Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn O B, C là các tiếp điểm.. Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P.. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn O
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm)
2 3 2 2( 3 1)
Tính giá trị của biểu thức:
2013 2012
2
A
=
Bài 2 (3 điểm)
Giải phương trình: 2x2 +2x 1+ =(2x 3 ( x+ ) 2+ + −x 2 1)
Bài 3 (3 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x( 2+ −1) 2x 2y( 2 + + =1 1 x y ) 3 3
Bài 4 (3 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx+ c Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0
Chứng minh rằng: 5a 3b 2c
1
a b c
− + >
− +
Bài 5 (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N Chứng minh: PM = PN = PA
Bài 6 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C, có ·BAC 30= 0 Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng: 3BD2 =5AD2+5CD2 ⇔DC 2DA.=
Bài 7 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a (1 2b) b (1 2c) c (1 2a)
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh :
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Gồm 04 trang)
Câu 1 Cho 1 3
2 3 2 2( 3 1)
x .Tính giá trị của biểu thức: 4( 1) 20132 2 2012 2 1
A
=
2
3 1 2
−
=
2
=
+ − + +
A
2
+
x
2
3 1
−
+ Vậy A= −3 3.
0.5
Câu 2 Giải phương trình: 2x2+2x 1+ =(2x 3 ( x+ ) 2+ + −x 2 1) (1) 3.0
Đặt t= x2+ + ⇒x 2 x2 = − −t2 x 2
Thay vào pt(1) ta có pt: x2+2x 1 t+ + − − =2 x 2 (2x 3 (t 1)+ ) − 0.5 ⇔ −t2 (2x 3 t (x 1)(x 2) 0+ ) + + + =
t x 1
t x 2
= +
Với t x 1= + ta có pt: 2
x + + = +x 2 x 1
( )2 2
≥ −
⇔ + + = +
0.5
x 1
x 1
≥ −
⇔ + + = + +
≥ −
⇔ = ⇔ =
0.5
Với t x 2= + ta có pt: x2+ + = +x 2 x 2
( )2 2
≥ −
⇔ + + = +
0.5
x2 2 2 x 2 x 2
⇔ + + = + + ⇔ = − ⇔ =
2
Trang 3Câu 3 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x( 2 + −1) 2x 2y( 2 + + =1 1 x y (1)) 3 3 3.0
Đặt a x y
b xy
= −
=
vì x, y nguyên nên a, b nguyên.
Khi đó ta có pt : 4ab 2a 1 b − + = 3 với a, b nguyên
0.5
3
2a 2b 1
−
2 7
16a 4b 2b 1
2b 1
Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7
2 2b 1 7
= ⇒ =
− =
= ⇒ =
= ⇒ =
= − ⇒ =
0.5
Với a = 0, b = 1 ta có hệ x y 0
xy 1
− =
=
Với a = 2, b = -3 ta có hệ x y 2 y x 22
(VN)
= −
KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1
0.25
Câu 4
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx+ c Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0
Chứng minh rằng: 5 3 2
1 (1)
− + >
− +
a b c
3.0
Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được
2 4
> b
c
Vậy 5 − +3 2 > ⇔1 5 − +3 2 > − + ⇔4 + >2
− +
Ta có
2
4 + > + b
Áp dụng BĐT Côsi ta có
2 b
4a
⇒ a c+ > b
Vậy (1) đúng
0.5
Câu 5
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và
song song với BC, lấy điểm P Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N
Chứng minh: PM = PN = PA
3.0
Trang 4d
N
I
M
C
B P
Có PA2 = AI2 + PI2
= PO2 – (OI – AI)(OI + AI)
= PO2 – OC2 ( hệ thức trong tam giác vuông OAC) 0.5 = PO2 – ON2
= PN2 ( vì tam giác PNO vuông tại N)
Vậy PA=PM=PN
0.5
Câu 6 Cho tam giác ABC vuông tại C, có ·BAC=300 Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy
điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng: 3BD2 =5AD2+5CD2 ⇔DC 2DA.= 3.0
R 30°
C
D
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có:
AD.R CD.2R BD.R 3
AD 2CD BD 3
Vậy ta có:
3BD 5AD 5CD
2
CD 2AD
0.5
Câu 7
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1
2.0
Trang 5Từ giả thiết chứng minh được a b c+ + ≥ 3 0.5
Do a, b, c ∈(0;1) nên a(1-a), b(1-b), c(1-c), 1−a,1−b,1− >c 0
Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương ta có :
2
2
2
(1 )
(1 ) 2 (1 ) (1 )
(1 ) 2 (1 )
b
c
a
0.25
Cộng vế với vế của 3 bđt trên ta có: P a b c+ + + ≥2(a b c+ + −) 2(ab bc ca+ + ) 0.25 ⇔ ≥ + + −P (a b c) 2vì ab bc ac+ + =1 0.25
Dấu bằng xảy ra khi 1
3
= = =
a b c
Vậy P Min = 3 2−
0.25
Hướng dẫn chung:
+ Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời giải chặt chẽ, chính xác mới công nhận cho điểm
+ Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa
+ Chấm từng phần Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tính đến 0.25 điểm ST: Phạm Văn Vượng