1.[r]
(1)Đề bài - Đáp án đề thi HSG Toán năm 2012 – Tỉnh Thanh Hoá SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Lớp THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng năm 2012 Câu I (4đ) æ x- æ x - +1 x +8 ö ÷ ç ç ÷ + : ç ç ÷ ç ç ÷ ç ç 10 x + x x- x- 1- è ø è Cho biểu thức P = x- ö ÷ ÷ ÷ ÷ 1ø 1) Rút gọn P 32 3 2 32 2) Tính giá trị P x = 2 Câu II (4đ) Trong cùng hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – và parabol (P): y = - x Gọi A và B là giao điểm d và (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x + m cắt (P) hai điểm C và D cho CD = AB Câu III (4đ) x2 x 2 y y y 1 1) Giải hệ phương trình x 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M là trung điểm BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C 1) và (C2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm EF và BC Chứng minh rằng: 1) ME là tiếp tuyến chung (C1) và (C2) 2) KH AM Câu V (2đ) Với x; y; z 1 Tìm tất các nghiệm phương trình: x y z y zx z xy x yz x y z (Cán coi thi không giải thích gì thêm) GV: NguyÔ-n Sü §iÖp – THCS Xu©n Chinh, Thêng Xu©n, Thanh Ho¸ §T: 0914 043 905 -1- (2) Đề bài - Đáp án đề thi HSG Toán năm 2012 – Tỉnh Thanh Hoá ĐÁP ÁN Câu I: æ x- æ x - +1 x +8 ö ÷ ç ç ÷ + : ç ç ÷ ç çx - x - - ÷ ç ç + x - 10 - x ø è è P = ĐKXĐ: x > 1, x ¹ 10 (*) æ x- æ x - +1 x +8 ö ÷ ç ç ÷ + : ç ç ÷ ç ç ÷è ç çx - x - - 10 - x ø xP = è3 + x - ( ) x- ö ÷ ÷ ÷ ÷ 1ø ö ÷ ÷ ÷ ÷ 1ø æ x - 3- x - öæ ç ç x +8 ÷ x - +1 ÷ ç ç ÷ + : ç ç ÷ ç ç 10 - x 10 - x ÷ ç ç x x ÷ ç ç øè =è x - - x +1 + x + x - +1- x - + : 10 - x x - x - 1- ( ) ( = ( x- ö ÷ ÷ ÷ ÷ 1÷ ÷ ø ) ) x - ( x - 10) - x- x - +9 x - x - - = 2(10 - x)( x - + 2) x - + 2 x - +4 = 10 - x = - x- ( Vậy: với x > 1, x ¹ 10 thì P = 32 4 x = = 3 2 +2 - 3 2 32 = ( ) x - +2 ) (1) ( + 2 ) ( + 2 ) - ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 )( + 2 ) ( - 2 )( + 2 ) ( ) ( 3- 2 = 1+ - ) - =2 - 2- = (t/m ĐK ( *)) - ) Thay x = vào (1) ta được: P = ( Câu II (4đ) Hoành độ giao điểm d và (P) là nghiệm phương trình: -x2 = x – Û x2 + x – = Û x1 = và x2 = -2 Giả sử: xA = -2 đó yA = -2 – = - xB = đó yB = – = -1 2- +2 é1 - ( - 2) ù + é- - ( - 4) ù = ë û ë û (đơn vị độ dài) 2 AB = Để đường thẳng d’ cắt (P) hai điểm phân biệt C và D thì phương trình : x2 – x + m = (2) phải có hai nghiệm phân biệt Û D = - 4m > Û m < (**) GV: NguyÔ-n Sü §iÖp – THCS Xu©n Chinh, Thêng Xu©n, Thanh Ho¸ §T: 0914 043 905 -2- (3) Đề bài - Đáp án đề thi HSG Toán năm 2012 – Tỉnh Thanh Hoá Vì hoành độ hai điểm C và D là nghiệm phương trình (2) Áp dụng hệ thức vi ìï xC + x D = ïí ï - ét ta có: ïî xC x D = m ù ( x D - x C ) +( y D - y C ) = ( x D - x C ) = é ê ë( xC + x D ) - xC x D ú û CD = Û CD = 2 - 8m Theo bài CD = AB nên - 8m = Û m = - (t/m đk (**)) Vậy: với m = -2 thì đường thẳng d’: y = - x + m cắt (P) hai điểm C và D cho CD = AB Câu III (4đ) ĐK: x ¹ 0, y ¹ (1) x2 x 2 ìï x + xy = y ïìï x ( x + y) = y y ïí Û í Û ïï y + xy = x ïï y ( x + y) = x y y 1 î îï x Û ïìï x = y ïìï x =- y ï ï Û í x x í ïï x + y = ïï x + y = y (I) ïïî y (II) ïïî ïìï x = ï ïì x = y ï Û ïí Û í ïïî y = ïï ïï y = ïî (I) (t/mđk (1)) ìï x =- y Û ïí Û (II) ïîï - y =- ìïï x =- í ïîï y =1 ìï ïï x + y = y ìïï x = ( y ) ï ïï x Û ïí í ïï ïï x + y = x x x + y = ïï ï 2y y ïî ïî (t/mđk (1)) Vậy: hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( ; ) và (-2;1) Cách 1: 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Û y2 – x3y +2x6 – 320 = Để phương trình có nghiệm thì: (-x3)2 – 2x6 + 320 ³ Û x6 £ 320 x £ Î - 2; - 1; 0;1;2} Vì x nguyên nên Û x { Nếu x = -2 thì y2 + 16y – 192 = Û y = y = -24 Nếu x = -1 thì y2 + 2y – 318 = (không có giá trị y nguyên t/m phương trình) Nếu x = thì y2 = 320 (không có giá trị y nguyên t/m phương trình) Nếu x = thì y2 - 2y – 318 = (không có giá trị y nguyên t/m phương trình) Nếu x = thì y2 - 16y – 192 = Û y = -8 y = 24 Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm nguyên là (-2; 8), (-2; -24), (2; -8), (2, 24) Cách 2: GV: NguyÔ-n Sü §iÖp – THCS Xu©n Chinh, Thêng Xu©n, Thanh Ho¸ §T: 0914 043 905 -3- (4) Đề bài - Đáp án đề thi HSG Toán năm 2012 – Tỉnh Thanh Hoá 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Û (y – x3)2 + (x3)2 = 5.26 Û (y – x3)2 + (x3)2 = (24)2 + (23)2 (1) Vì x, y nguyên nên từ (1) suy ra: ìï x = 23 ìï x = ïï ïï í í ïï y - x = 24 ïï y - x = 23 ïî ïî (loại) 3 Û Nếu x = x = thì |y – | = 24 Û y = - y = 24 Nếu x3 = -23 Û x = -2 thì |y + 23| = 24 Û y = y = -24 Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm nguyên là (-2; 8), (-2; -24), (2; -8), (2, 24) Câu IV (6đ) A F C1 E N H C2 B M D C K - Ta có: EBC CAD (cùng phụ với góc BCE ) (1) BEM D BEC vuông E có M là trung điểm BC nên EBC (2) HEM HAE Từ (1) và (2) suy ra: Mà M và A nằm khác phía so với đường thẳng HE nên ME là tiếp tuyến đường tròn (C1) - Ta có: KDE EDB 180 (3) (kề bù) EAB EDB 1800 (4) (tứ giác ABDE nội tiếp) EAB Từ (3) và (4) suy ra: KDE (5) MEF EAF Mặt khác: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF đường tròn C1) (6) MEF MEK 1800 (7) Từ (6) và (7) suy ra: MEK EAB 180 (8) Từ (5) và (8) suy ra: MEK KDE 180 Mà M và D nằm cùng phía so với đường thẳng KE nên ME là tiếp tuyến đường tròn C2 GV: NguyÔ-n Sü §iÖp – THCS Xu©n Chinh, Thêng Xu©n, Thanh Ho¸ §T: 0914 043 905 -4- (5) Đề bài - Đáp án đề thi HSG Toán năm 2012 – Tỉnh Thanh Hoá Vậy ME là tiếp tuyến chung (C1) và (C2) Gọi N là giao điểm AM với đường tròn (C1) Ta có: ME2 = MN.MA (ME là tiếp tuyến đường tròn (C1) (9) ME2 = MD.MK (ME là tiếp tuyến đường tròn (C2) (10) Từ (9) và (10) suy ra: MN.MA = MD.MK Þ MN MK = MD MA MN MK = Xét D MNK và D MDA có: MD MA và M chung MNK MDA 90 D D Nên MNK MDA (*) Mà MNH 90 (vì ANH chắn nửa đường tròn C1 ) (**) Từ (*) và (**) suy ra: K, H, N thẳng hàng Þ KH ^ AM Câu V (2đ) Với x; y; z 1 Ta có: ( - x ) ( - y) ³ Û + xy ³ x + y Û + xy + z ³ x + y + z Tương tự: + xz + y ³ x + y + z và + yz + x ³ x + y + z x y z x y z + + £ + + =1 + y + xz + z + xy + x + yz x + y + z x + y + z x + y + z 3 x +y +z £ Þ ³ =1 x +y +z Mặt khác vì x; y; z 1 nên Þ x y z Do đó: y zx z xy x yz x y z ïìï x = ï Û ïí y = ïï ïïî z = Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm (1; 1; 1) -o0o GV: NguyÔ-n Sü §iÖp – THCS Xu©n Chinh, Thêng Xu©n, Thanh Ho¸ §T: 0914 043 905 -5- (6)