Đang tải... (xem toàn văn)
3 + Tứ giác AMBI là hình thoi do có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường và hai cạnh kề IA=IB.. Tương tự tứ giác ANCI cũng là hình thoi và hai hình thoi AMBI và AN[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn CỤM TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : Toán 12 Thời gian làm bài : 180 phút (không kể giao đề) Câu (4 điểm) 2x +1 hai x +1 điểm phân biệt A , B với m Tìm m để tam giác OAB vuông O (O là gốc tọa độ) 1) Chứng minh đường thẳng d : y = −2 x + m luôn cắt đồ thị hàm số (C): y = 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + có ba điểm cực trị A , B ,C tạo thành tam giác có trực tâm là gốc tọa độ Câu (4 điểm) 1) Giải phương trình : sin x 3π − 3cos2 x = + cos ( x − ) 2) Giải bất phương trình : ( x − x)( x − 4) ≥ − x + x − Câu (4 điểm) ( x − 2)(2 y − 1) = x + 20 y − 28 1) Giải hệ phương trình 2( x + y + y ) = x ( x + 1) x e x + (2 x + 1)e x dx 2) Tính tích phân : ∫ + xe x Câu (6 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác , mặt bên SCD là tam giác cân S và có diện tích a 11 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G ( ; 0) , đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I Các điểm M (0;1), N (4;1) là các điểm đối xứng với I qua AB và AC Điểm K (2; −1) thuộc đường thẳng BC Viết phương trình đường tròn (C) Câu (2 điểm) Chứng minh 3 bc ca ab a+b+c ≤ + + ≤ , đó a,b,c là các a(1 + bc) b(1 + ca) c(1 + ab) số thực dương thỏa mãn điều kiện : a + b + c = abc Hết -Họ tên học sinh : ……………………………………… Số báo danh:……………………………… (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GD & ĐT BẮC GIANG CỤM LẠNG GIANG KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM 2016 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN ( Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) Câu1 Đáp án 2x +1 và d : y = −2 x + là : +) PT hoành độ giao điểm (C) y = x +1 x + (4 − m) x + − m = 0( x ≠ −1) (*) +) Chứng tỏ ∆ = m + > 0∀m và x=-1 không là nghiệm PT (*) m−4 x1 + x2 = +) Giả sử A( x1 ; −2 x1 + m), B ( x2 ; −2 x2 + m)( x1 ≠ x2 ) Theo Viet x x = 1− m 2 Tam giác OAB vuông O ⇒ OA ⊥ OB ⇔ OA.OB = ⇒ m = − +) Kết luận đúng x=0 + ) TXĐ : D = R Ta có y ' = x ( x − m), y ' = ⇔ , hàm số có ba cực trị x = m m > +) Giả sử A(0; 2), B( m ;2 − m2 ), C (− m ; − m2 ) Từ giả thiết ⇒ OB ⊥ AC ⇔ OB AC = +) Chuyển OB AC = thành PT : m( m3 − 2m − 1) = + Đối chiếu ĐK và KL đúng m = Câu2 1+ Đáp án + ) Đưa PT dạng : s in x − 3cos2 x = cos x π π +) Biến đổi PT : sin(2 x − ) = sin( − x ) +) Giải đúng PT +) KL đúng nghiệm PT là : x = Điểm 0.5 0.5 5 0.5 5 Điểm 5 5π 2π 5π +k ,x = + 2lπ , ( k , l ∈ Z ) 18 +) ĐK : ≤ x ≤ +) Thêm lượng liên hợp thích hợp : 3x( x − 1)( x − 4) ≥ − x − (7 − x) + x − ( x + 2) 5 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn 1 +) Đưa Bất PT dạng : ( x − 1)( x − 4) x + + ≥0 5− x + − x x + x + 2 0.5 +) Đánh giá biểu thức móc vuông luôn dương ∀x ∈ [ 0;5] nên bất PT 0.5 tương đương ( x − 1)( x − 4) ≥ +) Kết hợp ĐK suy tập nghiệm bất PT là S = [ 0;1] ∪ [ 4;5] Đáp án Câu3 ĐK : x + y ≥ Biến đổi PT 2( x + y + y ) = x ( x + 1) 0.5 Điểm dạng ( x + y) + x + y = x2 + 2x x≥0 +) Chỉ x = x + y ⇒ 2 y = x − x +) Thế vào PT còn lại tìm x = và y = + ) KL đúng nghiệm hệ PT là : ( 2;1) 1 ( x + 1)e x ( x + 1)e x x +) Biến đổi tích phân dạng : ∫ xe x + = + dx xe dx dx x x ∫ ∫ + xe + xe 0 0 +) Tính đúng ∫ xe dx = x ( x + 1)e x d (1 + xe x ) x dx = ∫0 + xe x ∫0 + xe x = ln(1 + xe ) = ln(1 + e) +) Tính đúng + KL đúng I = + ln(1 + e) Câu4 Đáp án +) Gọi I,J là trung điểm AB và CD ; Kẻ SH ⊥ IJ ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) + ) IJ = a; SI = a a 11 ; SJ = 2 +) Tính đúng SH = Điểm 5 a 2 a3 +) Tính đúng V = (đvtt) 0.5 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn +) Giao tuyến (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song với AD +) Qua H , kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng AD,BC 0.5 E và F Góc hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ESF + ) Tứ giác AMBI là hình thoi (do có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường và hai cạnh kề IA=IB) Tương tự tứ giác ANCI là hình thoi và hai hình thoi AMBI và ANCI có các cạnh nên tứ giác MNCB là hình bình hành ⇒ MN / / BC +) Tính đúng cosESF = 0.5 +) Gọi H , E là trung điểm MN và BC ⇒ H (2;1) , Do ∆MAN = ∆BIC (c.c.c ) , mà ∆MAN , ∆BCI là các tam giác cân A và I ⇒ AH , IE là các đường cao ∆MAN , ∆BIC ⇒ AH = IE +) Lại có AH ⊥ MN , IE ⊥ BC , MN / / BC ⇒ AH / / IE ⇒□ AHEI là hình bình hành ⇒ G là trọng tâm tam giác HIE + ) Gọi F ( x; y ) là trung điểm IE , giả PT HG = 2GF ⇒ F (3; − ) Lập PT đường thẳng IE q ua F và vuông góc BC ⇒ IE ⊥ MN ⇒ IE : x − = , BC qua K và song song MN ⇒ BC : y + = 0.5 +) E = IE ∩ BC ⇒ E (3; −1) ⇒ I (3;0) 0.5 +) Tứ giác AHEI là hình bình hành ⇒ IA = R = HE = Vậy (C) 0.5 : ( x − 3) + y = Đáp án Câu5 +) Nhận xét 1 1 ≤ ( + ) x+ y x y Điểm với x > 0; y > (1) bc ca ab + + a (1 + bc) b(1 + ca ) c (1 + ab) 1 1 1 ⇒ A = + + −( + + ) a b c a + abc b + abc c + abc 1 1 1 = + + −( + + ) a b c (a + b) + ( a + c) ( a + b) + (b + c) (b + c) + (a + c ) Đặt A = +) 1 1 1 1 1 + + − ( + + + + + )= a b c a +b a +c a +b b+c a+c b+c 1 1 1 1 + + − ( + + )≥ ( + + ) a b c a+b a+c b+c a b c ≥ +) CM 1 3 + + ≥ ⇒ A≥ a b c Dấu xảy a = b = c = 0.5 5 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn A= = bc ca ab bc bc ca ca ab ab + + ≤ ( + + + + + ) (a + b) + (a + c) (a + b) + (b + c) (a + c) + (b + c) a + b a + c a + b b + c a + c b + c a+b+c a+b+c Vậy A ≤ Dấu xảy a = b = c = (đpcm) 4 (6)